文档文本内容
25 概率初步
【考点1：事件类型】
【考点2：可能性大小】
【考点3：概率的意义】
【考点4：几何概率】
【考点5：概率公式】
【考点6：列表法与树状图法】
【考点7：游戏的公平性】
【考点8：用频率估计概率】
知识点1：事件类型
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
【考点1：事件类型】
【典例1】下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．掷一枚骰子，向上一面的点数是7
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．随意打开一本书，书的页码是奇数
D．明天下雨的概率是90%，则明天一定会下雨【变式1-1】经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【变式1-2】掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，向上一面的
点数小于6，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件
【变式1-3】诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给
诗词描述的事件属于随机事件的是（ ）
A．锄禾日当午，汗滴禾下土 B．春眠不觉晓，处处闻啼鸟
C．白日依山尽，黄河入海流 D．离离原上草，一岁一枯荣
知识点2：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概
率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事
件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越
接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
2. 求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举
出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们
可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为
不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便
了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
【考点2：可能性大小】
【典例2】一个不透明的袋中装有3个白球和若干个红球，它们只有颜色上的区别．从袋中随机摸出一
个球，若摸到白球的可能性更大，则袋中红球可能有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2-1】下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（ ）
A．瓜熟蒂落 B．旭日东升
C．守株待兔 D．夕阳西下
【变式2-3】在下面（ ）盒子中，摸到红球的可能性最大．
A． B．
C． D．
【变式2-4】口袋里有7个红球、3个白球和1个黄球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出（ ）的可能性最大．
A．红球 B．白球 C．黄球 D．蓝球
【考点3：概率的意义】
【典例3】下列事件发生的概率为0的是（ ）
A．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上．
B．今年冬天黑龙江会下雪．
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为18．
D．一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域．
【变式3-1】若天气预报显示“明天降水概率为80%”，则下列说法正确的是（ ）
A．明天将有80%的时间下雨 B．明天将有80%的地区下雨
C．明天下雨的可能性较小 D．明天下雨的可能性较大
【变式3-2】下列说法正确的是（ ）
1
A．已知一种彩票的中奖概率是 ，则买10000张这样的彩票一定会中奖
10000
B．数据2，3，7，8，3，4，3，8的众数是8
C．调查深圳市人民对政府服务的满意程度适合用抽样调查
D．“甲、乙、丙三个队参加端午节赛龙舟比赛，甲队获得冠军”是必然事件
【变式3-3】抛一枚质地均匀的硬币；连续抛4次，硬币落地时都是正面朝上，如果第5次抛掷这枚硬
币，那么正面朝上的概率为（ ）
1 1 4 1
A． B． C． D．
4 5 5 2
【考点4：几何概率】
【典例4】一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖
除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
4 5 4
A． B． C． D．1
9 9 5
【变式4-1】假如小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是（ ）．
1 1 3
A． B． C． D．1
4 2 4
【变式4-2】七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、
一块正方形和一块平行四边形组成．某同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在
拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上
的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 6 7 8
【变式4-3】类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等
的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概
率是（ ）
1 1 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 2 3 3
【考点5：概率公式】
【典例5】从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（
）
3 13 1 1
A． B． C． D．
4 16 2 4【变式5-1】如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别上1、2、3，转盘停止后，
指针指向边缘重转，则指针指向的数字为偶数的概率是 ．
【变式5-2】从-3，0，1，2四个数中随机抽取一个为a的值，则a是方程x2+2x-3=0解的概率是
．
【变式5-3】如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简
易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自
由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留π）
【考点6：列表法与树状图法】
【典例6】红星中学为了解七年级学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上
发言的次数进行了统计，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为
5:2．
发言次数n
0≤n<3
A
3≤n<6
B
6≤n<9
C
9≤n<12
D12≤n<15
E
15≤n<18
F
(1)求出样本容量，并补全直方图；
(2)该年级共有学生600人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；
(3)已知A组发言的学生中恰有2位女生，E组发言的学生中恰有1位男生，现从A组与E组中分别抽一
位学生写报告，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
【变式6-1】】小梅和小华一起去参观某抗日烈士纪念馆，该纪念馆有A,B两个入口，有C,D,E,F四
个出口．若小梅同学随机选择一个入口进入，在离开纪念馆时再随机选择一个出口离开，则小梅恰好
从B入口进入纪念馆，从E或F出口离开纪念馆的概率为（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 4 3 8
【变式6-2】中国古典四大名著是悠悠中国文学史上灿烂辉煌的一笔．是世界宝贵的文化遗产．某中学
鼓励学生研读四大名著，并举行了分享研读心得比赛，每个年级有20名同学参加决赛．七、八各年级
决赛选手中前8名学生的比赛成绩统计如下图：根据图中信息，解答下列问题：
(1)八年级前8名学生中，比赛成绩的众数为______分；
(2)七年级前8名学生中，比赛成绩的中位数为______分；
(3)在分享会上老师采取抽签的形式决定分享内容，规则如下，在四张完全相同的卡片正面分别写了A
《水浒传》，B《西游记》，C《三国演义》，D《红楼梦》，然后背面朝上，洗匀放好．由满分同学
随机抽取一张，分享该卡片上的名著，然后放回．用列表或画树状图的方法求八年级的两名满分同学
分享同一本名著的概率．
【变式6-3】“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的
看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必
要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计
图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)扇形统计相中“D．没有必要”所在扇形的心角度数为______；
(3)该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对生活“垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人
数．
(4)小明和小华均是该校学生，请用表格或者树状图计算出他们都选“A．很有必要”的概率．【考点7：游戏的公平性】
【典例7】甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，6．
将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽
取一张牌．
(1)请用列表或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；否则乙获胜，这个游戏公平吗？
【变式7-1】有两个可以自由转动的均匀转盘A、B分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，
如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘A与B．
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，
直到指针指向某一份为止）．
③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜．
(1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则．
【变式7-2】学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小
红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，
记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小
于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【变式7-3】如图，大小质地完全相同的A,B两个圆形转盘，都被平均分成3份，并涂上红、白两种颜
色．其中：A涂有白色2份，红色1份；B涂有红色2份，白色1份．两个转盘都是指针固定，转盘可自
由转动（若指针指向分界线，则重转）．
(1)自由转动A转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率；
(2)游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的
颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规
则的情况下，若将A转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以3份均分），是否有可能使这个游戏对双
方都公平？若能，A转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由．
知识点3：频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，
这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。【考点8：用频率估计概率】
【典例8】小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面
积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表
总点数 10 20 40 100
阴影部分点 4 11 23 47
数
若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（ ）
A．4.7 B．7.52 C．7.98 D．8
【变式8-1】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的
折线图，那么下列符合这一结果的实验最有可能的是 ．（填序号）
①袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球；
②掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”；
③掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2；
④从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花．
【变式8-2】为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，
实验数据如下：
在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000
落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085
m
n
试估计“点落入圆形区域内”的概率 (精确到0.01) ．
【变式8-3】一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和a个红球，从盒子中随机摸出1个球，
1
记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近 ，则a的值约为
3
．
一、单选题
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放奥运赛事
B．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球
C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上
D．2024年全年有367天
2．小宁书桌的抽屉有两层，每层都有一把锁，现在小宁手中有三把钥匙，其中有两把钥匙能开书桌的两
层抽屉的锁（一把钥匙只能开一把锁），从中随机选取两把钥匙，则恰好一次性（不能试）打开这两
把锁的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 3 9 6
3．某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购
买了220元的物品，她最有可能抽中（ ）A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾
4．九年级（2）班有22名男生和28名女生，现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，下列说法正确的是
（ ）
A．抽到男生的可能性较大
B．抽到男、女生的可能性一样大
C．抽到女生的可能性较大
D．抽到男、女生的可能性大小不能确定
5．某校运动会4×400m的接力赛中，甲、乙两名同学都是第一棒，这两名同学各自随机从四个赛道中抽
取一个赛道，则甲、乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 6 8
6．在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．从A、D、E、
F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，则所画四边形是平
行四边形的概率为（ ）
1 1 5 3
A． B． C． D．
2 3 12 12
7．一个袋中装有红球2个，黄球3个，白球5个，每个球除颜色外都相同，小明从中任意摸出一个球，摸
到黄球的概率是（ ）
1 3 1
A． B． C． D．1
5 10 2
8．一个盒子里有黑球6个，白球若干，这些球除颜色外都相同．将盒子里的球搅拌均匀，从中随机摸出一
个球，记下颜色后放回盒子里，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到白球．则盒子
中白球大约有（ ）A．7个 B．10个 C．14个 D．16个
二、填空题
9．某校将举行田径运动会，某班的“体育达人”小健特别擅长“100米”、“200米”、“跳远”三个项
目，但运动会规则要求每位运动员最多能参加两个项目，小明只能从这三个项目中随机选择两项，则
他参加“100米”与“跳远”两个项目的概率是 ．
10．在1×2的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放
在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为
11．如图，这是某电路的示意图，随机闭合开关S，S，S，中的任意2个，能同时使2盏小灯泡发光的概
1 2 3
率是 ．
12．为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四
名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面
分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由
乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为 ．
13．如图，有两个转盘，转盘A被分成两等份，分别标有数字1，2，转盘B被分成三等份，分别标有数字
1，2，3，转动两个转盘各一次，指针指向的数字之和为3的概率是 ．14．某批青稞种子在相同条件下发芽试验结果如下表：
每次试验粒
50 100 300 400 600 1000
数
发芽频数 47 96 284 380 571 950
估计这批青稞发芽的概率是 ．（结果保留到0.01）
三、解答题
15．有3个完全相同的小球，把它们分别标上号码1，2，3，放在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小
球放回后再随机摸出另一个小球．
(1)采用画树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能的结果．
(2)求摸出的两个小球的号码之和等于5的概率．
16．在一个盲盒中放有6个白球，7个黄球和若干个红球，这些球除颜色外完全相同，每次把球充分搅匀
后，任意摸出一个球，记下颜色再放回盲盒中，经过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在
0.3左右．
(1)估计盲盒中大约有______个红球；
(2)从盲盒中取出2个白球，2个黄球，1个红球放入到一个不透明的袋子中，从中同时随机摸出两个球，
请用列表法或树状图法求摸到两个球颜色相同的概率．
17．为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的
身体素质．该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分
成四组：A:0≤x<3;B:3≤x<6;C:6≤x<9;D:9≤x≤12，并绘制了如下两幅不完整的统计图：请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)该校此次调查共抽取了________名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为
________°，并补全条形统计图；
(2)若该校八年级共300名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数，
(3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2
名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率．
