文档内容
专题24.1.1 圆的基本概念和性质（七大考点）
【考点1圆的有关概念】
【考点2 求圆中弦的条数】
【考点3求过圆内一点的最长弦】
【考点4求一点到圆上点距离的最值】
【考点5 求圆弧的度数】
【考点6点与圆的位置关系】
【考点7利用点与圆的位置关系求半径】
【考点1圆的有关概念】
1．下列命题中真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②同角的余角相等
③垂直于同一条直线的两直线平行
④长度相等的弧是等弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据平行线公理，余角的性质，圆的基本概念，
逐一判断即可．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②同角的余角相等，原命题是真命题；
③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题；
④只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧，原命题是假命题；
∴真命题有1个，
故选：A．
2．如图， 是 的直径， 是 上两点，连接 ， 并延长相交于点 ，连接，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查圆的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键
是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用三角形内角和定理求出 ，
再利用等腰三角形的性质求出 即可解决问题．
【详解】解： ，
，
， ，
， ，
，
，
故选：C．
3．在 中，最长的弦是 ，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的相关概念，熟练掌握弦、直径、半径等概念成为解题的关键．
用圆的直径为圆中最长的弦求解即可．
【详解】解：∵在 中，最长的弦是 ，
∴ 的直径为 ,
∴ 的半径为 ．
故选：C．4．已知线段 ，过 ， 两点作半径为 的圆，能作出圆的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【分析】
本题考查了两圆相交的性质，根据题意分别以A、B为圆心，以 为半径画弧，两弧交于
C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意．能找出圆的圆心是解此题的关键．
【详解】解：分别以A、B为圆心，以 为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，
得以C为圆心，以 为半径的圆经过点A和点B，
以D为圆心，以 为半径的圆经过点A和点B，
即能画的圆的个数是2个．
故选：C．
5．已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆的基本概念，熟知直径是圆内最长的弦是解题的关键．根据直
径是圆中最长的弦进行求解即可．
【详解】解：∵ 是半径为6的圆的一条弦，
∴ ，
∴ 的长不可能是15；
故选D．
6．如图， 是 的直径， 是 延长线上一点，点 在 上，且 的延
长线交 于点 ．若 ，则 的度数等于 ．【答案】
【分析】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三
角形的性质和三角形外角性质是关键．连接 ，利用半径相等和等腰三角形的性质求得
，从而利用三角形的外角的性质求解．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点2 求圆中弦的条数】
7．如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】根据弦的定义解答即可．【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
8．如图，在 中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）
条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条
故选B
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过
圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点
把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
9．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答．
解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点，
图中的弦有AB、BC、CE，一共3条．
故选B．
考点：圆的认识．【考点3求过圆内一点的最长弦】
10．已知 是半径为3的圆中的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．1
【答案】A
【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．
【详解】解：由题意圆的半径为3，则该圆的直径为6， 因为圆中最长的弦为直径，
∴ ．
观察选项， 的长不可能是8，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键．
11．已知 的直径长为6，点A，B在 上，则 的长不可能是：（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据圆的弦长小于等于直径长即可判断；
【详解】解：∵圆的弦长小于等于直径长，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质是解题的关键．
12．已知 的半径是3cm，则 中最长的弦长是（ ）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm
【答案】B
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【详解】解： 圆的直径为圆中最长的弦，
中最长的弦长为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半
圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
13．若 的半径为3，则 的弦 的长度的取值范围是 ．
【答案】【分析】利用直径是圆内最长的弦即可求解．
【详解】解： 的半径为3，
的弦 的长度的取值范围为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键．
【考点4求一点到圆上点距离的最值】
14．如图， 的半径为4，圆心 的坐标为 ，点P是 上的任意一点，
，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则
的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．12 D．28
【答案】D
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半得出 取得最小值时点 的位置．由 中 知要使 取得最
大值，则 需取得最大值，连接 ，并延长交 于点 ，当点 位于 位置时，
取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 、点 关于原点 对称，
∴ ，
∴ ，
若要使 取得最大值，则 需取得最大值，
连接 ，并延长交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最大值，
过点 作 轴于点 ，则 、 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
15．如图，矩形 中， ， ，P是直线 上的一个动点， ，
沿 翻折形成 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，利用定点
定长构造辅助圆是解题的关键．
由翻折的性质可得 ，得点F在以E为圆心， 为半径的圆上运动，连接 ，
作 于G，然后运用勾股定理求出 ，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：连接 ，作 于G，
∵P是直线 上的一个动点， ，∴ ，
∴点F在以E为圆心， 为半径的圆上运动，
∵矩形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ 的最小值为 ．
故选D．
16．小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在
△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，
解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半
圆上运动，则 的最小值为 ．
【答案】10
【分析】根据矩形的性质得 ， ，即 ， ，即可得
．
【详解】解：如图，设点M为DE的中点，点N为FC的中点，连接MN交半圆于点P，此
时PN取最小值，
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形三条边的关系，中线长定理，解题的关键是掌握
中线长定理．
17．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，
N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直
径后就可以求得最大值．
【详解】解： 点M，N分别是AB，BC的中点，
，
当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，
如图，
， ，，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的
关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．
18．如图，在矩形 中， ，P是 边上的一点，且 ，E是线段
上的一个动点，把 沿 折叠，点C的对应点为F．当点E与点D重合时，点F恰好
落在边 上，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，圆外一点到圆的最小距离等，当
点E与点D重合时，点F恰好落在边 上，画出图形，由勾股定理解 ，
求出 的长，再根据 ，点P为定点，可知点F和点C在以点P
为圆心，5为半径的圆上，连接 ，与 交点即为所求点F．
【详解】解： 矩形 中， ， ，
， ， ．
当点E与点D重合时，点F恰好落在边 上，如下图所示：设 ，
由折叠的性质可知： ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，
．
，点P为定点，
点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上，
如图，连接 ，与 交点即为所求点F，
， ，
，
，
故答案为： ．
19．如图，在 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，
满足 ．则线段 长的最小值为 ．【答案】
【分析】由三角形内角和定理可求 ，取 的中点为 ，连接 ，由“斜边
上的中线等于斜边的一半”得 ，再由圆的定义可得 的运动轨迹为以 为圆
心， 为半径的劣 ；由圆外定点到圆上任一点距离最小的条件可得当 、 、 三点共
线时， 最小，此时 最小，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
如图，取 的中点为 ，连接 ，
，
是 内部的一个动点，
的运动轨迹为以 为圆心， 为半径的劣 ；
当 、 、 三点共线时， 最小，
此时 最小，
如图，，
；
故答案： ．
【点睛】本题考查了圆外定点到圆上任一点距离最小值的动点问题，勾股定理，直角三角
形的特征，理解最小值的条件“圆外定点与圆心的连线与圆的交点，此时交点与定点的距
离最小”是解题的关键．
20．如图，在 ， ，E为 边上的任意一点，把 沿 折叠，
得到 ，连接 ．若 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，借助隐形圆求最值．根据折叠得到 ，
进而得到点F在以B为圆心6为半径的圆上，利用“一箭穿心”，求出 的最小值即可，
解题的关键是得到点 的运动轨迹．
【详解】解：∵ 沿 折叠，得到 ，
∴ ，
∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，
设以B为圆心6为半径的圆与 交于点 ，
则 ， 的最小值为 的长；在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为4，
故答案为：4．
【考点5 求圆弧的度数】
21．如图 中， ，以C为圆心， 为半径的圆交 于点D，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∴ 的度数为：
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，
掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
22．如图，梯形ABCD中， ，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于
A点 若 ，则 的度数为何？（ ）
A．116 B．120 C．122 D．128
【答案】D
【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和 求得AM垂直平分BC，进而得到 的度数，根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的
性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出 所对的圆周角．
23．如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
【答案】A
【分析】在⊙O取点 ，连接 利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角
是它所对的圆周角的2倍，可得答案．【详解】解：如图，在⊙O取点 ，连接
四边形 为⊙O的内接四边形，
．
故选A
【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2
倍，掌握相关知识点是解题的关键．
24．如图，在扇形OAB中， ，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好
落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ．
【答案】 /50度
【分析】连接 ，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得 ，再根
据角的和差可得 ，由此即可得．
【详解】解：如图，连接 ，则 ，
由折叠的性质得： ，，
是等边三角形，
，
，
，
则弧 的度数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠
的性质是解题关键．
25．如图，在⊙ 中，半径 垂直于弦 ，点 在圆上且 ，则 的度
数为 ．
【答案】
【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．
【详解】 ，
，
，
，
，
故答案为 ．
【点睛】此题考查圆周角与圆心角，解题关键在于求出
【考点6点与圆的位置关系】
26．已知点P在⊙O外，⊙O的半径为3，则OP的长可能是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆外，则点到圆心的距离大于半径
是解题的关键．
根据点在圆外，则点到圆心的距离大于半径，判断作答即可．
【详解】解：由题意知，OP>3，
∴OP的长可能是4，
故选：A．
27．已知⊙O的直径为8，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则
有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇒d=r；点P在圆内⇔dr时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当dr
∴点A在圆外.
故选：D.
30．已知⊙O的半径为5，线段OA的长为d，若点A在⊙O外，则d的取值范围为 ．
【答案】d>5
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．根
据点在圆外，d>r，即可得到答案．
【详解】解：∵若点A在⊙O外，
∴d>5．
故答案为：d>5．
【考点7利用点与圆的位置关系求半径】
31．若点 在以 为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点与圆的位置关系，根据点在圆内，在点到圆心的
距离小于半径可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵点 在以 为圆心，2为半径的圆内，∴点A到点B的距离小于2，
∴ ，
∴ ，
故选C．
32．已知点P在半径为r的 内， ．则满足条件的r的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据“ ”即可作答．
【详解】解：∵点P在半径为r的 内，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
观察四个选项，只有选项A符合题意，
故选：A．
33．如图，在 中， ， ， ，点 在边 上， ，
的半径长为 ， 与 相交，且点 在 外，那么 的半径长 可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 交 于 ，根据勾股定理求出 的长，从而求出 的长，再根
据相交两圆的位置关系得出 的范围即可．
【详解】解：连接 交 于 ，如图 ，在 中，由勾股定理得： ，
则 ，
，
，
与 相交，且点 在 外，必须 ，
即只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相
交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键．
34．同一平面内，一个点到圆的最小距离为6 ，最大距离为8 ，则该圆的半径为
．
【答案】1 或7
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解题的关键．点为
点，圆为 ，最大距离为 ，最小距离为 ，分此点在圆内和此点在圆外两种情况，
分别求出半径即可．
【详解】解：设此点为 点，圆为 ，最大距离为 ，最小距离为 ，则此点与圆心
的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大和最小距离．
可分两种情况讨论：
①当此点在圆内时，如图所示，由题意可知， ， ，
∴半径 ；
②当此点在圆外时，如图所示，
由题意可知 ， ，
∴半径 ．
综上所述，圆的半径为1 或7 ．
故答案为：1 或7 ．
35．如图，在 中， ， cm， cm，以C为圆心，r为半径作 ，
若A，B两点中只有一个点在 内，则半径r的取值范围是 .
【答案】【分析】因为A、B两点中只有一个点在 C内，所以半径比 大．点A在圆上或者圆外，
所以半径小于或等于 ． ⊙
【详解】解：因为A、B两点中只有一个点在 C内，
只有点B在圆内，点A可以在圆上或圆外． ⊙
因为点B在圆内，所以 cm．
当点A在圆上时， cm．
当点A在圆外时， cm．
因此： ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点A和点B与圆的位置，确定 C的半径．
⊙
【易错点1 点与圆的位置关系】
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝7，点D在边BC上，且BD＝3，连接
AD．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可
能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABD中，∠B＝90，AB＝4，BD＝3，
∴AD＝ ＝5．
∵BC＝7，BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4．
∵以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，
∴r的范围是3＜r≤4，故选：B．
2．在平面直角坐标系xOy中， O的半径为5，点P的坐标为（3，4），则点P与 O的
位置关系是（ ） ⊙ ⊙
A．点P在 O内 B．点P在 O上 C．点P在 O外 D．无法确定
【答案】B⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：由勾股定理，得
OP＝ ＝5，
即d＝r，
∴点P在 O上．
故选：B．⊙
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）， A的
半径为2，点C为 A上一动点，D为BC的中点，连接OD，则OD的最大值为⊙ 3.5
． ⊙
【答案】3.5．
【解答】解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
如图1，作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，∴OB＝OB'＝3，
∵D是BC的中点，
∴OD是△BB'C的中位线，
∴OD＝ B'C，
∴当B'C最大时，OD有最大值，
如图2，当B'，C，A共线时，B'C有最大值，
由勾股定理得：AB'＝ ＝5，
∴B'C＝B'A+AC＝5+2＝7，
此时OD有最大值是 B'C＝3.5，
故答案为：3.5．
4．若 O的直径为4，点P在圆外，则线段OP长的取值范围是 OP ＞ 2 ．
【答⊙案】OP＞2．【解答】解：因为 O的直径为4，点P在圆外，
所以线段OP长的取⊙值范围是OP＞2．
故答案为：OP＞2．
5．在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（0，2）、C（﹣3，﹣3）都在 M上，则
⊙
圆心M的坐标为 （﹣ ，﹣ ） ．
【答案】（﹣ ，﹣ ）．
【解答】解：设M点的坐标为（x，y），由题意知，MA＝MB＝MC，
∴ ＝ ＝ ，
化简得： ，
解得：
∴M（﹣ ，﹣ ）．
故答案为：（﹣ ，﹣ ）．
6．在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．当a＝﹣1时，点B在圆A上
B．当a＜1时，点B在圆A内
C．当a＜﹣1时，点B在圆A外
D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内
【答案】B
【解答】解：如图：
∵A（1，0）， A的半径是2，
∴AC＝AE＝2，⊙
∴OE＝1，OC＝3，
A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在 A上，正确，故本选项不合题意；
⊙B、当a＝﹣3时，B在 A外，即说当a＜1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；
C、当a＜﹣1时，AB＞⊙2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；
D、当﹣1＜a＜3时，B在 A内正确，故本选项不合题意；
故选：B． ⊙
