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专题 24.1.2 圆-垂径定理（七大考点）
【考点1 利用垂径定理求值】
【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】
【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】
【考点4 利用垂径定理求解其他问题】
【考点5 垂径定理的实际应用】
【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】
【考点1 利用垂径定理求值】
1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE=DE，⊙O的半径等于5，OE=3
，则CD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于P点，AP=1，BP=5，∠APC=45°，则
CD的长为（ ）
A．3 B．2❑√2 C．2❑√7 D．❑√7
3．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连接OB．若⊙O的半径为5cm，BC
的长为8cm，则OD的长是 cm．4．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将
DB´E沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】
5．⊙O的半径为10cm，弦AB//CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是：
（ ）
A．14 B．2 C．14或2 D．以上都不对
6．如图，⊙O的半径为4，AB，CD是⊙O的弦，且AB//CD，AB=4，CD=4❑√2，
则AB和CD之间的距离为 ．
7．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，
CD=6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
8．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距
离是 ．【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】
9．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底
面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有
水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B．4❑√2 C．4❑√3 D．4❑√5
10． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．
已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，
AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
11．如图，两个同心圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：
AD=BC．【考点4 利用垂径定理求解其他问题】
12．如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E 且总有 ∠BED=45°，则
AE2+BE2的值（ ）
A．随着OE的增大而增大 B．随着OE的增大而减小
C．随着OE的增大先增大后减小 D．保持不变
13．如图，在平面直角坐标系中，⊙D的一段圆弧经过，A(0,4),B(4,4)，C(6,2)三点，
则⊙D的半径是 ．
14．如图，在⊙O中，弦AB=6，点C在AB上移动，连接OC，过点C作DE⊥OC交
⊙O于点D、E，则DE的最大值为 ．15．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 A´B 的度数
是 ．
16．如图，AB，AC，BC是半圆O的弦，AB过圆心O，过O作OD⊥AC于点D．若
OD=1.5cm，则BC= cm．
【考点5 垂径定理的实际应用】
17．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：
在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交A´B于点
C，测出AB=40cm,CD=10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
18．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏
同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于
A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
19．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆
形框架的圆心，弦AB和A´B所围成的区域为种植区．已知AB=30，⊙O的半径为17，则
种植区的最大深度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
20．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．6.5米 C．9米 D．15米
21．如图是某学校人行过道中的一个以O为圆心的圆形拱门，路面AB的宽为2m，高CD为
5m，圆形拱门所在圆的半径长为 m．
22．圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为
2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为 m．23．石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工
匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度AB=16m，拱高CD=4m，则半径
OA为 m．
24．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显
出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18分米，C为AB中
点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD=27分米，则拱门所在圆半径的长为
分米．
【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
25．已知AB是⊙O的弦，若OA=❑√2，AB=2，则A´B所对的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
26．如图，弦AE∥直径CD，连接AO，∠AOC=40°，则D´E所对的圆心角的度数为
（ ）
A．40° B．50° C．60° D．30°
27．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若弧AD等于150°，∠A=75°，∠D=60°，则弧BC的度数为（ ）
A．25° B．60° C．50° D．40°
28．如图，已知⊙O的直径AB=4，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点
F．若AC=BD，求EC的长为（ ）
2❑√3 4❑√3
A．❑√3 B．1 C． D．
3 3
29．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长
DE交⊙O于点F，若AE=2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
30．如图，已知AB是⊙O的直径， BC=CD=DE，∠BOC=42°，那么弧AE度数等于
．
31．如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过点A作AE∥CD交
⊙O于点E，则弧AE的度数为 ．【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】
32．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD=BC．
(1)比较A´B与C´D的长度，并证明你的结论；
(2)求证：AE=CE．
33．如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，C为弧AB的中点，M、N分别是OA、
OB的中点．求证：∠MCO=∠NCO．
34．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点，且OC∥BD，求证：A´C=C´D．
35．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，OE=OF．求证AC=BD．
36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．
求证：CE=BE．
