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专题 24.1.2 圆-垂径定理（七大考点）
【考点1 利用垂径定理求值】
【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】
【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】
【考点4 利用垂径定理求解其他问题】
【考点5 垂径定理的实际应用】
【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】
【考点1 利用垂径定理求值】
1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE=DE，⊙O的半径等于5，OE=3
，则CD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据CE=DE，得出
OB⊥CD，∠CEO=90°，结合勾股定理列式计算CE=4，即可作答．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CE=DE
∴OB⊥CD，∠CEO=90°
则CE=❑√CO2−OE2=❑√25−9=4
∴CD=2×4=8
故选：C
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于P点，AP=1，BP=5，∠APC=45°，则
CD的长为（ ）A．3 B．2❑√2 C．2❑√7 D．❑√7
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．根据题意过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，
从而得出ΔOPE是等腰直角三角形，结合图形由线段之间的关系推出PE=OE=❑√2，从而
利用勾股定理推出DE=❑√7，再由垂径定理得到CE=DE，从而推出CD=2DE=2❑√7．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，
∵AB=AP+BP=1+5=6
，
∴OD=OA=3，
∴OP=OA−AP=3−1=2，
∵∠OPE=∠APC=45°，
∴△OPE是等腰直角三角形，
∴PE=OE=❑√2，
在Rt△OED中，DE=❑√OD2−OE2=❑√9−2=❑√7，
∵OE⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD=2DE=2❑√7．
故选：C．
3．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连接OB．若⊙O的半径为5cm，BC
的长为8cm，则OD的长是 cm．【答案】3
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方
程解决问题．根据垂径定理和勾股定理列方程即可．
【详解】解：∵BC⊥OA，BC=8cm，
1
∴BD=CD= BC=4cm，BD2+OD2=OB2，
2
∵OB=5cm，
∴42+OD2=52，
∴OD=3或OD=−3（舍去），
∴OD的长是3cm，
故答案为：3．
4．如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将
DB´E沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 ．
【答案】2−❑√3或2+❑√3或2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DE≤AB，可得DE=1或
2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵AB为直径，DE为弦，
∴ DE≤AB，
∴当DE的长为正整数时，DE=1或2，
当DE=2时，即DE为直径，
∵DE⊥AB∴将DB´E沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB=2；
当DE=1时，且在点C在线段OB之间，
如图，连接OD，
1
此时OD= AB=1，
2
∵DE⊥AB
，
1 1
∴DC= DE= ，
2 2
❑√3
∴OC=❑√OD2−DC2=
，
2
2−❑√3
∴BC=OB−OC= ，
2
∴BF=2BC=2−❑√3；
当DE=1时，且点C在线段OA之间，连接OD，
2+❑√3
同理可得BC= ，
2
∴BF=2BC=2+❑√3，
综上，可得线段FB的长为2−❑√3或2+❑√3或2，
故答案为：2−❑√3或2+❑√3或2．
【考点2 利用垂径定理求平行弦问题】
5．⊙O的半径为10cm，弦AB//CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是：
（ ）A．14 B．2 C．14或2 D．以上都不对
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出OE=6，OF=8，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、CD在点O
的两侧时两种情况分别计算求出EF即可.
【详解】如图，过点O作OF⊥CD于F，交AB于点E，
∵AB//CD，
∴OE⊥AB，
1
在Rt△AOE中，OA=10，AE= AB=8，∴OE=6，
2
1
在Rt△COF中，OC=10，CF= CD=6，∴OF=8，
2
当AB、CD在点O的同侧时，AB、CD间的距离EF=OF-OE=8-6=2；
当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=6+8=14，
故选：C.
【点睛】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半
径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.
6．如图，⊙O的半径为4，AB，CD是⊙O的弦，且AB//CD，AB=4，CD=4❑√2，
则AB和CD之间的距离为 ．
【答案】2❑√3±2❑√2
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到OF⊥CD，1 1
再利用垂径定理得到AE= AB，CF= CD，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分
2 2
类讨论解题即可．
【详解】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA，OC，如图，
∵AB//CD
∴OF⊥CD
1 1
∴AE=BE= AB=2，CF=DF= CD=2❑√2
2 2
在Rt△OAE中，
∵OA=4，AE=2
∴OE=❑√42−22=2❑√3
在Rt△OCF中，
∵OC=4，CF=2❑√2
∴OF=❑√42−(2❑√2) 2=2❑√2
当圆心O在AB与CD之间时，
EF=OF+OE=2❑√3+2❑√2
当圆心O不在AB与CD之间时，
EF=OF−OE=2❑√3−2❑√2
即AB和CD之间的距离为2❑√3±2❑√2，
故答案为：2❑√3±2❑√2．
【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握
相关知识是解题关键．
7．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，
CD=6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
【答案】7或1．【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；
利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
【详解】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
1 1
∴CE=DE= CD=3cm，AF=BF= AB=4cm，
2 2
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OE−OF=4cm−3cm=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是
解本题的关键．
8．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距
离是 ．
【答案】3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作OH⊥CD于H，
1
连接OC，如图，则CH＝DH＝ CD＝4，
2
在Rt△OCH中，OH＝❑√52−42＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
【考点3 利用垂径定理求同心圆问题】
9．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底
面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有
水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B．4❑√2 C．4❑√3 D．4❑√5
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则
OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，
∴AC=❑√OA2−OC2=2❑√3，
∴AB=2AC=4❑√3.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解
答本题的关键.
10． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．
已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，
AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【答案】134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用
勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则
OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT OAE中OE2=OA2−AE2=r2−1002，
△
在RT OCE中，OE2=OC2−CE2=(r+32) 2−1402，
△
则r2−1002=(r+32) 2−1402
解得：r=134．
故答案为：134．【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形
解决问题．
11．如图，两个同心圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：
AD=BC．
【答案】见解析
【分析】本题考查垂径定理的应用，能够根据需要作出辅助线，并运用垂径定理是解决本
题的关键．
【详解】过点O作OE⊥AB，垂足为点E，
在小⊙O中，OE⊥CD，
∴EC=ED
在大⊙O中，OE⊥AB，
∴EA=EB，
∴EA+ED=EB+EC，
∴AD=BC
【考点4 利用垂径定理求解其他问题】
12．如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E 且总有 ∠BED=45°，则
AE2+BE2的值（ ）A．随着OE的增大而增大 B．随着OE的增大而减小
C．随着OE的增大先增大后减小 D．保持不变
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，则
AH=BH，设半径为R，在直角三角形OAH和OBH中，利用勾股定理整理化简，是解决
问题的关键．
【详解】解：作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，则AH=BH，
设半径为R，
∵∠BED=45°，则∠OEH=45°，
∴OH=HE，
∴AE2+BE2
=(AH+HE) 2+(BH−HE) 2
=AH2+H E2+2AH⋅HE+BH2+H E2−2BH⋅HE
=AH2+OH2+BH2+OH2+2HE(AH−BH)
=R2+R2+2HE(AH−BH)
=2R2
∴AE2+BE2的值保持不变．
故选：D．13．如图，在平面直角坐标系中，⊙D的一段圆弧经过，A(0,4),B(4,4)，C(6,2)三点，
则⊙D的半径是 ．
【答案】2❑√5
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；根据垂径定理的性质可知线段AB与线段CB的
垂直平分线的交点即为圆心，然后再根据勾股定理求得半径即可；熟知垂径定理的性质是
解题的关键．
【详解】解：如图，作线段AB与线段CB的垂直平分线，交点D即为圆心
由图可知点D的坐标为：(2,0)
∵A(0,4)
∴AD=❑√(2−0) 2+(0−4) 2=2❑√5
∴⊙D的半径是2❑√5
故答案为：2❑√5
14．如图，在⊙O中，弦AB=6，点C在AB上移动，连接OC，过点C作DE⊥OC交⊙O于点D、E，则DE的最大值为 ．
【答案】6
【分析】连接OD，由OD2=OC2+CD2可知当OC最小时，CD最大；又DE=2CD，故
当OC最小时，DE最大；所以当OC⊥AB时满足题意，据此即可求解．
【详解】解：连接OD，如图所示：
∵OD2=OC2+CD2，
OD为⊙O的半径，其值一定，
∴当OC最小时，CD最大，
∵DE=2CD
∴当OC最小时，DE最大，
∵点C在AB上移动，
∴当OC⊥AB时，OC最小
此时，点D与点B（或点A）重合，点E与点A（或点B）重合，
∴DE的最大值为6
故答案为：6
【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当OC⊥AB时，OC最小，CD最大，
DE也最大是解题关键．
15．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 A´B 的度数
是 ．【答案】120°/120度
【分析】过O作半径OE⊥AB于点F，连OA,OB,AE，由垂径定理得到A´E=B´E，则有
∠AOE=∠BOE，再根据题意证明△AOE为等边三角形，得到∠AOE=60°，则
∠AOB=2∠AOE=120°，A´B 的度数可求．
【详解】解：过O作半径OE⊥AB于点F，连OA,OB,AE，
∴A´E=B´E，
∴∠AOE=∠BOE，
∴AB垂直平分OE，
∴AE=AO，
又∵OA=OE，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOB=2∠AOE=120°，
则A´B的度数是120°，
故答案为：120°
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定，及轴
对称图形的性质，熟练根据垂径定理作辅助线得到等边三角形是关键．
16．如图，AB，AC，BC是半圆O的弦，AB过圆心O，过O作OD⊥AC于点D．若
OD=1.5cm，则BC= cm．【答案】3
【分析】由圆的性质可得OA=OB，再根据垂径定理可得AD=DC，则OD是△ABC的中
位线，然后根据中位线的性质即可解答．
【详解】解：∵AB过圆心O，
∴OA=OB，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC=2OD=3cm．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明OD是
△ABC的中位线成为解答本题的关键．
【考点5 垂径定理的实际应用】
17．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：
在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交A´B于点
C，测出AB=40cm,CD=10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出BD的长；设圆心为
O，连接OB，在Rt△OBD中，可用半径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出得
出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：∵CD是线段AB的垂直平分线，∴直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB．
1
Rt△OBD BD= AB=20cm
2
中， ，
根据勾股定理得：
OD2+BD2=OB2，即：
(OB−10) 2+202=OB2，
解得：OB=25；
故轮子的半径为25cm，
故选：C．
18．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏
同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于
A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cm．
请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出BN，CM的长，设
ON=x，由勾股定理得到x2+22=(3.5−x) 2+1.52，求出x的值，得到ON的长，由勾股定
理求出OB长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，∴MN=3.5cm
，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
1 1 1 1
∴CM= CD= ×3=1.5(cm)，BN= AB= ×4=2(cm)，
2 2 2 2
设ON=xcm，
∴OM=MN−ON=(3.5−x)cm，
∵OM2+MC2=OC2，ON2+BN2=OB2，
∴OM2+MC2=ON2+BN2，
∴(3.5−x) 2+1.52=x2+22，
∴x=1.5，
∴ON=1.5(cm)，
∴OB=❑√ON2+MB2=❑√1.52+22=2.5(cm)，
∴纸杯的直径为2.5×2=5(cm)．
故选：B．
19．如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，O为圆
形框架的圆心，弦AB和A´B所围成的区域为种植区．已知AB=30，⊙O的半径为17，则
种植区的最大深度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作OC⊥AB交AB于点C，交
⊙O于点D，连接OA，然后利用勾股定理求出CO，最终可求得CD的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键．
【详解】解：如图，作OC⊥AB交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA
在⊙O中，
∵OC⊥AB
1
∴AC=BC= AB=15
2
∵AO=17
∴CO=❑√OA2−AC2=❑√172−152=8
∴CD=OD−CO=17−8=9
则种植区的最大深度为9
故选：D．
20．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．6.5米 C．9米 D．15米
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理以及垂径定理的综合运用．根据垂径定理的推论，知此圆的圆
心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA，根据垂径定理和勾股定理求解即可．解题
的关键：构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
【详解】解：∵圆弧形桥拱的跨度AB=12，拱高CD=4，
⏜
∴点C是 的中点，且CD⊥AB，
AB
∴此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，连接OA，设圆的半径是r，
1 1
∴AD= AB= ×12=6，
2 2在Rt△ADO中，
∠ADO=90°，OD=OC−CD=r−4，AD=6，OA=r，
∴AO2=AD2+DO2，即r2=62+(r−4) 2，
解得：r=6.5，
∴拱桥的半径为6.5米．
故选：B．
21．如图是某学校人行过道中的一个以O为圆心的圆形拱门，路面AB的宽为2m，高CD为
5m，圆形拱门所在圆的半径长为 m．
13
【答案】
5
【分析】此题考查了垂径定理的应用，熟记垂径定理是解题的关键．连接OA，根据垂径
定理及勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接OA，
1
由垂径定理得，AD= AB=1m，
2
设OC=OA=R m，则OD=(5−R)m．
在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2−OD2=AD2，
即R2−(5−R) 2=12，13
解得R= ．
5
13
即圆形拱门所在圆的半径为 m，
5
13
故答案为： ．
5
22．圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为
2.8m，地面入口的宽度为1m，门枕的高度为0.3m，则该圆弧所在圆的半径为 m．
【答案】1.3
【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得
出方程是解题的关键．
设该门洞的半径的半径为rm，过点O作O C⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接O
1
A，则CD=2.8−0.3=2.5m,OC=(2.5−r)m，由垂径定理得AC=BC= AB=0.5m，
2
然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设该门洞的半径的半径为rm，如图，过点圆心O作OC⊥AB于点C，延长
CO交圆O于点D，连接OA，
1 1
则CD=2.8−0.3=2.5m,AC=BC= AB= ×1=0.5m，
2 2
∴OC=(2.5−r)m，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA2=OC2+AC2，
0.52+(2.5−r) 2=r2，解得：r=1.3，
即该门洞的半径为1.3m，
故答案为：1.3．
23．石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工
匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度AB=16m，拱高CD=4m，则半径
OA为 m．
【答案】10
【分析】此题考查了垂径定理的应用， 勾股定理等知识，根据垂径定理得到
1
AD=BD= AB=8m，在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2，列方程并解方程即可．
2
【详解】解：由题意可知，OC⊥AB，
1
∴AD=BD= AB=8m,
2
在Rt△ADO中， ∠ADO=90°,DO=OC−CD=(OA−4)m，
∴AO2=OD2+AD2
∴AO2=(AO−4) 2+82
解得AO=10m,
即半径OA为10m．
故答案为：10
24．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显
出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=18分米，C为AB中
点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD=27分米，则拱门所在圆半径的长为
分米．【答案】15
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接AO，根据垂径定理求得
AC=BC=9分米，设圆的半径为x分米，则OA=OD=x分米，OC=(27−x)米，根据勾
股定理即可求得x，进而可得答案．
【详解】解：连接AO，
∵CD过圆心，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AB=18分米，C为AB的中点，
∴AC=BC=9分米，
设圆的半径为x分米，则OA=OD=x分米，
∵CD=27分米，
∴OC=(27−x)分米，
在Rt△OAC中，由勾股定理AC2+OC2=OA2，
∴92+(27−x) 2=x2，
∴x=15，
即拱门所在圆的半径是15分米．
故答案为：15．
【考点6 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
25．已知AB是⊙O的弦，若OA=❑√2，AB=2，则A´B所对的圆心角的度数为（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得OA=OB=❑√2，AB=2，根据
勾股定理求得∠AOB=90°，即可得出答案．
【详解】解：由题意得OA=OB=❑√2，AB=2，
∴OA2+OB2=AB2
∴∠AOB=90°，
∴ A´B所对的圆心角的度数为90°
故选：D
26．如图，弦AE∥直径CD，连接AO，∠AOC=40°，则D´E所对的圆心角的度数为
（ ）
A．40° B．50° C．60° D．30°
【答案】A
【分析】
本题考查平行线性质、圆心角概念、等腰三角形性质，连接OE，根据平行线性质得到
∠A=∠AOC=40°，利用等腰三角形性质得到∠A=∠E，再次利用平行线性质得到
∠DOE=∠E，即可解题．
【详解】解：连接OE，
∵弦AE∥直径CD， ∠AOC=40°，
∴∠A=∠AOC=40°，
∵OA=OE，
∴∠A=∠E=40°，∴∠DOE=∠E=40°．
则D´E所对的圆心角的度数为40°．
故选：A．
27．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若弧AD等于150°，∠A=75°，
∠D=60°，则弧BC的度数为（ ）
A．25° B．60° C．50° D．40°
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，连接OB，OC，由半
径相等得到△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形，根据∠A=75°，∠D=60°，求
出∠1与∠2的度数，根据A´D的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定
出B´C的度数．
【详解】解：连接OB、OC，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△OAB，△OBC，△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A=75°，∠D=60°，
∴
∠1=180°−2∠A=180°−2×75°=30°，∠2=180°−2∠D=180°−2×60°=60°，
∵A´D=150°，∴∠AOD=150°，
∴∠3=∠AOD−∠1−∠2=150°−30°−60°=60°，
则B´C度数为60°．
故选：B．
28．如图，已知⊙O的直径AB=4，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点
F．若AC=BD，求EC的长为（ ）
2❑√3 4❑√3
A．❑√3 B．1 C． D．
3 3
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理．连接OC，由垂径
定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出
∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，∠D=∠B=30°，通过含30度角的直角三角形的性
质以及勾股定理即可求出．
【详解】解：如图，连接OC，
∵OD⊥AC
A´D=C´D，∠AFO=90°
又∵AC=BD，
∴A´C=B´D即A´D+C´D=C´D+B´C，
∴A´D=B´C
∴A´D=C´D=B´C，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，
1
∴∠A=30°，∠D=∠B= ∠AOD=30°，
21 1
∴OF= OA= OD=1=DF，AF=CF=❑√OA2−OF2=❑√3，DE=2EF，
2 2
∵DE2=EF2+DF2，即(2EF) 2=EF2+12，
❑√3
解得EF= ，
3
2❑√3
∴EC=CF−EF= ，
3
故选：C．
29．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长
DE交⊙O于点F，若AE=2，⊙O的直径为10，则AC长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求
出DE=EF，得到A´D=A´F，证明AD´C=DA´F，可得AC=DF，利用勾股定理求出EF
的长，再求出DF长，即可得到答案．
【详解】解：连接OF，如图：
∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴DE=EF，A´D=A´F，
∵D为A´C的中点，
∴ A´D=D´C，
∴ AD´C=DA´F，∴AC=DF，
∵⊙O的直径为10，
∴OF=OA=5，
∵AE=2，
∴OE=OA−AE=5−2=3，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=❑√OF2−OE2=❑√52−33=4，
∴DE=EF=4，
∴AC=DF=DE+EF=4+4=8，
故选：C．
30．如图，已知AB是⊙O的直径， BC=CD=DE，∠BOC=42°，那么弧AE度数等于
．
【答案】54°/54度
【分析】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用．
根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．
【详解】∵BC=CD=DE
∴B´C=C´D=D´E，
∴∠BOE=3∠BOC=126°，
∴∠AOE=180°−∠BOE=54°，
∴弧AE度数等于54°．
故答案为：54°．
31．如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°，过点A作AE∥CD交
⊙O于点E，则弧AE的度数为 ．【答案】80°/80度
【分析】本题考查平行线的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识点，
连接EO，根据平行线的性质求出∠A=∠AOC，根据圆周角定理求出∠EOB，再求出
ED´B的度数，即可求出本题答案．
【详解】解：连接EO，
∵∠AOC=50°，AE∥CD，
∴∠A=∠AOC=50°，
∵OA=OE，
∴∠A=∠E=50°
∴∠EOB=2∠A=100°，
∴ED´B的度数是100°，
∵AB、CD是⊙O的两条直径，
∴AE´B的度数是180°，
∴A´E的度数是180°−100°=80°，
故答案为：80°．
【考点7利用弧、弦、圆心角的关系求证】
32．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD=BC．
(1)比较A´B与C´D的长度，并证明你的结论；
(2)求证：AE=CE．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)见解析【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．
（1）由圆心角、弧、弦的关系推出A´D=B´C，即可得到C´D=A´B．
（2）由AAS证明△ADE≌△CBE，即可推出AE=CE．
【详解】（1）解：A´B与C´D的长度相等，理由如下：
∵AD=BC，
∴ A´D=B´C，
∴ A´D+A´C=B´C+A´C，
∴ C´D=A´B；
（2）证明：在△ADE和△CBE中，
{
∠A=∠C
)
∠AED=∠CEB ，
AD=CB
∴△ADE≌△CBE(AAS)，
∴AE=CE．
33．如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，C为弧AB的中点，M、N分别是OA、
OB的中点．求证：∠MCO=∠NCO．
【答案】见详解
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和全等三角形的判定和性质，能求出
∠MOC=∠ NOC是解此题的关键．
连接OC，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出∠MOC=∠NOC，求出OM=ON，根据
全等三角形的判定得出△MOC≌△NOC，再得出答案即可．
【详解】证明：∵C为A´B的中点，
∴A´C=B´C,
∴∠MOC=∠NOC,
∵M,N分别是OA,OB的中点，
1 1
∴OM= OA,ON= OB,
2 2∵OA=OB,
∴OM=ON,
在△MOC和△NOC中，
{
OM=ON
)
∠MOC=∠NOC,
OC=OC
∴△MOC≌△NOC(SAS),
∴∠MCO=∠NCO.
34．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点，且OC∥BD，求证：A´C=C´D．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．
先根据OB=OD得出∠OBD=∠ODB，再由平行线的性质得出
∠OBD=∠AOC，∠ODB=∠DOC，故可得出∠DOC=∠AOC，据此即可证明结论．
【详解】证明：∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵OC∥BD，
∴∠OBD=∠AOC，∠ODB=∠DOC，
∴∠DOC=∠AOC，
∴A´C=C´D．
35．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点
F，OE=OF．求证AC=BD．【答案】见解析
【分析】本题考查的是圆的对称性及全等三角形的性质和判定，根据题意作出辅助线，构
造出全等三角形是解题的关键．
连接OC,OD，根据HL定理得出Rt△OEC≌Rt△OFD，由全等三角形的性质得出
∠AOC =∠BOD，进而可得出结论．
【详解】证明：连接OC，OD，
∵CE⊥AB,DF⊥AB，
∴∠OEC=∠OFD=90°．
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
{OE=OF,)
OC=OD.
∴Rt△OEC≌Rt△OFD(HL)，
∴∠AOC=∠BOD，
∴AC=BD．
36．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：CE=BE．
【答案】见解析
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
【详解】证明：∵AB=CD，
∴A´B=C´D，
∴A´B−B´C=C´D−B´C，
即A´C=B´D，
∴∠B=∠C，
∴BE=CE．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．
