文档内容
专题 01 勾股定理（六大题型）
【题型1：用勾股定理解三角形】
【题型2：已知两点坐标求两点距离】
【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】
【题型4：勾股定理的证明】
【题型5：勾股定理与无理数】
【题型6：勾股数】
【题型1：用勾股定理解三角形】
1．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，下列数量关系
正确的是（ ）
A．c2−a2=b2 B．a+b=c
C．a2−b2=c2 D．c2+b2=a2
2．（24-25八年级上·重庆·期末）若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足
，则该直角三角形的第三边长为（ ）
❑√(m−3) 2+|n−4)=0
A．3 B．4 C．❑√7 D．5
3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的
第三条边长为（ ）
A．4 B．❑√5 C．❑√13 D．❑√5或❑√13
4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则
斜边上的高为（ ）
A．5 B．1.2 C．3.6 D．2.45．（24-25八年级上·重庆黔江·期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD于D，
BE⊥CD，AD=3cm，BE=6cm，则AE= ．
6．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，AB=❑√6cm，AC=❑√2cm，点P在线段BC上，当AP=BP时，AP
的长度为 cm．
7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，
BC=6，BD为△ABC的角平分线，则△ABD的面积为 ．
【题型2：已知两点坐标求两点距离】
8．（24-25九年级上·四川广安·期末）在平面直角坐标系中，点P(−4,3)到坐标原点O的距
离是 ．
9．（24-25八年级上·上海·期末）已知直角坐标平面内三点 和 ， ，
A(−1,0) B(1,0) C(0,❑√3)
那么△ABC是 三角形．
10．（2024八年级上·上海·专题练习）已知直角坐标平面上点P(4,2)和Q(−1,3)，那么
PQ= ．11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了
勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．
【已有认识】由于 由此得到在数轴上寻找 所表示的点的方法，如图
❑√2=❑√12+12 ❑√2
1．
（1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内，
①画出顶点在格点的△ABC，其中AC=❑√2,BC=2❑√2,AB=❑√10，
②直接写出△ABC的面积=___________，点C到AB边的距离为___________．
（2）【拓展运用】①在图3中，设 轴， 轴，
A(x ,y ),B(x ,y ),AC∥y BC∥x
1 1 2 2
AC⊥BC于点C，则AC=___________BC=___________，由此得到平面直角坐标系
内任意两点间的距离公式，
AB=❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 2 1 2
②图4中，平面直角坐标系中有两点M(−3,4),N(−5,1),P为x轴上任一点，则PM+PN的最小值为___________；
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式
❑√(x+2) 2+(y−1) 2−❑√(x−6) 2+(y+3) 2
的最大值为：___________．
12．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两
点 ， ，则该两点间距离公式为 ，同
P (x y ) P (x y ) P P = ❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公
式可分别化简成 和 ．
|x −x ) |y −y )
1 2 1 2
(1)若已知两点A(3,3)，B(−2,−1)，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为
−2，试求M，N两点间的距离．
【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】
13．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，每个四边形都是正方形，字母A所代表的正
方形的边长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
14．（24-25八年级上·河南·期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，正方形AEDC，
BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为（ ）A．13 B．16 C．119 D．❑√119
15．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个
正方形，S ,S ,S 是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若S =36,S =64，
1 2 3 1 2
则S 的值为（ ）
3
10❑√π 10
A．10 B．100 C． D．
π π
16．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直
角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
9 9
A． B．3 C． D．9
4 2
17．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，△A A B是腰长为1的等腰直角三角形，以
1
它的斜边A A 为直角边作第二个等腰直角三角形A A A ，再以△A A A 的斜边A A
1 1 2 1 2 2
为直角边作第三个等腰直角三角形A A A ，依次作下去，则△A A A 的面积为
2 3 2023 2024
（ ）A．22022 B．22023 C．22024 D．22025
18．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，
在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直
角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继
续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2024次后形成的图形中所有
正方形的面积和是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
19．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，直线l上有三个正方形，若a，b的面积分别
为9和16，则c的面积为 ．
【题型4：勾股定理的证明】
20．（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角
形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形ABCD中AC⊥BD于点O，AB=6，BC=5，CD=2，请直接写出
AD= ．
21．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1
是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春
在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2
放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三
个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三
个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，
求x的值．23．（24-25八年级上·广东佛山·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方
国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦
五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图
1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有
a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中
任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、
等边三角形，这三个图形中面积关系满足S +S =S 的有______个；
1 2 3
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图
中阴影部分）的面积分别为S ，S ，直角三角形面积为S ，请判断S ，S ，S 的关系
1 2 3 1 2 3
并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向
外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的
“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答
下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①a2+b2+c2+d2=______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
24．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很
多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴
国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角
三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边
长为a，b(b>a>0)，斜边长为c．
(1)在图1中，若c=15，b=12，则小正方形的边长为_____；
(2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点B是正方形ACDE边CD
上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接
至△AEF位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你
写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接BF）
(3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向
外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以AB为边的正方形面积为61，则这
个风车的外围周长是_____．
25．（24-25七年级上·山东东营·期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，
由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，
1 1
即 ab×4+(b−a) 2，从而得到等式c2= ab×4+(b−a) 2，化简便得结论a2+b2=c2．
2 2
这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也
有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三
角形△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°
，显然BC⊥AD．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究
这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，
连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，直接写出AB边上的高为______．
（3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设
BD=x，求x的值．
【题型5：勾股定理与无理数】
26．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴
上，且表示的数为−2．现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于
点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）A．❑√10−2 B．1.2 C．❑√10+2 D．❑√10
27．（23-24八年级上·福建宁德·阶段练习）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a
的值为（ ）
A．−❑√5 B．−1−❑√5 C．1−❑√5 D．−1+❑√5
28．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上
的点A所表示的数为 （ ）
A．−1−❑√5 B．−1+❑√5 C．−❑√5 D．1−❑√5
29．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，
A(1,3)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则点B的坐标是
．
30．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，数轴上点A表示的实数是 ．31．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点O为数轴上的原点，点A在数轴的负半轴
上，且点A表示的数为−2，AB⊥OA，AB=1，连接OB，请你在数轴的正半轴上画
出点C，使得点C表示的数为❑√5．（保留画图痕迹，不写画法）
32．（24-25七年级上·浙江台州·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连
结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边
长为1，得到阴影正方形面积为2：
(1)发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是
_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
(2)如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的
对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为_______；
(3)如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成，画出面积是5的正方形，使它的
顶点在网格的格点上．
33．（24-25八年级上·广东深圳·期中）根据推理提示，回答下列问题：
∵❑√1<❑√3<❑√4, 1<❑√3<2,
即∴❑√3的整数部分为1，小数部分为 ❑√3−1.
(1)❑√5的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ．
34．（24-25八年级上·广东深圳·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，
形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是数形结合的产
物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系．
(1)如图1，点O是原点，点A对应的实数为−2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=1，
连接OB，以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，那么点C对应的实数为 ；
(2)在（1）的条件下，若将线段OC向右平移，使得点O对应的实数为1，那么此时点
C对应的实数为 ；
(3)如图2，点A对应的实数是3，射线AB垂直数轴于点A，请在数轴上作出❑√10−2对
应的点M．（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
【题型6：勾股数】
35．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1，❑√2 C．5，12，13 D．0.3，0.4，0.5
36．（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列各组数中，属于“勾股数”的是（）
A．2，4，6 B．4，6，8
C．6，8，10 D．8，10，12
37．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广
三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相
差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦
是 ．
38．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列勾股数：
①3，4，5，且32=4+5；
②5，12，13，且52=12+13；
③7，24，25，且72=24+25；
④9，b，c，且92=b+c；
…
(1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：b=______，c=______；
(2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确．
