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专题 05 概率初步
思维导图
【类型覆盖】
类型一、随机事件与必然事件
【解惑】下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，正面朝上 B．抛一颗骰子，点数不大于6
C．射击运动员射击一次，击中靶心 D．打开广播，正在播报新闻
【融会贯通】
1．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．手可摘星辰 B．黄河入海流 C．大漠孤烟直 D．鱼戏莲叶东
2．不透明的袋子中有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出2个球，则
“取出的2个球中有红球”为 事件．
3．“任意买一张电影票座位号是偶数”，此事件是 （填“不可能事件”或“必然事件”或“随机
事件”）．
类型二、根据概率公式计算概率
【解惑】一个不透明布袋中有1个红球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一
个小球，该小球是红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】1．小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下
次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．不透明袋子中装有 个黄球、 个黑球和 个红球，这些球除颜色外无其它差别，小明从袋子中随机取
出 个小球，则它是红球的概率是 ．
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续5次都是正面向上，则关于第6次抛掷结果， （正面向上）
（反面向上）．（填写“>”“<”或“=”）
类型三、概率的理解
【解惑】“明天下雨的可能性为 ”这句话指的是（ ）
A．明天一定下雨
B． 的地区下雨， 的地区不下雨
C．明天不一定下雨
D．明天 的时间下雨， 的时间不下雨
【融会贯通】
1．某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则抛掷第11次出现正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．0
2．小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是 （填“对”或“错”）．
3．一般地，如果在一次试验中，有 种可能的结果，并且它们发生的可能性都 ，事件 包含其中的
种结果，那么事件 发生的概率 ．特别地，当 为必然事件时， ；当 为不可能
事件时， ．
类型四、列举法求概率
【解惑】一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，
则A与B不相邻而坐的概率为（ ）A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后
三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能
支付成功的概率为（ ）
1
A． B． C． D．
5
2．在平面直角坐标系中有五个点，分别是 从中任选一个
点恰好在第二象限的概率是 ．
3．在 的正方形网格格点上放三枚棋子，按如图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在
其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为
类型五、频率与概率描述
【解惑】下列说法正确的是（ ）
A．“汽车累计行驶 ，从未出现故障”是不可能事件B．“买中奖率为 的奖券 张，中奖”是必然事件
C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
【融会贯通】
1．下列说法正确的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角相等
B．抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率是0.5，表示每抛硬币2次必有1次出现正面朝上
C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D．两边及一角分别相等的两个三角形全等
2．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 ；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是 .
其中正确命题有 ．
3．农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机
各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 100 200 500 1000 2000
出芽种子数 96 165 491 984 1965
A
发芽率 0.96 0.83 0.98 0.98 0.98
出芽种子数 96 192 486 977 1946
B
发芽率 0.96 0.96 0.97 0.98 0.97
下面有三个推断：
①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽
的概率是0.98；
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是 （只填序号）．类型六、由频率估计概率
【解惑】数学课上，老师和同学们做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．400 B．600 C．1000 D．1600
【融会贯通】
1．袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次
试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在 ，则估计袋中红球的个数为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
2．做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100
杯口朝上频率 0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22
估计任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为 （结果精确到0.1）
3．一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任
意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球的个数n 200 300 400 500 1000 1500 2000
摸到白球的个数m 116 192 232 298 590 906 1202
摸到白球的频率
0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.604 0.601
根据以上数据，估计摸到白球的概率约为 （精确到0.01）
类型七、几何概率
【解惑】如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖
落在阴影区域的概率为（ ）A． B． C． D．
【融会贯通】
1．用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若
在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，
那么小球最终停留在白色方砖上的概率是 ．
3．如图，在 中， ， ， ，将 绕点B按逆时针方向旋转30°后得到
，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ．类型八、概率的应用
【解惑】不透明的口袋里装有红、蓝两种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有
1个．
(1)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概
率；
(2)若在口袋种再添加a个蓝球，充分摇匀，从中摸出一个球，使得摸到红球的概率是 ，试求a的值．
【融会贯通】
1．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000
成活的棵数 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430
成活的频率
（精确到 ）
(1) ________， ________；
(2)估计该种幼树在此条件下移植成活的概率的估计值是多少？（精确到 ）
(3)若要成活26400棵树苗，需要移植多少棵树苗？
2．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个
球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．
(1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）；
(2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为
__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________；
(3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都
大于摸到黑球的概率．
3．某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)这种花卉成活的频率稳定在___________附近，估计成活概率为___________．（精确到0.1）
(2)该林业局已经移植这种花卉20000棵．
①估计这批花卉成活的棵树；
②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？
类型九、列举法或树状图法求概率
【解惑】一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，2个白球．这些小球除颜色外都相同．
(1)甲从袋子中随机摸出1个小球，摸到红球的概率为________；
(2)将袋中小球摇匀，甲从中随机摸出1个小球，记下颜色后不放回，乙再从中随机摸出1个小球，用列表
或画树状图的方法，求两人摸到的小球颜色相同的概率．
【融会贯通】
1．为落实教育厅关于做好2023年初中学业水平体育与健康学科考试等有关事项的通知的要求，某学校针
对男生选择较为集中的四个项目开展有针对性的强化训练：A．跳绳；B.1000米跑；C．引体向上；D．投
掷实心球，全校共有100名男生选择了A项目，为了了解选择A项目男生的情况，从这100名男生中随机
抽取了30名男生在操场进行测试将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．
(1)其中 这一组的数据为169，166，165，169，169，167，167，则这组数据的中位数是 ，
众数是 ．
(2)根据题中信息，该校男生共有 人选择项目B，D项目扇形统计图的圆心角为 度；(3)如果学校规定每名男生要选两门不同的项目，小东和小强在选项目中，若第一项目都选了项目C，请用
画树状图或列表法计算出这两位同学第二项目同时选项目A或项目B的概率．
2．中卫三中为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生
拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；
D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据
统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角 度；
(2)学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请
用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
3．小明参加某个智力竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有
4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉一
个错误选项）．
(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
(2)如果小明将“求助”在第一题使用，请用画树状图或列表的方法，求小明顺利通关的概率．
类型十、游戏的公平性
【解惑】如图是一个转盘，转盘被等分成三等份，分别标注数字“1”“2”“3”，转动转盘，待转盘自动停止
后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向
两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．(1)转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是_______；
(2)嘉嘉和淇淇一起玩转盘游戏，规则如下：两人各转一次转盘，若两次转出的数字均为奇数，则嘉嘉获胜；
若两次转出的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则淇淇获胜．请通过画树形图或列表的方法说明该
游戏规则对双方是否公平．
【融会贯通】
1．在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字 ，甲已两人玩
摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球
上的数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法，说明理由．
2．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，
每次实验先搅拌均匀．
(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为__________；
(2)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这
种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．
3．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各
一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．
(1)小明赢的事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．）
(2)这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．
【一览众山小】
1．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸
出红球的频率稳定在0.75左右，则袋子中红球的个数量有可能是（ ）A．5 B．10 C．12 D．15
2．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列
轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 ， ，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据 ， ， ， 的众数是 ，中位数是
D．可能性是 的事件在一次试验中一定不会发生
4．在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，
记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在 附近，则估计袋子中的白球
有 个．
5．如图，将一个飞镖随机投掷到 的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为 ．
6．如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ．
7．根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
学生视力健康问题引起社会广泛关注． 某学习小组为了解本校八年级学生视力情况． 随
背景介绍
机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力频数分布表右眼视力 频数
3
24
18
12
9
9
15
合计 90
建议：……
（说明：以上仅展示部分报告内容）
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）；
(2)视力在“ ”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为： 、 、 、 、 、 、
、 、 ，这组数据的中位数是________；
(3)视力低于 属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为
________人；
(4)视力在“ ”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的
概率________．
8．“十二年学习在南外，十二年成长在深圳湾”的南外集团教育历程和“葆有外语特色，做强数理实
力”的南外教育内涵获得了全社会的广泛认可．为了不断提升学生对南外集团的归属感，集团举办了一次
南外校史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：
，B： ，C： ，D： ，E： ，并绘制出如图的统计图1和
图2．
请根据相关信息，解答下列问题：(1)图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ___________°，并将条形统计图补充完整．
(2)若“ ”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数
是 ___________，中位数是 ___________．
(3)经过初赛，进入决赛的同学有1名女生（记为A）和2名男生（记为B，C），现从这三位同学中决出冠
亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．
9．为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二：
方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占 ，乙盘的白色区域占 ，其余均为黑
色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券．
两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白）
中奖券金额 0元 10元 20元 50元
方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券．
问题：
(1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？
(2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由．
10．为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年 月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙
三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
单项比赛计分规 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得
则 分
团体决赛计分规
各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序
则
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为 ， ， ， ， ，求丙班第二个单项的得分
；
(2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；
（填“甲”“乙”或“丙”）
(3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有 ， ， 三种图书可供选择，请用列表或画树
状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
