文档内容
专题 05 新定义与跨学科（第 21-24 章）
1．（2025•南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣
3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（ ）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4
2．（2022秋•海口期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※3＝5的根
的情况为（ ）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
3．（2022春•环翠区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两
根的平方和为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．不存在
4．（2025•无锡）若函数y 的图象上存在点P，函数y 的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函
1 2
数y 和y 具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：
1 2
①函数y ＝2x+3与函数y ＝﹣x+1不具有“对偶关系”；
1 2
②函数y ＝2x+3与函数y ＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1；
1 2
1
③若1是函数y ＝kx+3与函数y = 的“对偶值”，则k＝2；
1 2
x
1 9
④若函数y ＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y = （x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b≤ ．
1 2
x 2
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
5．（2025•济南模拟）定义平面内任意两点 P（x ，y ），Q（x ，y ）之间的距离d ＝|x ﹣x |+|y ﹣y |，
1 1 2 2 PQ 2 1 2 1
称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点 P（﹣3，﹣2）与点Q
1
（2，2）之间的曼距d ＝|﹣3﹣2|+|﹣2﹣2|＝5+4＝9，若点A在直线y= x-2上，点B为抛物线y＝
PQ
2
x2+2x上一点，则曼距d 的最小值（ ）
AB
23❑√5 69 23 3
A． B． C． D．
40 40 16 2{a+b(a≥b)
6．（2025•邯郸模拟）定义新运算： ．按此规定可得函数y＝x#2（x≠0）的图象大致为
a#b= b
- (a＜b)
a
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025•山东模拟）用“Φ”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，aΦb=
{a+❑√b(a≥b)，则抛物线
b2-a(a＜b)
y＝x2+（2Φ3）x﹣（6Φ4）与x轴交点的个数为（ ）
A．有三个交点 B．有两个交点
C．有一个交点 D．没有交点
8．（2025•天元区校级模拟）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非
零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（3，1）＝
11，T（﹣1，3）＝﹣13，则下列结论错误的是（ ）
A．a＝2，b＝3
3
B．若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则y=-
2
C．若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有2组整数解
D．若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝0
1
9．（2025•包头模拟）定义运算：a★b＝a（1﹣b）．若a，b是方程x2-x+ m=0(m＜0)的两根，则
4
b★b﹣a★a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关10．（2025•雁峰区校级模拟）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为
“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是
关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线 x＝2
1 1
的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ a+ b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（ ）
4 2
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
11．（2025•历下区三模）定义：已知二次函数y＝ax2+bx+c，对于m、n为实数（m＜n），若当m≤x≤n时，
函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m≤x≤n为该函数的一个“翻倍取值范围”．已知二次函数 y＝
x2+kx+1的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，若d≤x≤e（d＜e）为函数y＝x2+kx+1的“翻
倍取值范围”，则e的值是（ ）
37 37
A． 或3+2❑√2 B． 或3-2❑√2
8 4
37
C． 或3+2❑√2 D．3-2❑√2或3+2❑√2
4
12．（2025•蜀山区三模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数
y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
1 9 1 9
A．﹣2＜c＜ B．﹣4＜c＜ C．﹣4＜c＜ D．﹣10＜c＜
4 4 4 4
13．（2025•潍坊三模）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”．
如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]．若点P（x ，y ），Q（x ，y ）在“图象数”为[m，﹣
1 1 2 2
2m，﹣3m]的二次函数的图象上，且m＞0，y ＝﹣3m，则当y ＜y 时，x 的取值范围为（ ）
1 1 2 2
A．0＜x ＜2 B．x ＞2
2 2
C．x ＜0或x ＞2 D．x ＜0
2 2 2
14．（2025•东兴区模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象
数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的
图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
1
A．﹣2 B． C．﹣2或2 D．2
4
15．（2025•萨尔图区校级二模）我们把a，b，c三个数的中间值记作Z{a，b，c}，例如Z{﹣5，4，1}＝
1
1，Z{m+1，m+3，m﹣5}＝m+1；若直线y=kx+ （k＞0）与函数y＝Z{x2﹣1，x+1，﹣x+1}的图象有
3
且只有2个交点，则k的取值范围是 ．16．（2023春•岐山县期末）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若
“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 x2+3x+m＝0 的解为
．
17．（2024秋•丹东期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更
多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的
倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题：
（1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是 ；
（2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，则c的值是 ；
（3）若 m 是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0 的倒方程的一个实数根，则 m3+m2﹣6m+2025 的值为
．
18．（2025春•南岗区校级期中）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝
0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？
（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ ．
（2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，
求a和b的值．
19．（2017秋•句容市校级期中）我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条
对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）如图①，请你在图中画出格点M，使得四边形OAMB是以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股
四边形；
（2）如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，CE．若∠DCB
＝30°，则四边形ABCD是勾股四边形，为什么？20．（2023秋•工业园区校级月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
（1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE
是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：
AB，CD是⊙O的等垂弦．
21．（2025•金水区校级四模）【了解概念】
定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为 60°的等线四边形叫做强等
线四边形．
【理解运用】
（1）下列四边形中，一定是等线四边形的是
（只填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
【拓展提升】（2）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向△ACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，且
∠CAG＝∠BAE＝60°，连接CG，BE，GE．
①求证：四边形BCGE是强等线四边形；
②若AB＝4，∠BAC＝30°，P，Q分别是BC，GE的中点，连接PQ，直接写出PQ的长．
22．（2024秋•濂溪区校级期中）以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对
称图形的是（ ）
A． 甲醛 B． 甲烷
C． 水 D． 乙酸
23．（2024秋•白塔区校级期中）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车
应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行
驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车
时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（ ）m．
A．13 B．14 C．15 D．16
24．（2025•定海区二模）如图，点B是正八边形的边AF上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后
到达边AG上一点E，若∠ABC＝65°，则∠AED＝（ ）
A．70° B．65° C．55° D．60°
25．（2023秋•集美区校级期中）根据物理学规律，如果把一个小球从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那
么小球经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2.根据该规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根x ≈0.88与x ≈1.16的解释正确的是（ ）
1 2
A．小球经过约1.02s离地面的高度为5m
B．小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s
C．小球经过约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升
D．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s
26．（2024秋•川汇区期中）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑
片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图
象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（ ）
A．160W B．180W C．200W D．220W
27．（2024秋•句容市期中）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上拋，
那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据物理学规律，物体经过 秒
落回地面．（结果精确到0.1）
28．（2024春•开远市校级期中）如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉
动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 cm．（结果保留π）
29．（2024秋•泗阳县期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省
力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点 A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为
12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为 ．30．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，物理实验中利用一个半径为3cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉
动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动120°，则砝码被提起了 cm．（结果保留π）
31．（2024秋•邕宁区校级期中）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的 6个
碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边
形如图2，则∠1的度数为 °．
32．（2023秋•新城区校级期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．
在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的
乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？
（2）小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，❑√2≈1.41，❑√3≈1.73）33．（2024秋•旬阳市校级期中）从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度 h（单位：
m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球运动中的最大高度是
m．
34．（2024秋•翔安区期中）【综合与实践】
【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，
某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量 y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘
制在平面直角坐标系中，如图所示：
任务一：求出函数表达式
（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下y随x变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线y＝
﹣0.04x2+bx+c的一部分，场景B的图象是直线y＝ax+c（a≠0）的一部分，分别求出场景A、B相应的函
数表达式；
任务二：探究该化学试剂的挥发情况
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景
下发挥作用的时间更长？35．（2024秋•肥西县期中）九年级学生小林进行跨学科自主学习活动，他利用函数的相关知识在实验场
景A和实验场景做对比，研究某种化学试剂的挥发情况．若当实验过程中该试剂挥发时间为x分钟时，
在实景A，B中的剩余质量分别为y ，y （单位：克）．记录y ，y 与x的几组对应值如下：
1 2 1 2
x（分钟） 0 5 10 15 20 …
y （克） 25 23.5 20 14.5 7 …
1
y （克） 25 20 15 10 5 …
2
请你协助小林将探究过程补充完整：
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y ），（x，y ），并画出函
1 2
数y ，y 的图象；
1 2
（2）进一步探究发现，实验场景 A 的图象是抛物线的一部分，y 与 x 之间近似满足二次函数：
1
；实验场景B的图象是直线的一部分，y 与x之间近似满足一次函数y ＝kx+25；则a
y =ax2-0.1x+c 2 2
1
＝ ；c＝ ，k＝ ；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用，在上述实验中，记该化学
试剂在场景 A，B中发挥有效作用的时间分别为 x ，x ，则 x x （填“＞”，“＝”或
A B A B
“＜”）．36．（2024春•金州区期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛
物 害人害己 严禁高空抛物”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下
1
落的时间t（单位：秒）和高度h（单位：米）近似满足公式h= gt2，其中g为重力加速度，g≈10米/平
2
方秒．物体落地时产生的动能＝物体质量×重力加速度×高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千
克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：1×10×30＝300焦耳．
（1）一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？
（2）一个0.5千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结
果精确到0.1秒，❑√2≈1.41）
37．（2023秋•左权县期中）比萨斜塔（图①）是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶
上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引
力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．已知：如图②，某建筑OA的高度为44.1m，
将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d（m）与运动时
间t（s）之间的函数表达式是d＝7t，在竖直方向物体的下落高度h（m）与下落时间t（s）之间的函数
表达式为h＝4.9t2．求小铁球从建筑物上下落到地面时，距离抛出点的水平距离．
