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专题 05 新定义与跨学科（第 21-24 章）
1．（2025•南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣
3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（ ）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4
【答案】C
【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，
∴x★2＝x2﹣3x+2，
即：x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0或x+1＝0，
∴x ＝4，x ＝﹣1．
1 2
故选：C．
2．（2022秋•海口期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※3＝5的根
的情况为（ ）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
【答案】C
【解答】解：∵a※b＝a2﹣ab+b，
∴x※3＝x2﹣3x+3＝5，
∴x2﹣3x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程x※3＝5有两个不相等的实数根．
故选：C．
3．（2022春•环翠区期末）新定义运算：a※b＝a2﹣ab+b，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x※2＝5两
根的平方和为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．不存在
【答案】C【解答】解：根据题中的新定义化简方程x※2＝5得：x2﹣2x+2＝5，
整理得：x2﹣2x﹣3＝0，
设方程两根分别为m，n，
∴m+n＝2，mn＝﹣3，
则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4+6＝10．
故选：C．
4．（2025•无锡）若函数y 的图象上存在点P，函数y 的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称函
1 2
数y 和y 具有“对偶关系”，此时点P或点Q的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：
1 2
①函数y ＝2x+3与函数y ＝﹣x+1不具有“对偶关系”；
1 2
②函数y ＝2x+3与函数y ＝﹣x+1的“对偶值”为﹣1；
1 2
1
③若1是函数y ＝kx+3与函数y = 的“对偶值”，则k＝2；
1 2 x
1 9
④若函数y ＝﹣2x+b（﹣2≤x≤﹣1）与函数y = （x＞0）具有“对偶关系”，则3≤b≤ ．
1 2 x 2
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解答】解：①设函数y ＝2x+3上点P坐标轴为（m，2m+3），
1
∵P、Q关于y轴对称，
∴Q点坐标为（﹣m，m+1），
若点P或点Q的纵坐标称相等，
∴2m+3＝m+1，
解得：m＝﹣2，
则存在这样的点P、Q，使得他们关于y轴对称，
∴函数y ＝2x+3与函数y ＝﹣x+1具有“对偶关系”；
1 2
故①错误，不符合题意；
②当y ＝y ＝﹣1时，则﹣1＝2x+3，
1 2
解得x＝﹣2；
﹣1＝﹣x+1，解得x＝2；
横坐标是相反数，
故②正确，符合题意；1
③当y ＝y ＝1时，则1= ，
1 2 x
解得x＝1；
1
因为是函数y ＝kx+3与函数y = 的“对偶值”，
1 2 x
所以函数y ＝kx+3的x＝﹣1，
1
代入得：1＝﹣k+3，
解得k＝2，
故③正确，符合题意；
1
④设点P坐标为（m，﹣2m+b），则点Q坐标为(-m，- )，
m
∵P、Q横坐标是相反数关系，纵坐标相等，
1
∴-2m+b=- ，
m
1
整理得b=2m- ，
m
1
∵﹣2≤m≤﹣1，对于函数y=2m- ，y随m的增大而增大，
m
1 1 7
当m＝﹣2时，b=2×(-2)- =-4+ =- ；
-2 2 2
1
当m＝﹣1时，b=2×(-1)- =-2+1=-1；
-1
7 9
∴- ≤b≤-1，而不是3≤b≤ ，
2 2
故④错误，不符合题意；
故选：B．
5．（2025•济南模拟）定义平面内任意两点 P（x ，y ），Q（x ，y ）之间的距离d ＝|x ﹣x |+|y ﹣y |，
1 1 2 2 PQ 2 1 2 1
称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点 P（﹣3，﹣2）与点Q
1
（2，2）之间的曼距d ＝|﹣3﹣2|+|﹣2﹣2|＝5+4＝9，若点A在直线y= x-2上，点B为抛物线y＝
PQ 2
x2+2x上一点，则曼距d 的最小值（ ）
AB
23❑√5 69 23 3
A． B． C． D．
40 40 16 2
【答案】C1
【解答】解：由题意得：设A(a， a-2)，B（b，b2+2b），
2
1
∴d =|a-b|+| a-2-(b2+2b)|，
AB 2
由图象可知，当A、B两点横坐标相等时，d 取得最小值，
AB
1 3 3 2 23
∴d =| b-2-(b2+2b)|=|-b2- b-2|=|(b+ ) + |，
AB 2 2 4 16
23
∴曼距d 的最小值为 ；
AB 16
故选：C．
{a+b(a≥b)
6．（2025•邯郸模拟）定义新运算：a#b= b ．按此规定可得函数y＝x#2（x≠0）的图象大致为
- (a＜b)
a
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
{a+b(a≥b)
【解答】解：∵定义新运算：a#b= b ，
- (a＜b)
a
{x+2(x≥2)
∴y= 2 ，
- (x＜2)
x
画图如下：
，
故选：C．
{a+❑√b(a≥b)
7．（2025•山东模拟）用“Φ”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，aΦb = ，则抛物线
b2-a(a＜b)
y＝x2+（2Φ3）x﹣（6Φ4）与x轴交点的个数为（ ）
A．有三个交点 B．有两个交点
C．有一个交点 D．没有交点
【答案】B
【解答】解：由题意可知，（2Φ3）＝32﹣2＝7，(6Φ4)=6+❑√4=8，
∴y＝x2+7x﹣8，
令y＝0，则x2+7x﹣8＝0，
∵Δ＝72﹣4×（﹣8）＝81＞0，
∴抛物线y＝x2+（2Φ3）x﹣（6Φ4）与x轴交点的个数为有两个交点，故选：B．
8．（2025•天元区校级模拟）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非
零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（3，1）＝
11，T（﹣1，3）＝﹣13，则下列结论错误的是（ ）
A．a＝2，b＝3
3
B．若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则y=-
2
C．若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有2组整数解
D．若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝0
【答案】B
{ 3a+3b-4=11
【解答】解：A．由题意，得 ，
-3a-b-4=-13
{a=2
解得： ，故选项A正确；
b=3
B．T（kx，y）＝2kxy+3kx﹣4＝kx（2y+3）﹣4，
∵若T（kx，y）始终不变，则有2种情况：
3
①2y+3＝0，则y=- ，
2
②x＝0，B少一种情况，故选项B错误；
C．∵T（m，n）＝0，
∴2mn+3m﹣4＝0，
4
∴m= ，
2n+3
当m为整数时，2n+3＝±1，±2，±4，
当2n+3＝﹣1时，
解得：n＝﹣2，
4
∴m= =-4，符合题意；
2×(-2)+3
当2n+3＝1时，
解得：n＝﹣1，
4
∴m= =4，符合题意；
2×(-1)+3
当2n+3＝﹣2时，5
解得：n=- ，不符合题意；
2
当2n+3＝2时，
1
解得：n=- ，不符合题意；
2
当2n+3＝﹣4时，
7
解得：n=- ，不符合题意；
2
当2n+3＝4时，
1
解得：n= ，不符合题意，
2
综上所述，m，n有且仅有2组整数解，故选项C正确；
D．当T（kx，y）＝T（ky，x）时，则2kxy+3kx﹣4＝2kxy+3ky﹣4，
∴2kxy+3kx﹣4﹣2kxy﹣3ky+4＝0，
∴3kx﹣3ky＝0，
即3k（x﹣y）＝0，
∵T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x，y都成立，
∴k＝0，故选项D正确．
故选：B．
1
9．（2025•包头模拟）定义运算：a★b＝a（1﹣b）．若a，b是方程x2-x+ m=0(m＜0)的两根，则
4
b★b﹣a★a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【答案】A
1
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+ m＝0（m＜0）的两根，
4
∴a+b＝1，
∴b★b﹣a★a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0．
故选：A．
10．（2025•雁峰区校级模拟）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为
“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是
关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线 x＝21 1
的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ a+ b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（ ）
4 2
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对
“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
{ a+b+c=4
得 ，
a-b+c=-4
{ b=4
∴ ，
a+c=0
∴①②正确，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
b
∴- ＞2，
2a
4
∴- ＞2，
2a
∴﹣1＜a＜0，④正确，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，c＝﹣a，
1 1 1 1 3
当x= 时，y＝ax2+bx+c= a+ b+c= a+2﹣a＝2- a，
2 4 2 4 4
∵﹣1＜a＜0，
3
∴- a＞0，
4
1 1 3
∴ a+ b+c＝2- a＞0，③错误．
4 2 4
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
11．（2025•历下区三模）定义：已知二次函数y＝ax2+bx+c，对于m、n为实数（m＜n），若当m≤x≤n时，
函数值y的取值范围为2m≤y≤2n，则称m≤x≤n为该函数的一个“翻倍取值范围”．已知二次函数 y＝x2+kx+1的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，若d≤x≤e（d＜e）为函数y＝x2+kx+1的“翻
倍取值范围”，则e的值是（ ）
37 37
A． 或3+2❑√2 B． 或3-2❑√2
8 4
37
C． 或3+2❑√2 D．3-2❑√2或3+2❑√2
4
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝x2+kx+1的图象上有两点（s，t）和（u，t），其中s+u＝4，
k 4
∴- = ，
2 2
∴k＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴对称轴直线x＝2，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵d≤x≤e（d＜e）为函数y＝x2+kx+1的“翻倍取值范围”，
{d2-4d+1=2e
∴当e＜2时，则： ，
e2-4e+1=2d
{d=3-2❑√2 {d=3+2❑√2 {d=3 {d=-1
解得： 或 或 或 均不符合题意，舍去；
e=3-2❑√2 e=3+2❑√2 e=-1 e=3
当d≤2≤e时，则：2d＝﹣3，
3
解得：d=- ；
2
3 3 37
当x＝d，y＝2e时，则：2e=(- ) 2-4×(- )+1= ，
2 2 4
37
∴e= ；符合题意；
8
当x＝e，y＝2e时，则：2e＝e2﹣4e+1，
解得：e=3+2❑√2或e=3-2❑√2（舍去）；
{d2-4d+1=2d
当d＞2时，则： ，
e2-4e+1=2e
解得：d=3+2❑√2或d=3-2❑√2（舍去）；e=3+2❑√2或e=3-2❑√2（舍去）；
∴d=3+2❑√2，e＝3+2❑√2，
∵d＜e，故这种情况不符合题意；舍去；37
综上：e= 或e=3+2❑√2；
8
故选A．
12．（2025•蜀山区三模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数
y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
1 9 1 9
A．﹣2＜c＜ B．﹣4＜c＜ C．﹣4＜c＜ D．﹣10＜c＜
4 4 4 4
【答案】B
【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x，
将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4，
将x＝4代入y＝2x得y＝8，
设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如图，
联立方程x2﹣x+c＝2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点，
即9﹣4c＞0，
9
解得c＜ ，
4
此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c，
把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c，
{6+c＞-4
∴ ，
12+c＞8解得c＞﹣4，
9
∴﹣4＜c＜ 满足题意．
4
故选：B．
13．（2025•潍坊三模）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”．
如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]．若点P（x ，y ），Q（x ，y ）在“图象数”为[m，﹣
1 1 2 2
2m，﹣3m]的二次函数的图象上，且m＞0，y ＝﹣3m，则当y ＜y 时，x 的取值范围为（ ）
1 1 2 2
A．0＜x ＜2 B．x ＞2
2 2
C．x ＜0或x ＞2 D．x ＜0
2 2 2
【答案】C
【解答】解：由条件可知二次函数的解析式为y＝mx2﹣2mx﹣3m，
-2m
∴对称轴为直线x=- =1，
2m
当y ＝﹣3m时，得到mx2﹣2mx﹣3m＝﹣3m，
1
∵m＞0，
∴x2﹣2x＝0，
解得x ＝0或x ＝2，
1 1
∵m＞0，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大，
当x ＝0时，
1
∵y ＜y ，得|0﹣1|＜|x ﹣1|，
1 2 2
解得x ＜0或x ＞2；
2 2
当x ＝2时，
1
∵y ＜y ，得|2﹣1|＜|x ﹣1|，
1 2 2
解得x ＜0或x ＞2；
2 2
综上所述，x ＜0或x ＞2，
2 2
故选：C．
14．（2025•东兴区模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象
数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的
图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
1
A．﹣2 B． C．﹣2或2 D．2
4【答案】C
【解答】解：二次函数的解析式为y＝mx2+（2m+4）x+2m+4，
根据题意得△＝（2m+4）2﹣4m（2m+4）＝0，
解得m ＝﹣2，m ＝2，
1 2
故选：C．
15．（2025•萨尔图区校级二模）我们把a，b，c三个数的中间值记作Z{a，b，c}，例如Z{﹣5，4，1}＝
1
1，Z{m+1，m+3，m﹣5}＝m+1；若直线y=kx+ （k＞0）与函数y＝Z{x2﹣1，x+1，﹣x+1}的图象有
3
1 4
且只有2个交点，则k的取值范围是 ＜k≤1或k= ．
3 3
1 4
【答案】 ＜k≤1或k= ．
3 3
{
-x+1(x≤-2，0≤x≤1)
【解答】解：由题意，函数y=Z{x2-1，x+1，-x+1}= x2-1(-2＜x＜-1，1＜x＜2)，
x+1(-1≤x＜0，x≥2)
画出函数图象如图所示，
1
∵直线y=kx+ （k＞0）与分段函数的图象有且只有2个交点，
3
1
当直线y=kx+ （k＞0）经过点（2，3）时，
3
1
则3=2k+ ，
34
解得：k= ，
3
1
当直线y=kx+ （k＞0）经过点（﹣1，0）时，
3
1
解得：k= ，
3
1
此时直线y=kx+ （k＞0）与分段函数的图象恰好有3个交点，
3
1
当k＝1时，y=kx+ 平行于y＝x+1，
3
与函数的图象也有且仅有两个交点；
1 1 4
∴直线y=kx+ （k＞0）与分段函数的图象有且只有2个交点，k的取值为： ＜k≤1或k= ．
3 3 31 4
故答案为： ＜k≤1或k= ．
3 3
16．（2023春•岐山县期末）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若
“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程x2+3x+m＝0的解为 x ＝﹣ 1 ， x ＝
1 2
﹣ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由“关联数”定义得一次函数为y＝x+m﹣2，
又∵此一次函数为正比例函数，∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
∴关于x的方程为x2+3x+2＝0，
因式分解得：（x+1）（x+2）＝0，
∴x+1＝0或x+2＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝﹣2；
1 2
故答案为：x ＝﹣1，x ＝﹣2．
1 2
17．（2024秋•丹东期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更
多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的
倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题：
（1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是 x 2 + 3 x ﹣ 4 ＝ 0 ；
（2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值；
（3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为 2025
．
【答案】（1）x2+3x﹣4＝0；
（2）c＝﹣3；
（3）2025．
【解答】解：（1）方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是：x2+3x﹣4＝0；
故答案为：x2+3x﹣4＝0；
（2）由条件可倒方程为cx2﹣2x+1＝0，
把x＝﹣1代入方程，
得c+2+1＝0，
∴c＝﹣3；
（3）由题意得：方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0，∵m是方程x2+x﹣6＝0的一个实数根，
∴m2+m﹣6＝0，
∴m3+m2﹣6m+2025＝m（m2+m﹣6）+2025＝2025．
故答案为：2025．
18．（2025春•南岗区校级期中）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝
0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？
（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ 5 ．
（2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，
求a和b的值．
【答案】（1）5；
（2）a＝﹣1，b＝18．
【解答】解：（1）由条件可知2（x﹣1）2+p﹣2＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，
∴p﹣2＝3，
解得p＝5；
故答案为：5；
（2）由条件可知（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1，
∴（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7，
{b-8=2(a+6)
∴ ，
6=a+7
{a=-1
解得 ．
b=18
19．（2017秋•句容市校级期中）我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条
对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）如图①，请你在图中画出格点M，使得四边形OAMB是以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股
四边形；
（2）如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，CE．若∠DCB
＝30°，则四边形ABCD是勾股四边形，为什么？【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图①，点M或点M′为所作；
（2）连接CE，如图②，
∵△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE
∴AC＝DE，BC＝BE，∠CBE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴EC＝BC，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
∴DC2+EC2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2，
∴四边形ABCD是勾股四边形．
20．（2023秋•工业园区校级月考）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．
（1）如图1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E．求证：四边形ADOE
是正方形；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于D，C两点，连接CD．求证：
AB，CD是⊙O的等垂弦．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB，AC是⊙O的等垂弦，
∴AB＝AC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
1 1
∴AE= AC，AD= AC，
2 2
∴AE＝AD，
∴矩形ADOE是正方形．
（2）证明：设AB交CD于点E，连接AC，
∵OD⊥OA，OC⊥OB，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠AOB＝∠COD，
∴AB＝CD，
1 1
∵∠BAC= ∠BOC＝45°，∠ACD= ∠AOD＝45°，
2 2
∴∠BEC＝∠ACD+∠BAC＝90°，
∴AB⊥CD，∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴AB，CD是⊙O的等垂弦．
21．（2025•金水区校级四模）【了解概念】
定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为 60°的等线四边形叫做强等
线四边形．
【理解运用】
（1）下列四边形中，一定是等线四边形的是 ②④ ； （只填序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
【拓展提升】
（2）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边向△ACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，且
∠CAG＝∠BAE＝60°，连接CG，BE，GE．
①求证：四边形BCGE是强等线四边形；
②若 AB＝4，∠BAC＝30°，P，Q 分别是 BC，GE 的中点，连接 PQ，直接写出 PQ 的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：一定是等线四边形的是②矩形；④正方形．理由如下：
①平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；
②矩形对角线相等，它一定是等线四边形；
③菱形对角线互相垂直平分，但不一定相等，它不一定是等线四边形；
④正方形对角线相等，它一定是等线四边形，
故答案为：②④；
（2）①证明：连接BG、CE，交于点O，设CE交AB于点N，如图：菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝60°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△BAG和△EAC中，
{
AB=AE
∠GAB=∠CAE，
AG=AC
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG＝EC，∠ABG＝∠AEC，即∠OBN＝∠AEN，
∵∠OBN十∠BNO+∠BOE＝∠AEN+∠ENA+∠BAE＝180°，∠BNO＝∠ENA，
∴∠BOE＝∠BAE＝60°，即BG、CE所夹锐角为60°，
∴四边形BCGE是强等线四边形；
②解：在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝30°，
△ ❑√3
∴AC＝AB•cos∠BAC＝4× =2❑√3，
2
菱形ACFG和菱形ABDE中，AC＝AG＝2❑√3，AE＝AB＝4，∠CAG＝∠BAE＝60°，
∴△ACG、△ABE都是等边三角形，
∴∠GAE＝∠CAG+∠BAC+∠BAE＝150°，
∴CG＝AC＝2❑√3，BE＝AB＝4，∠AGC＝∠AEB＝60°，
∠AGE+∠AEG＝180°﹣∠GAE＝30°，
∴∠CGE+∠BEG＝∠AGC+∠AEB﹣（∠AGE+∠AEG）＝90°，
连接PQ、CE，取CE的中点M，连接PM、QM，如图：
∵分别是BC，GE的中点，∴PM、QM分别是△BCE、△CGE的中位线，
1
∴PM= BE＝2，PM∥BE，
2
1
QM= CG=❑√3，QM∥CG，
2
∴∠CMP＝∠CEB，∠MQE＝∠CGE，
∵∠CMQ＝∠MQE+∠CEG，
∴∠CMQ＝∠CGE+∠CEG，
∴∠CMQ+∠CMP＝∠CGE+∠CEG+∠CEB＝90°，
在Rt PQM中，由勾股定理得，
△
PQ=❑√PM2+QM2=❑√22+(❑√3) 2=❑√7，
即PQ的长为❑√7．
22．（2024秋•濂溪区校级期中）以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对
称图形的是（ ）
A． 甲醛 B． 甲烷
C． 水 D． 乙酸
【答案】C
【解答】解：选项A、B、D的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形；
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
23．（2024秋•白塔区校级期中）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车
应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行
驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车
时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（ ）m．
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【解答】解：由题意得，S＝16t﹣4t2＝﹣4（t﹣2）2+16，∵﹣4＜0，
∴当 t＝2时，s最大．
∴当t＝2时，汽车停下来，滑行了16m．
故选：D．
24．（2025•定海区二模）如图，点B是正八边形的边AF上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后
到达边AG上一点E，若∠ABC＝65°，则∠AED＝（ ）
A．70° B．65° C．55° D．60°
【答案】A
【解答】解：如图，设CD上方的正八边形的顶点依次为H，I，J，BC与DE的交点为K．
由正八边形的性质得∠CHI＝∠HIJ＝∠IJD＝∠BAE＝180°﹣45°＝135°．
设∠BCD＝x，∠CDE＝y．
1 1 1 1
由光的反射定律可知∠DCH= (180°-∠BCD)=90°- x，∠CDJ= (180°-∠CDE)=90°- y．
2 2 2 2
∵多边形CHIJD是五边形，
1 1
∴∠CHI+∠HIJ+∠IJD+∠DCH+∠CDJ＝540°，即3×135°+90°- x+90°- y=540°，
2 2
解得x+y＝90°，
∴∠CKD＝180°﹣（x+y）＝90°，
∴∠BKE＝90°．
∵多边形AEKB是四边形，
∴∠AED＝360°﹣（∠BKE+∠BAE+∠ABC）＝360°﹣（90°+135°+65°）＝70°．
故选：A．25．（2023秋•集美区校级期中）根据物理学规律，如果把一个小球从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那
么小球经过xs离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2.根据该规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根
x ≈0.88与x ≈1.16的解释正确的是（ ）
1 2
A．小球经过约1.02s离地面的高度为5m
B．小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s
C．小球经过约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升
D．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s
【答案】D
【解答】解：∵方程10x﹣4.9x2＝5的两根x ≈0.88与x ≈1.16，
1 2
∴小球经过约0.88s和1.16s离地面的高度为5m，故选项A，B不符合题意；
小球上升时经过约0.88s离地面的高度为5m，并将继续上升，小球下降时经过约0.16s离地面的高度为
5m，并将继续下降，故选项C不符合题意；
小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为1.16﹣0.88＝0.28s，故选项D符合题意．
故选：D．
26．（2024秋•川汇区期中）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑
片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图
象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（ ）
A．160W B．180W C．200W D．220W
【答案】D
【解答】解：由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛物线解析式为P＝aI2+bI，
把（1，165），（4，0）代入得：
{ a+b=165
，
16a+4b=0
{a=-55
解得：
b=220
∴抛物线解析式为P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220，
∵﹣55＜0，∴当I＝2时，P取最大值220，
∴变阻器R消耗的电功率P最大为220W；
故选：D．
27．（2024秋•句容市期中）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上拋，
那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据物理学规律，物体经过 2. 0 秒落回
地面．（结果精确到0.1）
【答案】2.0．
【解答】解：根据物体落回地面，可得10x﹣4.9x2＝0，
100
∴x ＝0（舍），x = ≈2.0．
1 2 49
故答案为：2.0．
28．（2024春•开远市校级期中）如图，物理实验中利用一个半径为6cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉
动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了120°，此时砝码被提起了 4 π cm．（结果保留π）
【答案】4π．
120π×6
【解答】解：砝码被提起了： = 4π（cm）．
180
故答案为：4π．
29．（2024秋•泗阳县期中）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省
力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点 A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为
12cm；当重物上升4πcm时，滑轮上点A转过的度数为 60 ° ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设滑轮上点A转过的度数为n°，
由题意可知，点A转过的弧长为4πcm，
nπ×12
∴ =4π，
180
解得n＝60，
∴滑轮上点A转过的度数为60°，
故答案为：60°．
30．（2024秋•拱墅区校级期中）如图，物理实验中利用一个半径为3cm的定滑轮提起砝码，小明向下拉
动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动120°，则砝码被提起了 2 π cm．（结果保留π）
【答案】见试题解答内容
120π×3
【解答】解：∵ =2π(cm)，
180
∴砝码被提起了2π cm．
故答案为：2π．
31．（2024秋•邕宁区校级期中）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．发现苯分子中的 6个
碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的正六边
形如图2，则∠1的度数为 12 0 °．【答案】120．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
(6-2)×180°
∴AB＝AF＝EF，∠BAF＝∠AFE= =120°，
6
∴△BAF≌△AFE（SAS），
∴∠ABF＝∠FAE，
∴∠1＝∠ABF+∠BAE
＝∠FAE+∠BAE
＝∠BAF
＝120°．
故答案为：120．
32．（2023秋•新城区校级期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．
在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的
乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？
（2）小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，❑√2≈1.41，❑√3≈1.73）
【答案】（1）小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s；
（2）小球滚动5m约用了1.2秒．
【解答】解：（1）小球的滚动速度平均每秒减少5÷4＝1.25（m/s），
答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s．
（2）设小球滚动5m约用了x秒，此时速度为5﹣1.25x，
5+(5-1.25x)
由题意得：x⋅ =5，
2
整理得：x2﹣8x+8＝0，
解得：x=4-2❑√2或x=4+2❑√2，5
当x=4+2❑√2时，5-1.25x=5-1.25×(4+2❑√2)=- ❑√2＜0，不符题意，舍去，
2
∴x=4-2❑√2≈1.2，
答：小球滚动5m约用了1.2秒．
33．（2024秋•旬阳市校级期中）从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度 h（单位：
m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球运动中的最大高度是
45 m．
【答案】45．
【解答】解：h＝﹣5t2+30t
＝﹣5（t2﹣6t）
＝﹣5（t2﹣6t+9﹣9）
＝﹣5[（t﹣3）2﹣9]
＝﹣5（t﹣3）2+45
因为二次项系数﹣5＜0，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，
当t＝3时，h取得最大值45，又因为3在0≤t≤6这个取值范围内，
所以小球运动中的最大高度是45m．
故答案为：45．
34．（2024秋•翔安区期中）【综合与实践】
【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，
某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量 y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘
制在平面直角坐标系中，如图所示：
任务一：求出函数表达式
（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下y随x变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线y＝﹣0.04x2+bx+c的一部分，场景B的图象是直线y＝ax+c（a≠0）的一部分，分别求出场景A、B相应的函
数表达式；
任务二：探究该化学试剂的挥发情况
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景
下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）场景A的函数表达式为 y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，场景B的函数表达式为 y＝﹣x+21；
（2）化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
【解答】解：（1）场景A：把 （0，21），（10，16），代入 y＝﹣0.04x2+bx+c，
{ 21=c
得： ，
16=-0.04×102+10b+c
{b=-0.1
解得 ，
c=21
∴y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21；
场景B：把 （0，21），（5，16），代入y＝ax+c，
{ c=21
得： ，
5a+c=16
{a=-1
解得 ，
c=21
∴y＝﹣x+21；
场景A的函数表达式为 y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，场景B的函数表达式为 y＝﹣x+21；
（2）当y＝3时，
场景A中，3＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，
解得：x ＝20，x ＝﹣22.5（舍去），
1 2
场景B中，3＝﹣x+21，
解得 x＝18，
∵20＞18，
∴化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
35．（2024秋•肥西县期中）九年级学生小林进行跨学科自主学习活动，他利用函数的相关知识在实验场
景A和实验场景做对比，研究某种化学试剂的挥发情况．若当实验过程中该试剂挥发时间为x分钟时，
在实景A，B中的剩余质量分别为y ，y （单位：克）．记录y ，y 与x的几组对应值如下：
1 2 1 2
x（分钟） 0 5 10 15 20 …
y （克） 25 23.5 20 14.5 7 …
1y （克） 25 20 15 10 5 …
2
请你协助小林将探究过程补充完整：
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y ），（x，y ），并画出函
1 2
数y ，y 的图象；
1 2
（2）进一步探究发现，实验场景 A 的图象是抛物线的一部分，y 与 x 之间近似满足二次函数：
1
y =ax2-0.1x+c；实验场景B的图象是直线的一部分，y 与x之间近似满足一次函数y ＝kx+25；则a
1 2 2
＝ ﹣ 0.0 4 ；c＝ 2 5 ，k＝ ﹣ 1 ；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用，在上述实验中，记该化学
试剂在场景A，B中发挥有效作用的时间分别为x ，x ，则x ＞ x （填“＞”，“＝”或“＜”）．
A B A B
【答案】（1）作图见解答过程；
（2）﹣0.04，25，﹣1；
（3）＞．
【解答】解：（1）由题意，作图如图．
（2）由题意，实验场景A的图象是抛物线的一部分，y 与x之间近似满足函数关系y =ax2-0.1x+c．
1 1又∵点（0，25），（10，20）在函数图象上，
{ c=25
∴ ，
100a-1+c=20
{a=-0.04
解得 ，
c=25
∴实验场景A函数关系式为y =-0.04x2-0.1x+25；
1
对于实验场景B的图象是直线的一部分，y 与x之间近似满足函数关系y ＝kx+c．
2 2
又∵（0，25），（10，15）在函数图象上，
{ c=25
∴ ，
10k+c=15
{c=25
解得 ，
k=-1
∴实验场景B函数关系式为y ＝﹣x+25；
2
∴a＝﹣0.04，c＝25，k＝﹣1，
故答案为：﹣0.04，25，﹣1；
（3）结合图象可知，
当y＝5时，实验场景A中，x ＞20，实验场景B中，x ＝20，
A B
∴x ＞x ，
A B
故答案为：＞．
36．（2024春•金州区期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛
物 害人害己 严禁高空抛物”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下
1
落的时间t（单位：秒）和高度h（单位：米）近似满足公式h= gt2，其中g为重力加速度，g≈10米/平
2
方秒．物体落地时产生的动能＝物体质量×重力加速度×高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千
克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：1×10×30＝300焦耳．
（1）一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？
（2）一个0.5千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结
果精确到0.1秒，❑√2≈1.41）
【答案】（1）一个物品从80米的高楼坠落到地面需要4秒；
（2）该物品坠落到地面用了约2.8秒．
1
【解答】解：（1）把h＝80米代入式h= gt2得，
21
80= ×10t2，
2
解得t＝4（负值舍去），
答：一个物品从80米的高楼坠落到地面需要4秒；
200
（2）根据题意得h= =40（米），
0.5×10
1 1
把h＝40米代入h= gt2得，40= ×10t2，
2 2
∴t＝2❑√2（负值舍去），
∴t≈2.8秒，
答：该物品坠落到地面用了约2.8秒．
37．（2023秋•左权县期中）比萨斜塔（图①）是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶
上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引
力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．已知：如图②，某建筑OA的高度为44.1m，
将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离d（m）与运动时
间t（s）之间的函数表达式是d＝7t，在竖直方向物体的下落高度h（m）与下落时间t（s）之间的函数
表达式为h＝4.9t2．求小铁球从建筑物上下落到地面时，距离抛出点的水平距离．
【答案】21m．
【解答】解：依题意得：当h＝44.1时，44.1＝4.9t2，
解得：t＝3或t＝﹣3（舍去）．
所以小球从抛出到落地所需的时间为3s．
所以当t＝3时，d＝7t＝7×3＝21（m）．
答：小球从建筑物上下落到地面时，距离抛出点的水平距离为21m．
