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专题22.3 二次函数的实际应用（5个考点）
【考点1 运动类（1）落地模型】
【考点2 运动类（2）最值模型】
【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】
【考点5面积类】
【考点6拱桥类】
【考点1 运动类（1）落地模型】
1．掷实心球是中考体育考试选考项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，其竖
直高度与水平距离之间满足二次函数关系．明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，
实心球在空中运动时的水平距离 （单位：m）与竖直高度 （单位：m）的数据如下表：
水平距离
竖直高度
在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为（ ）
A．6米 B．8米 C．9米 D．10米
2．如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的
一部分（水平地面为 轴，单位： ），有下列结论：①出球点 离点 的距离是 ；②
羽毛球最高达到 ；③羽毛球横向飞出的最远距离是 ；其中，正确结论的个数是
（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．王林对实心球投掷训练录象进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离
x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是 m．
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点
正上方1m的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
(1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为4m时到达最高处，此时羽毛球离地
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面 m，如图1．
3
①求抛物线的解析式；
②通过计算判断此球能否过网；
(2)甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 y=a(x-4)²+h，到与点O的水平距离为
9m时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路
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线为直线的一部分，且经过点(6， )，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说
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明．5．足球作为世界第一运动的地位，是其他运动项目都无法撼动的，在一次训练中，小鹏同
学在距离球门12米的点O处起脚射门，即OM=12米，已知足球的运动路线是抛物线，当
足球飞行过程中，距起脚点O的水平距离为8米时，可达到最高点，最高点距离地面4米，
已知球门MN为标准高度2.44米，建立直角坐标系如图所示，点O为坐标原点．
(1)求足球运动路线的函数解析式．
(2)计算并判断足球能否射门成功（不考虑其他因素）．
(3)若射门路线的形状及其最大高度均保持不变，小鹏同学带球向自己的正后方移动一定的
距离后再朝球门方向起脚射门，刚好使得足球经过点N正下方的40厘米处破门而入，求移
动的距离．
6．掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如
图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处A距离地面的高度AO
是2m，实心球的落地点为C处，以O为原点，OC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建
立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3m时，达到最大高度3m的B处．(1)求抛物线的解析式；
(2)若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4m，小鹏此次投
掷的成绩能上80分吗？
【考点2 运动类（2）最值模型】
7．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持
足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，
由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距
离 与滑行时间 的满足函数关系式为： ．则急刹车时汽车最远要滑
行 m才能停下．
6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是
，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米．
8． 月 日晚 时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这边独好”
—— 南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国 岁生日．其中，一种新型礼炮的升
空高 与飞行时间 的关系式是 ，若这种礼炮在点火升空到最高点
处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 ．
9．如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹
的飞行路径，爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）
与飞行时间t（秒）之间的函数图象如图2所示.
（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数关系式；
（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米，皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，
第二发花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？
【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】
10．春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售
出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（
30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x（元/张） 40 50
售出电影票数量y（张） 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的
函数关系式；
(3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
11．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销
售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系y=-x+180，规定每千克售价不能低于30元，
且不高于80元．
(1)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
(2)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润
是多少元？12．2023年“五一”假期，昆明校场路蓝花楹主题公园成为热门网红打卡地后，公园开始
售卖蓝花楹主题雪糕，每根成本价为3元，经调查，每天的销售量y（根）与每根的售价x
（元）之间的函数关系式如图所示．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设每天的总利润w（元），若每根雪糕的售价为整数，则售价定为多少元时，获利最大？
最大利润是多少？
13．某超市以每件11元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高
于17元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足
如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
14．某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量
y(瓶)与销售单价x(元)满足一次函数关系，所调查的部分数据如表：(已知每瓶进价为2 元，
每瓶利润= 销售单价－进价)
…
单价x(元) 5 6 7
…
…
销售量y(瓶) 160 140 120
…
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)该新型饮料每月的总利润为W(元)，求W关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时
利润最大，最大利润是多少元？
(3)由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了a元，每
月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过10元时，利润随着x的增
大而增大，求a的最小值．
15．某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y
（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所
示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万/件）之间的函数图象是如图②所示
的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．
（毛利润=销售额-生产费用）(1)求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润．
【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】
16．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进
价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购
买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天
可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，
求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该
店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降
价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
17．在端午节来临前，某超市购买一种品牌粽子，每盒进价40元，并规定每盒售价不得少
于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销
售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售利
润为w元．
(1)当每盒售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
(2)当日销售利润不低于8000元时，求x的取值范围．
18．某宾馆有若干间住房，住宿记录提供了如下信息：①4月17日全部住满，一天住宿费收入为12000元；
②4月18日有20间房空着，一天住宿费收入为9600元；
③该宾馆每间房每天收费标准相同．
(1)列出一个分式方程，求解该宾馆共有多少间住房，每间住房每天收费多少元？
(2)通过市场调查发现，每间住房每天的定价每增加10元，就会有5个房间空闲；已知该宾
馆空闲房间每天每间支出费用10元，有顾客居住房间每天每间支出费用20元，问房价定
为多少元时，该宾馆一天的利润最大？
19．“高山云雾出好茶”，我国的产茶区大多处于高海拔山区，交通和信息都相对不便．
清明节刚过，大学生李明为了能够尽快帮助茶农销售明前新茶，以160元/千克的价格将附
近茶农的明前新茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售．根据往年的销售经验，这种
明前新茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，销售
量会减少5千克．设销售单价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售单价高于收购
价，且不超过收购价的2倍．
(1)试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)销售单价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？
(3)由于明前新茶产量较少，李明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明
后春茶上市．李明提高了m%的收购量收购了一批春茶，以每千克40元的利润进行网上销
售，很快被抢购一空，李明再次收购一批春茶，并将收购量再提高m%，每千克的利润不
变，所有茶叶全部销售完后，明前新茶和明后春茶共获利80000元，求m的值．
20．学校购买一批钢笔和笔记本奖励给100名获奖学生，获得一等奖的学生奖励1支钢笔，
获得二等奖的学生奖励1本笔记本，设获得一等奖的人数为x（人）(20<x≤60)．已知购买
3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元．
(1)钢笔和笔记本的单价分别为多少元？
(2)购买钢笔超过20支时，每增加1支，单价降低0.2元，若购买奖品的金额为700元，求获
一等奖的学生人数；(3)当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额．
21．宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克．
(1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售
出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价
各是多少？
(2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．
经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，
可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最
大为多少元？
【考点5面积类】
22．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形
场地一面靠墙(墙的长度为18m)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积
相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为xm，
宽为ym， 面积为sm²．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到 100m2？若能，请求出x
的值；若不能，请说明理由．23．某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为30cm的正方形硬纸板，
在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
(1)若无盖纸盒的底面积为484cm2，则剪掉的小正方形的边长为多少？
(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方
形的边长；如果没有，说明理由．
24．如图，学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定用60米长的篱笆围成一个一面靠墙
（墙足够长）的长方形花园，并用一道篱笆把花园分为A、B两块长方形区域．
(1)设垂直于墙的篱笆长是xm，花园面积是Sm2，写出S关于x的函数表达式，并求S的最
大值；
(2)在花园面积最大的条件下，A、B两块区域内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，
若A区域面积不小于B区域面积的2倍，则至少要购买多少株牡丹？25．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15 m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园
的一边靠墙，另三边用总长40 m的栅栏围成（如图所示）．若设花园的AB边长为x m，花
园的面积为ym2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到50m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
(3)当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？
26．如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形
EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．27．如图，某市计划利用现有的一段“L”字形的古城墙粗线ABC表示古城墙，已知
AB⊥BC，AB=60米，BC=20米和总长为280米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览
馆DBEF (细线表示仿古城墙，展览馆中间GH也是用仿古城墙隔开)．
(1)如图1，若点D可能在线段AB上，所围成的展览馆DBEF的面积为4800平方米，求DF
的长；
(2)如图2，当点D在线段BA延长线上，DF为多少时，展览馆DBEF的面积最大？最大面
积为多少平方米？
【考点6拱桥类】
28．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位
时水面宽AB=30米，当水位上升5米时，则水面宽CD=20米，则函数表达式为（ ）1 1 1 1
A．y=- x2 B．y=- x2 C．y= x2 D．y= x2
15 25 15 25
29．如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点M为顶点，其高为
9米，宽OE为18米，以点O为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系．矩形
ABCD是安装的一个“光带”，且点A，D在抛物线上，点B，C在OE上．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)求所需的三根“光带” AB，AD，DC的长度之和的最大值，并写出此时OB的长．
30．拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度AB为
60m，拱顶C离地面高18m，拱桥的形状是一条抛物线；
(1)以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式；
(2)当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为4m，是否需要
采取紧急措施；
(3)某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m，竖直距离为6m，已知
足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？31．河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一．该隧道口的横截面是抛物
线型，右图是横截面的示意图，已知隧道底部宽AB为5m，抛物线的最高点C与路面AB
的距离为7.5m，以AB的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，
原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m．现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人
工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少?
32．图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以
把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知
天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 AB=3米， EF=5米．
(1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度；
(3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线
经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围．33．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，
除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC，
上部近似为一条抛物线．已知OA=10米，AB=1米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶
点）离地面OA的距离为10米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段EF与BC之间的距离
为8米，则点E与隧道左壁OC之间的距离为多少米？
34．某数学兴趣小组在学习二次函数知识后进行研究活动，调查到有一座三孔桥，横截面
的三个孔呈抛物线形，中间大孔，两边小孔，小孔形状大小完全相同，当水面刚好淹没小
孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1米；当水位下降，大孔水面宽度为20米时，单
个小孔的水面宽度为10米．为方便研究，小组同学以大孔顶点为坐标原点，水平方向为x
轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求大孔对应抛物线的解析式．
(2)当大孔水面宽度为20米时，大孔孔顶离水面多少米?(3)当大孔水面宽度为16米时，单个小孔水面宽度多少米?
