文档内容
第 04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：直线与平面垂直的定义.....................................................................................................4
知识点2：直线与平面垂直的判定定理.............................................................................................5
知识点3：直线与平面垂直的性质定理.............................................................................................7
知识点4：平面与平面垂直的定义.....................................................................................................8
知识点5：平面与平面垂直的判定定理.............................................................................................9
知识点6：平面与平面垂直的性质定理.............................................................................................9
解题方法总结......................................................................................................................................11
题型一：垂直性质的简单判定..........................................................................................................12
题型二：证明线线垂直......................................................................................................................16
题型三：证明线面垂直......................................................................................................................19
题型四：证明面面垂直......................................................................................................................23
题型五：面面垂直的性质定理..........................................................................................................27
题型六：垂直关系的综合应用..........................................................................................................31
题型七：鳖臑几何体中的垂直..........................................................................................................36
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................39
05课本典例·高考素材........................................................................................................................46
06易错分析·答题模板........................................................................................................................50
易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角..........................................................................................50
答题模板：线线垂直、线面垂直的证明..........................................................................................51考点要求 考题统计 考情分析
2024 年 II 卷第 17（1）题，7
分
2023 年 II 卷第 20（1）题，6
分
选择题、填空题中考查直线、平面
（1）直线与平面 2023年北京卷第16（1）题，5
位置关系判断；解答题第一问中多考查
垂直的判定与性质 分
平行、垂直的证明．证明一些空间位置
（2）平面与平面 2022年乙卷（文）第 9题，5
关系，利用性质定理、判定定理探究平
垂直的判定与性质 分
行、垂直位置关系的存在性问题．
2022 年乙卷（文）第 18 题，
12分
2021年浙江卷第6题，4分
2021年II卷第10题，5分
复习目标：
（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
（2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．知识点1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
【诊断自测】（2024·高三·河北·期末）已知 、 是不重合的两条直线， 、 是不重合的两个平面，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】A
【解析】对于A，因为 ， ，所以 ，
又 ， ，所以 ，A正确；
对于B，在正方体 中，
记平面 为 ，平面A B C D 为 ， 为 ， 为 ，
1 1 1 1
则 ， ， ，但 与 不平行，B错误；
对于C，记平面 为 ，平面 为 ， 为 ， 为 ，
由正方体性质可知， 平面 ， 平面 ，所以 ，
则 ， ， ，但 不垂直，C错误；
A B C D
对于D，记 为 ， 为 ，平面 为 ，
1 1 1 1
则 ， ，但 与 不垂直，D错误.
故选：A知识点2：直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一
个平面内的两条相
判断定理 交直线都垂直，则
该直线与此平面垂
直
两 个 平 面 垂
直，则在一个平面 _
面⊥面⇒线⊥
内垂直于交线的直
面 _a
线与另一个平面垂
直
一条直线与两 _
平行平面中的一个
平行与垂直的
平面垂直，则该直
关系
线与另一个平面也
垂直
两平行直线中 _a _b
平行与垂直的 有一条与平面垂
关系 直，则另一条直线
与该平面也垂直【诊断自测】如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为棱
的中点，点 在棱 上， ，且 .
证明： 平面 ；
【解析】如图，取棱 靠近 的三等分点 ，
连结 ，则 是 的中点，
因为 为棱 的中点，所以 是 的中位线，
所以 ，因为 ，所以 ，
设 ，因为 ，
所以 ，作 ，连接 ，
则 ，因为 ，所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
．
又 面 ，
平面 ，因为 面 ，所以 ．
又由平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 得证.知识点3：直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
_a _b
垂直于同一平
性质定理
面的两条直线平行
_
垂直与平行的 垂直于同一直
关系 线的两个平面平行
如果一条直线
线垂直于面的 垂直于一个平面，
性质 则该直线与平面内
所有直线都垂直
【诊断自测】（2024·高三·江苏南通·期中）如图， 且 ， ， 且
， 且 ， 平面 ， .
(1)设面BCF与面EFG的交线为 ，求证： ；
(2)证明:
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
（2）因为 且 ，所以四边形ADGE为平行四边形，
又 ，所以四边形ADGE为菱形，所以AG DE.
因为 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ， 平面 ，所以CD 面 ，
又 面 ，所以 ，又 ，⊥平面 ，所以 面 ，又 面 ，
所以 .
知识点4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂
直．（如图所示，若 ，且 ，则 ）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
【诊断自测】（2024·福建泉州·模拟预测）已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，
则下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【解析】对于A,因为 设 ，
又 ，则当 时， ，故A错误；
对于B，若 ，且 ，则有 ，故B错误；
对于C，因为
故 ，又 ，故存在直线 ，且 ，
此时 ，由面面垂直的判定定理知 ，故C正确；
对于D,当 ，则 或者 ，故D错误，
故选：C.
知识点5：平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言判定定理 一个平面过
另一个平面的垂 _
线，则这两个平
面垂直
【诊断自测】如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均为等腰直角三角
形，且 ， ．
证明：平面 平面 ；
【解析】由题意，得 ，所以 ．
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ．
所以 ，即 ．
又因为 为等腰直角三角形， ，
所以 ， ．
因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
知识点6：平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两 个 平 面 垂
直，则一个平面内
_
垂直于交线的直线
_a
与另一个平面垂直
【诊断自测】如图1，四边形 为菱形， ， ， 分别为 ， 的中点.如图2，将
沿 向上折叠，使得平面 平面 ，将 沿 向上折叠．使得平面 平面
.求证： 四点共面.【解析】取 的中点分别为 ，连接 ，
取 的中点分别为 ，连接 ，
由四边形 为菱形， ，可知 ， 都是等边三角形，
所以 ， ，
因为平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
又由平面 平面 ，同理可得 平面 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
则 ，且 ，又 ，
所以 ，又因为 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 的中点分别为 ，所以 ，
所以 ，所以 四点共面.
解题方法总结
判定定理 判定定理
线线 性质定理 线面 性质定理 面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质 ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ ）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（ ）；
③面面垂直的性质（ ）；
平行线垂直平面的传递性（ ）；
⑤面面垂直的性质（ ）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（ ）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位
置．
线∥面
判定 判定
性质 判定 性质
线∥线 面∥面
性质
判定 判定
线⊥线 线⊥面 面⊥面
性质 性质
题型一：垂直性质的简单判定
【典例1-1】（2024·四川·模拟预测）设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列说法正
确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 与 所成的角相等，则C．若 ， ，则
D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B， 与 所成的角相等，则 可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，
对于C， ， ，则 可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误；
对于D， ，则 ，D正确.
故选：D．
【典例1-2】（2024·湖南·三模）已知m，n是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，下列命
题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，若 ， ，则 或 ，则m，n相交、平行、异面都有可能，A错误；
对于B，若 ，则 与 相交或平行，B错误；
对于C，若 ，则 ，又 ，则 或 ，C错误；
对于D，由 ，得 或 ，若 ，则存在过 的平面与 相交，
令交线为 ，则 ，而 ，于是 ， ；若 ，而 ，则 ，
因此 ，D正确.
故选：D
【方法技巧】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【变式1-1】在四边形 中， ，将 折起，使平
面 平面 ，构成三棱锥 ，如图，则在三棱锥 中，下列结论不正确的是（ ）A． B．
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】D
【解析】对于B，如图①，因为 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故B正确；
对于A，由B选项知 ，
又因为平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，故A正确；
对于C，由选项A知， 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，故C正确;
对于D，如图②过点A作 ，垂足为 ，
因为平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，
所以 平面 ，
显然 平面 ，所以平面 与平面 不垂直，故D错误.
故选：D.
【变式1-2】已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线 的图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】对于①：如下图所示，点 为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 ，由 平面 ，得出 ， 平面
，从而由线面垂直的判定得出 平面 ，则 ，故①正确；
对于②：如下图所示，点 为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 ，由 平面 ，得出 ， 平面 ,
，从而由线面垂直的判定得出 平面 ，则 ，故②正确；
对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 ，由 平面 ，得出 ， 平面 ,
，从而由线面垂直的判定得出 平面 ，则 ，故③正确；
对于④：如下图所示，点 为所在棱的中点，由③可知， ，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 ，由 平面 ，得出 ， 平面 ，
，从而由线面垂直的判定得出 平面 ，则 ，
平面 ， ，由线面垂直的判定可得 平面 ，
则 ，故④正确；
故选：D
【变式1-3】已知正四面体 中， 是 的中点，连接 是 的中点，点 满足
，则（ ）
A．
B． 平面
C． 平面
D．平面 平面
【答案】C
【解析】如图，
连接 ，平面 即平面 ，由 是 的中点和 ，知 与 相交.
对于 ，因为四面体 为正四面体，所以 .
若 ，又 平面 ，且 相交，所以 平面 .
又 平面 ，所以 ，与 矛盾，所以 错误；
对于 ，若 平面 ，由 平面 ，平面 平面 ，
得 ，与 相交矛盾，所以 错误；
对于 ，由 ，知 三点共线，且 .取 的中点 ，连接 ，所以 ，所以 .
又 平面 平面 ，所以 平面 .
又 是 的中点，所以 .
又 平面 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，且 ，所以平面 平面 .
因为 平面 ，所以 平面 ，所以 正确；
对于 ，连接 ，因为 是 的中点，所以 ，
若平面 平面 ，又平面 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以 ，与 矛盾，所以D错误.
故选：C.
题型二：证明线线垂直
【典例2-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底面
ABCD为正方形，E为线段AB的中点， ．
求证： ；
【解析】证明：∵ 平面ABCD， 平面ABCD，∴PA BD．
又底面ABCD为正方形，∴ ． ⊥
又 ，且PA， 平面PAC，∴ 平面PAC，
∵ 平面PAC，∴ ．
【典例2-2】（2024·四川·模拟预测）如图，多面体 中，已知面 是边长为4的正方形，
是等边三角形， ， ，平面 平面 ．
求证： ；【解析】由 是正方形，得 ，而平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，则 平面 ，又 平面 ，于是 ，又 ，
所以 .
【方法技巧】
【变式2-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，已知多面体 的底面ABCD是菱形，
侧棱 底面 ，且 ．
证明： ；
【解析】因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为四边形 是菱形，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
【变式2-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面
为正方形，E为线段 的中点， ．(1)求证： ；
(2)求点E到平面 的距离．
【解析】（1）证明： 平面 ， 平面 ， ，
又底面ABCD为正方形， ，
又 ，且 平面 ，
平面PAC，
平面PAC， ．
（2） E为线段AB的中点，
若点A到平面PBD的距离为d，则点E到平面PBD的距离为 ．
由题易知 ，
．
， ，解得 ．
点E到平面 的距离为 ．
【变式2-3】（2024·河南·模拟预测）如图所示，在三棱锥 中，平面 平面 ，
， 为锐角.
证明： ；
【解析】在平面 中，过点 作 的垂线，垂足为 .
平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 .又 平面 ，所以又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 .
题型三：证明线面垂直
【典例3-1】如图，AB是圆的直径，平面PAC 面ACB，且AP AC．
求证： 平面 ；
【解析】因为平面PAC 面ACB，且AP AC.，平面PAC 面ACB ， 平面PAC，
所以PA 面ACB，又因为 平面PBC，
所以PA ，又因为AB是圆的直径，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ；
【典例3-2】在 中， ， ，D为边 上一点， ，E为 上一点，
，将 沿 翻折，使A到 处， .
证明： 平面 ；
【解析】证明：由题意知 ， ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面
【方法技巧】
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么 ．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么 ．【变式3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形 为菱形，现沿
进行翻折，使得 平面 ，过点 作 ，且 ，连接 ，所得图形如图②
所示，其中 为线段 的中点，连接 .
求证： 平面 ；
【解析】证明：.
在菱形 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 分别为 的中点，所以 ， ，
又 ， ，
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，所以 平面 .
【变式3-2】（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2
的菱形，且 ， 与平面 所成的角为 与 交于 ．证明： 平面 ；
【解析】
连结 ，
底面 是边长为2的菱形， ．
，
．
点 为线段 中点， ．
为菱形， 平面 ， 平面
又 平面 ， 平面 平面 ，
在平面 上的射影为 ，
为直线 与平面 所成的角，即 ．
在 中， ，
．
则 ．
又 平面 平面 ，
平面 ．
【变式3-3】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在三棱锥 中，
为 上的动点.若 ，求证： 平面 ；
【解析】
在 中， ，则 ，
又 ，所以
由勾股定理可得 为直角三角形， ,
所以 ，所以
在 中，因为 ，由余弦定理可得：
则 ，所以 ，
又 ，在 中由余弦定理可得：
，
则 ，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面
【变式3-4】（2024·四川雅安·三模）四棱锥 中， ，底面 为等腰梯形，
， ， 为线段 的中点， .
证明： 平面 ；
【解析】因为 为线段 的中点，所以 ，在等腰梯形 中，作 于 ，则由 得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 在平面 内，所以 ，
因为 在平面 内，所以 平面 .
题型四：证明面面垂直
【典例4-1】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥 的底面 是梯形，
平面 .
求证：平面 平面 ；
【解析】因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
【典例4-2】在三棱台 中，底面 是等边三角形，侧面 是等腰梯形， 是
的中点， 是两异面直线 和 的公垂线，且 ， ．
证明：侧面 平面 ；【解析】由 是两异面直线 与 的公垂线可得， ，
又 是等边三角形， 是 的中点，所以 ，
因 平面 ，故得 平面 ，
又 平面 ，则 ，
因 ， 平面 ,故 平面 ，
又 平面 ，所以侧面 平面 .
【方法技巧】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直 面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找
平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
【变式4-1】（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱 中，底面 是等边三角形，
，D为 的中点，过 的平面交棱 于E，交 于F.
求证：平面 平面 ；
【解析】证明：连接 ， .
因为 ， ，
所以 ，所以 .
因为 为 的中点，所以 .
因为 为 的中点，所以 .
因为 ， ， 平面
所以 平面 .
又 ，所以 平面 .
又 平面
所以平面 平面 .
【变式4-2】如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为菱形，
， ， 是 的中点．(1)证明：平面 平面 ．
(2)求点 到平面 的距离．
【解析】连接 ．因为底面 为菱形， ，所以 是正三角形．
又 为 的中点，所以 ，则 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ．
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 ，则 ．
因为 ， 平面 ,所以 平面 ．
又 平面 ，所以平面 平面 ．
【变式4-3】（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在三棱柱 中， 与 的距离为 ，
， .
证明：平面 平面ABC；
【解析】取棱 中点D，连接BD，
因为 ，所以
因为三棱柱 ，所以
所以 ，所以因为 ，所以 ， ；
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
同理 ，
因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面ABC，所以平面 平面ABC；
【变式4-4】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体 截去三棱锥 后得到
如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O， ．
(1)证明 平面 ；
(2)证明平面 平面 ；
【解析】（1）如图补全平行六面体，连接 交 于点 ，连接 ，
在平行六面体 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 为 的中点， 为 的中点，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又所以 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
A B C D
（2）因为底面 是菱形，所以 ，
1 1 1 1
又因为 ， ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
题型五：面面垂直的性质定理
【典例5-1】（2024·陕西西安·三模）在四棱锥 中，平面 平面 ， ，， ， ．
证明： ．
【解析】因为 ， ，所以 ， ，
由余弦定理可得 ，所以
，则 ．
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面PAD．
因为 平面PAD，所以 ．
【典例5-2】（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥 中， 底面 为 上一点，且平
面 平面 ，三棱锥 的体积为 .
求证： 为 的中点；
【解析】过 作 于点 ，由平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，
平面 ，
又 底面 平面 ，
， 平面 ，
所以 底面 平面 ， ，
又 为 的中点；
【方法技巧】两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【变式5-1】（2024·高三·河南·开学考试）如图，在三棱锥 中， 为 的中点，平面
平面 是等腰直角三角形， .
证明： ；
【解析】证明：因为 是等腰直角三角形， 为 的中点，
所以 ， 平面 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面
因为 平面 ，所以 ，又 为 的中点，
所以 是等腰三角形，故 .
【变式5-2】如图，在三棱台 .中， ，平面 平面 .
求证： 平面 ；
【解析】证明：因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 .
【变式5-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四棱锥 ，侧面PAD是边长为2的正三角形
且与底面垂直，底面ABCD是 的菱形， 为棱PC上的动点且 .(1)求证: 为直角三角形;
(2)试确定 的值，使得三棱锥 的体积为 .
【解析】（1）证明：取AD中点 ，连结
因为四边形 为菱形，且 ，
所以 均为等边三角形，
因为 也为等边形三角形，
所以 .
又因为 平面 平面POC，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，从而 为直角三角形；
（2）由（1）可知 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面PAD，
所以 平面 ，
因为 为棱PC上的动点且 ，
所以 ，
因为 ， 都是边长为2的正三角形，
所以 ，
所以 ，因为三棱锥 的体积为 ，
所以 .
题型六：垂直关系的综合应用
【典例6-1】如图，在直三棱柱 中， ， ．试在平面 内确定
一点H，使得 平面 ，并写出证明过程；
【解析】取棱BC的中点D，连接 ，AD．在等腰直角△ABC中， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
平面 ，故 平面 ．
又 平面 ，故平面 平面 ，这两个平面的交线为 ．
在 中，作 ， 平面 ,
则有 平面 ；
【典例6-2】在四棱锥 中， 是等边三角形，且平面 平面 ，
， ．在AD上是否存在一点M，使得平面 平面 ，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
【解析】存在，当M为 的中点时，平面 平面 ．
证明：取AD的中点M，连接 ，
由 是等边三角形，可得 ，
由平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，可得 平面 ，
由 平面 ，可得平面 平面 ．
【方法技巧】
（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定
理、性质进行推理论证．
【变式6-1】如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中点， ， ， .
在棱 上是否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，请
说明理由.
【解析】当点 为 的中点，即 时，平面 平面 .
证明如下：设 的中点为 ，连接 ， ，因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 且 ，
又 为 的中点，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，故 ，
因为 ，M为棱 的中点，故 ,
又因为 平面ABC, 平面ABC,
故 ，由 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
【变式6-2】（2024·高三·浙江温州·开学考试）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为
的菱形且 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，是否存在 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由．
【解析】（1）取线段 的中点 ，连接 、 ，
因为四边形 是边长为 的菱形，则 ， ，
因为 ，由余弦定理可得 ，，所以 ，即 ，
又 且 是 的中点， ,
， 、 平面 ， 平面 ，
平面 ， ， ， ，
， ；
（2）过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以，平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ， ，
所以， 平面 ，
过点 作 ，分别交 、 于点 、 ，
因为 ，则 ，
所以， 、 、 、 四点共面，
因为 平面 ，
所以，平面 平面 ，
因为 ， ， ，
则 ，
因为 ， ，由余弦定理可得 ，
所以， ，
，
所以， ,
，
因为 ，所以， .【变式6-3】如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形，侧面
底面 ，M是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点N使平面 平面 成立？如果存在，求出 ；如果不存在，说明理由．
【解析】（1）由侧面 是正三角形，M是 的中点，得 ，
由正方形 ，得 ，而平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，于是 ，
而 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，连接 ，连接 ，连接 ，
于是 ，由正方形 ，得 ，则 ，令 ，
显然 是正 的中心， ， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，则 平面 ，
平面 ，即有 ，而 平面 ，
则 平面 ， 平面 ，在平面 内过 作 交 于 ，
显然 ，而 平面 ，因此 平面 ，
连接 并延长交 于 ，连接 ，于是平面 平面 ，
过 作 ，则有 ， ， ，， ，则 ，又 ， ，
从而点 是线段 的中点， ，过 作 交 于 ，
于是 ，即 ，显然 ，因此 ，
所以在棱 上存在点N使平面 平面 成立， .
题型七：鳖臑几何体中的垂直
【典例7-1】如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形， ， ， 平
面 ， 分别是 ， 的中点．
证明：直线 平面 ；
【解析】因为四边形 为菱形， ，
所以 为正三角形，
又 是 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 .
【典例7-2】如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 为
线段 的中点， 为线段 （不含端点）上的动点.证明：平面 平面 ；
【解析】因为底面 为正方形，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ， 。
且 ， 平面 ，
可得 平面 ，由 平面 ，可得 ，
因为 ，且E为 的中点，则 ，
由 ， 平面 ，可得 平面 ，
且 平面 ，所以平面 平面 .
【方法技巧】
l l l
若一条直线 垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到两条相交的相互垂直的直线 1与 2，则与
l l l l
异面的直线 1垂直于 和 2构成的平面．
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥 中，平面 平面ABC，且
， ，E为棱PC的中点，F为棱PB上的点.
证明： ；
【解析】证明：因为平面 平面ABC，平面 平面 ， ，
即 ， 平面ABC，所以 平面PAC.
因为 平面PAC，所以 .
因为 ，E是PC的中点，所以 .
又 ， 平面PBC，所以 平面PBC.
因为 平面PBC，所以 .
【变式7-2】如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，
的中点分别为 ， ，点 在 上， ．(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ；
【解析】（1）证明：设 ，则 ，
所以 ，
因为 为 的中点，则 ，所以 ，
又因为 ，则 ，
因为 ，
则
，解得 ，所以 为 的中点，
又因为 为 的中点，所以 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：因为 分别为 的中点，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，则 ，
又因为 ， ，且 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
【变式7-3】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为
鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马， 底面 ， 分别为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： 平面 ；
【解析】（1）作 的中点 ，连接 ，
由 得分别为 的中点，
所以 且 ，
又因为 且 ，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面
（2）因为 ，所以 ，
因为 底面 ，所以 ，
又因为 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
又因为 平面 ，
所以 平面 ；1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体 中，E，F分别为 的中点，
则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
【解析】在正方体 中，
且 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 ，
所以平面 与平面 不垂直，故B错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故C错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
对于选项B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面 的交线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，
则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，
底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，
从而有： ，据此可得 ，即 ，
据此可得平面 平面 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项C错误；
对于选项D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项D错误；
故选：A.
2．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体 ，M，N分别是 ， 的中点，
则（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面D．直线 与直线 异面，直线 平面
【答案】A
【解析】
连 ，在正方体 中，
M是 的中点，所以 为 中点，
又N是 的中点，所以 ，
平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 不垂直 ，所以 不垂直
则 不垂直平面 ，所以选项B,D不正确；
在正方体 中， ，
平面 ，所以 ，
，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
且直线 是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析））若空间中四条直线 、 、 、
，满足 、 、 ，则下列结论一定正确的是．
A． B．
C． 、 既不平行也不垂直 D． 、 位置关系不确定
【答案】D
【解析】如下图所示，在正方体 中，取 为 ， 为 ，取 为 ， 为 ，；取 为 ， 为 ，则 ；取 为 ， 为 ，则 与 异面，因此 、 的位置关系
不确定，故选D.
4．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的
中点，M，N为正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】设正方体的棱长为 ，
对于A，如图（1）所示，连接 ，则 ，
故 （或其补角）为异面直线 所成的角，
在直角三角形 ，OC=√2， ，故 ，
故 不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取 的中点为 ，连接 ， ，则 ， ，
由正方体 可得 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 平面 ，
又 平面 ， ，而 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，故B正确.
对于C，如图（3），连接 ，则 ，由B的判断可得 ，
故 ，故C正确.
对于D，如图（4），取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 或其补角为异面直线 所成的角，
因为正方体的棱长为2，故 ， ，
， ，故 不是直角，
故 不垂直，故D错误.
故选：BC.
1．如图，在三V-ABC中，已知 ，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并
说明理由.
【解析】平面VBA和平面VBC垂直.
因为 ，
所以 平面ABC，所以 .
因为 .所以 .因为 ，所以 平面VAB.
又 平面VBC，所以平面 平面VBC.
2．如图，在V-ABC中， 平面ABC， ，你能判定 ，以及
吗？
【解析】能判定 以及AC=BC.
理由如下：
平面ABC， 平面ABC.
.
.
， 平面VDO.
平面VDO， .
又 .
3．如图，在正方形 中，E，F分别是 的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这
个正方形折成一个四面体，使 三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面
互相垂直？
【解析】折前
∴折后 .又SG，EG，FG交于一点G.
根据EG，FG交于一点G，可得 平面GEF，
同理可证： 平面GSE， 平面GSF.
4．如图，AB是 的直径，点C是 上的动点，过动点C的直线VC垂直于 所在平面，D，E分别
是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.
【解析】直线DE与平面VBC垂直
理由：由VC垂直于 所在平面，知 ，即 是二面角A-VC-B的平面角.
由AB是 的直径，知 .
因此，平面 平面VBC.
由两个平面垂直的性质定理，
平面 平面VBC，交线为VC， ， 平面VAC，
可知直线AC与平面VBC垂直，
由D，E分别是VA，VC的中点，知 ，
所以直线DE与平面VBC垂直.
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， 底面ABCD， ，E为线段PB的中点，
F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由.
【解析】垂直，证明如下：
底面ABCD， 平面ABCD，
又底面ABCD为正方形， ，而 .
平面PAB
平面PAB， .
，E为PB的中点，
.而 ,平面PBC.
平面AEP，
∴平面 平面PBC.
过 所在平面 外一点P，作 ，垂足为O，连接 .（1）若 ，则点O
是 的 心.（2）若 ， ，则点O是 边的 .（3）若 ， ，
，垂足都为P，则点O是 的 心.
【答案】 外 中点 垂
【解析】解（1）如图，因为
所以 ，
故 ，
又 ， ,
所以
故可得 ，
同理可得：
所以点O是 的外心；
（2）由（1）可得点O是 的外心，
又因为 ，
根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半
得到点O为斜边的中点，
即为 边的中点；
（3）因为 ， ，且
平面
所以 平面 ，
所以 ，
因为
所以
又 ，
平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
同理可得： ,
故，点O是 的垂心。
易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角
易错分析：容易忽视垂直的特殊方法，导致方法使用不当而浪费很多时间.
【易错题1】在三棱柱 中，若ΔABC是等边三角形， 底面 ，且 ，则
与 所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据条件可作出图形，并且得到 ，根据向量的加法及数乘的几何意义便可得到
， ，从而可求得 ，这样即可得出 和 所成角的大小．如
图，根据条件， ，令 ， ；
又 ， ；
；
；
和 所成的角的大小为 ．
故选： ．
【易错题2】正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角的大小为（ ）A．60° B．90° C．45° D．120°
【答案】B
【解析】选出向量的基底，选 ， ， 为基底，将 、 用基底表示，求出两个向量的数量积，
利用向量垂直的充要条件求出两个向量的夹角．设 ， ， ， ，
则 ， ，
，
∴ ，∴ 与 所成的角的大小是 ，
故选：B
答题模板：线线垂直、线面垂直的证明
1、模板解决思路
通过线面垂直的判定定理证明直线 与平面 垂直时，关键是在平面 内找到两条与直线 垂直的相
交直线，并证明.
2、模板解决步骤
第一步：证明直线 与平面 内两条相交直线都垂直.
第二步：通过线面垂直的判定定理证明直线 与平面 垂直.
第三步：通过线面垂直的性质证明直线 与平面 内的直线 垂直.
【典型例题1】如图，已知三棱台 ，底面 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为
，平面 平面 ，且 .
证明： 平面 ；
【解析】在三棱台 中，平面 平面 ， ，
而平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【典型例题2】如图所示，三棱柱 中，侧棱 垂直于底面， ， ， ，
点P，D分别为AB， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
【解析】（1）如图，连接 ，在 中，D，P分别是 ，AB的中点，则 ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）由 ，得 ，则 ，即 ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，
而 ， 平面 ，于是 平面 ，
又 平面 ，则 ，又 ，所以 ．
