文档内容
专题 25.1 概率初步【十大题型】
【人教版】
【题型1 事件的分类】..............................................................................................................................................1
【题型2 可能性的大小】..........................................................................................................................................2
【题型3 简单概率的计算】......................................................................................................................................3
【题型4 几何概率】..................................................................................................................................................3
【题型5 游戏的公平性】..........................................................................................................................................5
【题型6 概率在比赛中的运用】..............................................................................................................................6
【题型7 概率在抽奖中的运用】..............................................................................................................................7
【题型8 概率的其它实际应用】..............................................................................................................................9
【题型9 用频率估计概率】....................................................................................................................................11
【题型10 概率与统计的综合】................................................................................................................................12
知识点1：事件的分类
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发
生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的分类】
【例1】（23-24九年级·陕西西安·期末）有两个事件，事件A：3人中至少有2人性别相同；事件B：抛掷
一枚均匀的骰子，朝上的面点数为3的倍数．下列说法正确的是（ ）
A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
【变式1-1】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每
次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是
．
【变式1-2】（23-24九年级·河南平顶山·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．“过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件B．“三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件
C．“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件
D．“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件
【变式1-3】（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合
开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件
的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
知识点2：可能性的大小
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机
事件发生的可能性的大小有可能不同。
【题型2 可能性的大小】
【例2】（23-24九年级·江苏南京·期中）九年级（1）班有40位同学，他们的学号是1−40，随机抽取一
名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．
其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）．
【变式2-1】（16-17九年级·全国·课后作业）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决
定将裁判由原来的9名增加到14人，其中任取7名裁判的评分作为有效分，这样做的目的是 ．
【变式2-2】（2024·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机
地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-3】（23-24九年级·四川达州·期末）不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球
除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出 球的可能性最小．
知识点3：概率
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概
率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m m
的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= 。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤ ≤1，因此0≤P
n n
（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
【题型3 简单概率的计算】
【例3】（23-24九年级·四川绵阳·期末）在❑√2，❑√3，❑√12，❑√32四个数中任取其中两个数相乘，乘积为
有理数的概率等于（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【变式3-1】（23-24九年级·四川宜宾·期末）一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的
1
小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为 ，那么口袋中小球的总数为（ ）
4
A．4 B．9 C．12 D．15
【变式3-2】（23-24九年级·湖北武汉·期末）某路口的人行造交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30
秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是 ．
【变式3-3】（23-24九年级·四川南充·期末）如图，有4张除图案不同外其余完全相同的卡片，现将这些
卡片有图案的一面朝下洗匀，随机抽取1张，抽到的卡片上的图案可以作为一个正方体平面展开图的概率
为 ．
【题型4 几何概率】
【例4】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，连接正六边形ABCDEF的对角线BE，CE，交对角线AD
于点M，N．一只蚂蚁在正六边形内随机爬行，则它停留在阴影部分的概率是（ ）1 2 7 7
A． B． C． D．
2 3 14 12
【变式4-1】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同
学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 ．
【变式4-2】（2024·山东临沂·一模）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷
飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 5
【变式4-3】（23-24九年级·山西大同·期末）如图，△ABC的面积为10cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP，
垂足为P，连接CP，若三角形内有一点M，则点M落在△BPC内（包括边界）的概率为（ ）
1 1 2 2
A． B． C． D．
2 3 3 5
知识点4：用列表法、树状图法求概率
列表法：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结
果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现的次数与方式，以及某一事件
发生的可能的次数与方式，并求出概率的方法。
树状图法：当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型5 游戏的公平性】
【例5】（23-24九年级·新疆吐鲁番·期末）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上
面分别标有数字2、3、4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下
数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．
(2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并
说明理由．
【变式5-1】（23-24九年级·海南儋州·期末）某校2024年元旦晚会上，九年级共有20名同学参加志愿者
的工作，其中男生15人，女生5人．
(1)若从这20人中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为 ；
(2)若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张
牌面数字分别为1、2、3的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录后放回，乙再从中
任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法
说明理由．
【变式5-2】（23-24九年级·广东韶关·期末）一个不透明的袋中装有3个小球，分别标有数字−2、3、−4
，这些小球除所有标数字不同外，其余完全相同，小明从中任意摸出一球，所标数字记为x，另有4张背
面完全相同，正面分别标有数字3、−1、−4、5的卡片，小亮将其混合后，背面朝上放置于桌面，并从中
随机抽取一张，卡片上的数字记为y．
(1)若以x为横坐标，y为纵坐标，求点A(x,y)落在第二象限的概率（要求用列表法或树状图求解）
(2)小明和小亮做游戏，规则是若点A(x,y)落在第二象限，则小明赢；若A(x,y)落在第三象限，则小亮
赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【变式5-3】（2024·山东青岛·模拟预测）在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三
棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚
投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷
所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投
掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢．(1)投掷1次，底面数字出现3是 事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的
概率为 ．
(2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概
率，并判断此游戏对三人是否公平．
【题型6 概率在比赛中的运用】
【例6】（23-24九年级·全国·单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他
们用四个字母做成10枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字
母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；
②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不
分胜负．
(1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少?
(2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少?
(3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大?
【变式6-1】（23-24九年级·四川眉山·期末）学校“艺术节”期间，初三一班的小明、小亮都想去参加歌
唱比赛，但每个班只有一个名额．他们决定采用摸球的办法确定谁去．规则如下：将四个完全相同的乒乓
分别标注数字1、2、3、4放在一个不透明的盒子里，随机摸出一个球不放回；再随机摸出一个．如果摸出
的两个球上的数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．
(1)请用列表或画树状图的方法求出摸出的两个球上的数字之和为奇数的概率；
(2)你认为这个规则公平吗？请说明理由．
【变式6-2】（2024·新疆·二模）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一
道题有4个选项，第二道题有3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用
“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．【变式6-3】（23-24九年级·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时
通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可
通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、
丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入．
(1)求甲从A口进入，C口离开的概率；
(2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率．
(3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，九年级80人，九年级150人，九年级160人，比赛结
束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、
D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由．
【题型7 概率在抽奖中的运用】
【例7】（23-24九年级·山西长治·阶段练习）综合与实践
【问题再现】
(1)有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色
区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】
(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转
1 1
动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为 ，二等奖：指针落在白色区域的概率为 ，一等奖：指针落
2 3
1
在黄色区域的概率为 ．
6【拓展运用】
(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1
次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券
的平均数．
【变式7-1】（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分
成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数
字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，
指针指向的颜色即为转出的颜色．
(1)在图1转盘中转出数字6的概率为________．
(2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：
小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？
【变式7-2】（23-24九年级·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开
幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新
场景馆，F数字生活馆，某校九年级某班同学计划参观其中一个展馆．
(1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新
场景馆”区域的概率是 ；
(2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的
机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展
馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
【变式7-3】（23-24九年级·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖
酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘
除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割
线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券
27 9 27
（元）
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为
实惠．
【题型8 概率的其它实际应用】
【例8】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，
A ,B ,B ,⋯,D ,D 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A 处投放一个直
1 1 2 3 4 1
径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个
相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内
的概率．【变式8-1】（2024九年级·全国·专题练习）一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，
如果你只能在9个数字中选择一个数字翻牌，请解决下面的问题：
(1)直接写出翻牌得到“手机”奖品的可能性的大小；
(2)请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到
4
“球拍”的可能性大小是 ．
9
【变式8-2】（23-24九年级·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两
人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请
用树状图解决下列问题，
(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；
(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？
【变式8-3】（23-24九年级·江西吉安·期末）某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小
川，班主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分
别为A，A，B，B，为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的
两件是一样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品．若小敏先取一张纸片后小明取．
(1)求小敏与小明均取到奖品A的概率；
(2)求小川得到两件奖品的概率．
知识点5：用频率估计概率在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上瞧似无规律可循，但当我们做大量重复
试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个
事件的概率的估计值。
m
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率
n
P（A）=P 。
【题型9 用频率估计概率】
【例9】（23-24九年级·江西吉安·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的
频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
【变式9-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自
己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（ ）
2
A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是
3
B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖
1
C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是
2
D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正
面朝上的概率是二分之一
【变式9-2】（23-24九年级·北京石景山·期末）某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移
植过程中的统计结果如下表所示：
1200
移植的幼树n/棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 15000
01030
成活的幼树m/棵 423 868 1714 3456 6020 8580 12915
8
m
成活的频率 0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861
n
在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为 （精确到0.01）；若该林场欲使成活的
幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树 万棵.
【变式9-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图是李老师制作的一个可以自由转动的转盘，如表是某同
学收集的一组统计数据：
50
转动转盘的次数 100 200 300 400 600 700 800 900 1000
0
落在“蓝色”的 15
30 61 92 118 182 207 242 269 302
次数 1
蓝色部分的圆心角最有可能是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【题型10 概率与统计的综合】
【例10】（23-24九年级·江苏苏州·期末）某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同
学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计
图.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ;
(3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一
帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率.【变式10-1】（2024·四川成都·一模）成都某校为积极响应“双减”政策减负提质的要求，同时践行新时
代新阅读，发挥阅读育人功能，营造书香溢满校园、阅读浸润少年的浓厚氛围，学校在今年寒假期间开展
“书香满家园，阅读伴成长”读书活动．寒假结束后，学校为了解学生在家阅读时长情况，随机调查了部
分学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
类
时长（单位：小时） 人数
别
A t>3 4
B 2
