第 12 讲 平面解析几何 章节总结 (精讲）
第一部分：典型例题讲解
题型一：直线与方程
角度1：直线的倾斜角与斜率
角度2：两条直线的平行与垂直
角度3：直线方程
角度4：直线的交点坐标与距离
题型二：圆与方程
角度1：圆的方程
角度2：直线与圆的位置关系
角度3：圆与圆的位置关系
题型三：圆锥曲线
角度1：根据定义求轨迹方程
角度2：求圆锥曲线的标准方程
角度3：离心率
角度4：中点弦问题
角度5：焦点三角形中的问题
角度6：圆锥曲线中的定点问题
角度7：圆锥曲线中的定值问题
角度8：圆锥曲线中的定直线问题
角度9：圆锥曲线中的向量问题
角度10：圆锥曲线中的最值、范围问题
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与方程
角度1：直线的倾斜角与斜率典型例题
例题1．（2022·全国·高二）设点 ， ，直线 过点 且与线段 相交，则直线 的斜
率 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．以上都不对
【答案】A
如图所示，直线PB，PA的斜率分别为 ，
结合图形可知 或
故选：A
例题2．（2022·四川凉山·高二期末（文））已知实数 满足 ，则 的取值范围
（ ）
A．-1 m B．-1 m<0或0<m
C．m 或m -1 D．m 1或m -1
【答案】C
就是点 ， 所确定的直线的斜率，而 在 上，因为
， .
故选：C同类题型归类练
1．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知点 ，若直线 与线段
没有公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
直线 经过定点 .
因为 ，所以 ,
所以要使直线 与线段 没有公共点，
只需： ，即 .所以 的取值范围是 .
故选：A
2．（2022·贵州毕节·三模（理））曲线 与直线 有两个交点，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由 得： ，
令 ，解得： ， 直线 恒过定点 ；
由 得： ，
由此可得曲线 的图形如下图所示，
由图形可知：当直线过点 时，直线斜率为 ，
若直线与曲线有两个不同交点，则直线斜率的取值范围为 ，
即 ，解得： ，即实数 的取值范围为 .
故选：D.
角度2：两条直线的平行与垂直
典型例题
例题1．（2022·江西鹰潭·高二期末（文）） 是直线 与直线 互相平
行的（ ）条件
A．必要而不充分 B．充分而不必要C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
由 解得 或 ，当 时， 与 平行，
当 时， 与 平行，
则直线 与直线 平行等价于 或 ，
所以 是直线 与直线 互相平行的充分而不必要条件.
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，直线 ： ， ： ，
且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以
，
当且仅当 即 ， 时取等号， 的最小值为 ，
故选：D
同类题型归类练
1．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期末）已知直线 ： 与直线 ：
平行，则a的值是（ ）
A． B．1 C． 或1 D．4或
【答案】B
因直线 ： 与直线 ： 平行，
则有 ，解得 或 ，
当 时，直线 ： 与直线 ： 平行，
当 时，直线 ： 与直线 ： ，即 重合，
所以a的值是1.
故选：B2．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）设 ，则直线 与直线
垂直的充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． 或1 D． 或
【答案】B
直线 与直线 垂直，等价于 ，解得 或 ，
所以直线 与直线 垂直的充分不必要条件是B选项.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 ， ，直线 ， ，
且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以
，
当且仅当 ， 时，等号成立．
故选：D.
角度3：直线方程
典型例题
例题1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点 且与直线 平行的直线方程是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为所求直线与直线l平行，
所以设所求直线方程为： ，
又所求直线过点 ，代入可得 ，解得 ，所以所求直线为 ，即 .
故选：A
例题2．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线 ， ，则过 和 的交点且
与直线 垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由于所求出直线与直线 垂直，所以设所求直线为 ，
由 ，得 ，即 和 的交点为 ，
因为直线 过点 ，
所以 ，得 ，
所以所求直线方程为 ，
故选：D
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）直线 过点 且与点 的距离最远，那么 的方程为______．
【答案】
直线 过点 且与点 的距离最远，
则直线 与直线AB垂直，
直线 的斜率为： ，
直线 的方程为 ，即 ．
故答案为： .
2．（2022·贵州遵义·高二期末（文））过点 且与双曲线： 的渐近线垂直的直线方程为
______．
【答案】 或
解：因为双曲线 的渐近线为 ，
过点 与 垂直的直线方程为 ，即 ；
过点 与 垂直的直线方程为 ，即 ；故答案为： 或 .
3．（2022·江苏·高二）经过两条直线 和 的交点，并且平行于直线 的直线
的一般式方程为______．
【答案】
由 解得 ，故交点坐标为 ，由平行于直线 可得斜率为1，
故方程为 ，化为一般方程为 .
故答案为： .
角度4：直线的交点坐标与距离
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知直线 和 相交，且交点在第二象限，则实数
的取值范围为____．
【答案】
当 ，直线 和 平行，不满足题意，
故 ，此时联立方程 ，解得 ，
因为交点在第二象限，
所以 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ．
故答案为：
例题2．（2022·江西上饶·高二期末（文））双曲线 的右焦点到直线 的距离为
___________.
【答案】
双曲线 ，则 ， ，
所以 ，所以双曲线的右焦点为 ，所以右焦点 到直线 的距离为 ．
故答案为： ．
例题3．（2022·全国·高二期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多
代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与 相关的代数问题，可以转化为点
与点 之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数 ，
的最小值为______．
【答案】
函数 ，
表示点 与点 与 距离之和的最小值，则点 在 轴上，
点 关于 轴的对称点 ，
所以 ，
所以 的最小值为： .
故答案为： .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）两平行线 与 之间的距离为______．
【答案】
因为直线 ，即为 ，
所以两平行直线 与 之间的距离为
.
故答案为： .
2．（2022·青海海东·高二期末（理））我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人
微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与 相关的代数问题可以
转化为点 与点 之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程
的解是__________.
【答案】因为 ，所以 ，可转化为点 到点
和点 的距离之和为 ，所以点 在椭圆 上，则 ，解得 .
故答案为：
题型二：圆与方程
角度1：圆的方程
典型例题
例题1．（2022·陕西咸阳·高一期末）过四点 ， ， ， 中的三点的一个圆的方程为
______.
【答案】 或
或 或
设圆的一般方程为 ，
若圆过 三点，
则 ，解得 ，
此时圆的一般方程为 ；
若圆过 三点，
则 ，解得 ，
此时圆的一般方程为 ；
若圆过 三点，
则 ，解得 ，
此时圆的一般方程为 ；
若圆过 三点，
则 ，解得 ，此时圆的一般方程为 ；
故答案为： 或
或 或
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）求过直线 和圆 的交点，并且面积最小的
圆的方程．
【答案】
由已知条件，所求圆一定是以直线 被圆 截得的弦为直径的圆，
由方程组 ，解得直径的两端点分别为 ， ，线段 的中点为
即所求圆的圆心， ，则 ，
所求圆的方程为 .
2．（2022·江苏·高二专题练习）求下列圆的方程
(1)若圆 的半径为 ，其圆心与点 关于直线 对称，求圆 的标准方程；
(2)过点 的圆 与直线 相切于点 ，求圆 的标准方程．
【答案】(1)
(2)
(1) 点 关于直线 对称的点为 ，
圆 是以 为圆心， 为半径的圆， 圆 的标准方程为 .
(2) 两点在圆 上， 圆 的圆心在 垂直平分线上；
， 中点为 ， 的垂直平分线方程为 ；
直线 与圆 相切于点 ， 直线 与直线 垂直，
， 直线 方程为： ，即 ；
由 得： ， 圆心 ，半径 ，
圆 的标准方程为 .
角度2：直线与圆的位置关系典型例题
例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）已知圆 .
(1)过点 作圆 的切线l，求切线l的方程；
(2)设过点 的直线 与圆 交于 两点，若点 、 分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线 得方
程.
【答案】(1) 或 ；
(2) 或
(1)由 可得 ，
即圆心为 ，半径 ，
显然当直线斜率不存在时， 是圆的切线，
当直线斜率存在时，设直线为 ，即 ，
由圆心到直线的距离 ，解得 ，
故切线为 或 .
(2)因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故 ,
所以 ，故圆心到直线的距离 ，
直线斜率不存在时，由 知，不符合题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为 ，
则圆心到直线的距离 ，解得 ，
故直线方程为 或 .
例题2．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆 ．
(1)若一直线被圆 所截得的弦的中点为 ，求该直线的方程；
(2)设直线 与圆 交于 ， 两点，把 的面积 表示为 的函数，并求 的最大值．
【答案】(1)
(2) ，最大值为 .
(1)圆 化为标准方程为： .则 .
设所求的直线为m.由圆的几何性质可知： ，所以 ，
所以所求的直线为： ，即 .
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则 ，且 ，所以
因为直线 与圆C交于A，B两点，所以 ,解得： 且 .
而 的面积：
因为
所以 （其中 时等号成立）.
所以S的最大值为 .
同类题型归类练
1．（2022·贵州遵义·高二期末（文））在平面直角坐标系中，光线 过点 ，经 轴反射后与圆 ：
有交点
(1)当反射后光线经过圆心 ，求光线 的方程；
(2)当反射后光线与圆 相切，求光线 的方程．
【答案】(1) (2) 或
(1)点 关于 轴对称的点为 ，由光线的折射性质，反射光线经过圆心 ，所以
，
易知 ，所以 ，
所以光线 的方程为 .
(2)设经过 的直线方程为 由于折射光线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即 ,
化简得： ,解得 或 ,
所光线 的方程为 或 .
2．（2022·四川乐山·高一期末）已知直线l过点 交圆 于A、B两点．
(1)当直线l的倾斜角为 时，求 的长；
(2)当 最小时，求直线l的方程．
【答案】(1) (2)
(1)圆 的圆心 ，半径
因为直线l的斜率为 ，
则过点 的直线l的方程为 ，即 ，
则圆心 到直线l的距离 ，
所以 ．
(2)由题知，当直线 时， 最小，此时 ，
故直线l的方程为 ，即 ．
角度3：圆与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知圆 ： ，其中 ．
(1)已知圆 与圆： 外切，求 的值；
(2)如果直线 与 相交所得的弦长为 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) .
（1）解：由圆 ，可得 ，则圆心 ，半径 ，
由圆 ，可得圆心 ，半径 ，因为两圆外切，则 ，解得
．
（2）解：圆 的圆心坐标为 ，半径为 ．圆心到直线的距离 ，又直线
与圆 相交所得的弦长为 ， ，解得 ． 的值为 ．
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 与圆 ．(1)求证：圆 与圆 相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线 上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
(1)证明：圆 ： 化为标准方程为 ，
，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
，
， 两圆相交；
(2)解：由圆 与圆 ，
将两圆方程相减，可得 ，
即两圆公共弦所在直线的方程为 ；
(3)解：由 ，解得 ，
则交点为 ， ，
圆心在直线 上，设圆心为 ，
则 ，即 ，解得 ，
故圆心 ，半径 ，
所求圆的方程为 ．
例题3．（2022·江苏南通·高二期末）已知圆 ，点 .
(1)若 ，半径为 的圆 过点 ，且与圆 相外切，求圆 的方程；
(2)若过点 的两条直线被圆 截得的弦长均为 ，且与 轴分别交于点 、 ， ，求 .
【答案】(1) 或 (2)
(1)解：设圆心 ，圆 的圆心为 ，由题意可得 ，解得 或 ，
因此，圆 的方程为 或 .
(2)解：若过点 的直线斜率不存在，则该直线的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，不合乎题意.
设过点 且斜率存在的直线的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，整理可得 ，
设直线 、 的斜率分别为 、 ，
则 、 为关于 的二次方程 的两根，
，
由韦达定理可得 ， ，
在直线 的方程 中，令 ，可得 ，即点
在直线 的方程 中，令 ，可得 ，即点 ，
所以， ，解得 .
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）求圆 与圆 的公共弦的长．
【答案】
根据题意，设两圆的交点为 和 ，
又由圆 ，圆 ，
则直线 的方程为 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
则 ,即圆 与圆 的公共弦的长为 .
2．（2022·天津西青·高二期末）已知圆 ： ，直线 ： .
(1)求证：直线 与圆 相交，并求相交所得弦中最短弦的长；
(2)若圆 ： ，圆 ､直线 三者有公共点，求 的值.
【答案】(1)证明见解析， (2)
(1)易知直线 ： 恒过点 ，
， 点 在圆 内，
直线 与圆 相交，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 .
当点 为弦中点时，弦长最短，此时半弦､ ､半径构成以半径为直角边的直角三角形.
， 所求最短弦的长为 .
(2)圆 与圆 的公共点在直线 上，
即在直线 上，
，
点 在直线 上､在圆 内，且圆 ､圆 ､直线 有公共点，
直线 ： 与直线 重合.
，解得 即为所求.
题型三：圆锥曲线
角度1：根据定义求轨迹方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）若动点 满足 ，则点 的轨
迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
由题意，动点 满足 ，
即 ，即动点 到定点 的距离等于动点 到定直线 的距离，
又由点 不在直线 上，
根据抛物线的定义，可得动点 的轨迹为以 为焦点，以 的抛物线.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知 是两个定点 且 的周长等于 则顶点 的轨
迹方程为______．
【答案】 或
【详解】
，且△ABC的周长等于16，
，故顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，除去与 轴的交点，
， ，
，故顶点 的轨迹方程为 或
故答案为： 或
例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知平面内两定点 ， ，动点 满足 ，
则点 的轨迹方程是___________.
【答案】
由题意知： ， ，故M的轨迹是以 为焦点，实轴长 的双曲线，
设双曲线方程为 ，由 可得 ，故点M的轨迹方程是 .
故答案为： .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二单元测试）若动圆与两定圆 及 都外切，则动圆圆心的
轨迹方程是___________.
【答案】
设圆 为 可得圆心 ，半径 ，
设圆 为 可得圆心 ，半径 ，且 ，
设动圆圆心为 ，半径为 ，因为动圆 同时与圆 外切和圆 外切，所以 ， ，
所以 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的左支，
所以 ， ， ，
所以动圆的圆心 的轨迹方程为： .
故答案为： .
2．（2022·全国·高二专题练习）点P到点 、 的距离之和为 ，求动点P的轨迹方程．
【答案】见解析
解：由题意， ，
当 时，点P到点 、 的距离之和为8，所以动点P的轨迹为线段 ，
所以动点P的轨迹方程为 ；
当 时，点P到点 、 的距离之和为 ，所以由椭圆的定义知动点P的轨迹
为以 、 为焦点，长轴长为 的椭圆，
所以 ，
所以动点P的轨迹方程为 ；
当 时，点P到点 、 的距离之和为 ，所以动点P的轨迹不表示任何曲线，
无轨迹方程.
3．（2022·全国·高三专题练习）动点 到y轴的距离比它到定点 的距离小2，求动点
的轨迹方程．
【答案】 或 ．
解：∵动点M到y轴的距离比它到定点 的距离小2，
∴动点M到定点 的距离与它到定直线 的距离相等．
∴动点M到轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，且 ．
∴抛物线的方程为 ，
又∵x轴上点 左侧的点到y轴的距离比它到 点的距离小2，
∴M点的轨迹方程为 ②．综上，得动点M的轨迹方程为 或 ．
角度2：求圆锥曲线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））若直线 过椭圆 短轴端点和左
顶点，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
直线 交x轴于 ，交y轴于 ，依题意， ，
所以椭圆方程为 .
故选：B
例题2．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））已知焦距为4的双曲线 的一条渐近
线与直线 垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由已知焦距为4，所以 ， ，又双曲线方程的渐近线方程为： ，而直线的斜率
，且直线与一条渐近线垂直，所以 ，即 ，由 解得 ，所
以双曲线方程为：
故选：C.
例题3．（2022·上海徐汇·高二期末）以坐标原点为顶点，以 轴为对称轴，并经过点 的抛物线
的标准方程为___________．
【答案】
由题意设抛物线方程为 （ ），
则 ， ，
所以抛物线方程为 ．故答案为： ．
同类题型归类练
1．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））焦点在x轴上的椭圆过点 ，离心率 ，则其标准方
程是______________．
【答案】
解：设椭圆的标准方程为 ，
则有 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
故答案为： .
2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的离心率为 , 为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与 关于直
线 对称，则椭圆方程为________.
【答案】 或
由椭圆的离心率 ，则 c，
由 则 ，
不妨设椭圆方程为
所以焦点 关于 ： 的对称点设为 ，则
，解得 ，
由点 在椭圆上，得
由椭圆的对称性可知椭圆的焦点坐标也可以在 轴上，
所以椭圆的标准方程为： 或 ．故答案为： 或 .
3．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为 ，且经过点 ，则该双曲线
的标准方程为________．
【答案】
根据题意知， ，所以点 在渐近线方程 的右下方，
所以该双曲线的焦点在 轴上，设标准方程为 ，且 ；
又 ，所以 ；
又 1，即 1，
解得 ， ，
所以双曲线的标准方程是 ．
故答案为：
4．（2022·云南曲靖·高二期末）过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于
点C，若 ，则此抛物线方程为__________．
【答案】
如图，作 准线于 ， 准线于 ，设 ，由抛物线定义得 ， ，故 ，
在直角三角形 中，因为 ， ，所以 ，从而得 ，
设准线与x轴交于 ，则 ，所以 ，因此抛物线方程为 .
故答案为： .
角度3：离心率
典型例题
例题1．（2022·全国·郑州一中模拟预测（理））已知 ， 分别为双曲线 的两个
焦点，双曲线上的点 到原点的距离为 ，且 ，则该双曲线的离心率为
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
设 为双曲线的下焦点， 为双曲线的上焦点，如图，过点P作 于点H，
∵ ，
∴ ，∴ .
∵ ，∴ .
∵ ，且 ，∴ ，则
由余弦定理得 ，
化简得 .例题2．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别是 、
，点 是双曲线 右支上一点，满足 ，若以点 为圆心， 为半径的圆与圆
内切，与圆 外切，其中 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由已知可得 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，可得 ，
，因此， .
故选：C．
例题3．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在平面直角坐标 中，双曲线 ：
的右焦点为 ，点 是 在第一象限内的点，延长 交 于另一点 ，使得
， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
如图，记 的左焦点为 ，连接 ， ，
由双曲线的对称性知， ，所以 ，
在 上，根据双曲线性质知： ，即 ．
因为 ，所以 ．
因为 ， ， ，而 ，
所以 ，即 是直角三角形，故 ．
在 中， ，整理得 ，所以 ．
故选：B．
例题4．（2022·全国·模拟预测）设 是椭圆C： 的上顶点， 是 上的一个动点，
当 运动到下顶点时， 取得最大值，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设 ， ，因为 ， ，
所以 ， ，由题意知当
时， 取得最大值，所以 ，可得 ，即 ．
故选：C．
同类题型归类练
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆 ，直线 与椭圆C
交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
将 代入C中，得 ， ，由题意得 ，
即 ， ．
故选：D.2．（2022·四川成都·模拟预测（理））椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 ，点 在椭圆
上，满足 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由 ， 得 ,故 ，即 ，故
， ，在 中，由余弦定理可得：
， △
，化简得
，即 ，则 ，
，因为 ，所以
解得 或 （舍），
故选：B.
3．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点A
是C左支上一点，点B是C渐近线上一点，O为坐标原点．若 ，则C的离心率为
_________．
【答案】如图，不妨设 在第三象限，则 在 上， ，又 ，则 ，则
，
则 的纵坐标为 ，代入 得 ，则 ，由 可得 ，
，
又 为 中点，则 为 中点，则 ，又 在 上，则 ，
整理得 ，则离心率为 .
故答案为： .
4．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，已知 ， 分别为椭圆C： 的左、
右焦点，A为C上位于第一象限内的一点， 与y轴交于点B，若 ，则C的离心率
为______．
【答案】
由题意知, ，设 ，
由 ，得 ， ,
, ,
在 中， ， ，
在 中， ；
根据椭圆的定义， ，所以 ．
故答案为：
5．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆
的下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近
线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为______．
【答案】
解：设 的半焦距为c（ ），则 ，又 ，
所以 ，又直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
即 的最小值为 ．
故答案为：
角度4：中点弦问题
典型例题
例题1．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知椭圆 ＋ ＝1( )的右焦点为 ，过
点 的直线交椭圆于 、 两点．若 的中点坐标为(1，－1)，则 的方程为
A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1C． ＋ ＝1 D． ＋ ＝1
【答案】D
设 、 ，所以 ，运用点差法，所以直线 的斜率为 ，设直线方程为
，联立直线与椭圆的方程 ，所以 ；又因为
，解得 .
例题2．（2022·云南曲靖·二模（文））设直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 是
线段 的中点，直线 与直线 （ 是坐标原点）的斜率的乘积等于 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设 ， ，则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
即 ．
因为点 ， 在双曲线 上，所以有 ， ，
化简可得： ，
所以有 ，离心率为 ．
故选：D．
例题3．（2022·四川绵阳·二模（理））已知 为抛物线 上的两点， ，若 ，
则直线 的方程为_________.
【答案】
设 又 ，
因为 ，所以 ，
又 ，则 ，得则直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，
化简为 ．
联立 ，可得
，直线与抛物线有两个交点，成立
故答案为： ．
同类题型归类练
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知双曲线 的左､右焦点分别为 过左焦点
作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 ，
则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
解：设 、 ，则 ， ，
两式相减可得 ，
为线段 的中点， ， ，
，又 ， ，
，即 ， ，
故选：D.
2．（2022·全国·三模（理））已知抛物线C： 的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线
段AB的中点为 ，则点F到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设 ， ，则 ， ，所以 ，
即 ，
因为AB的中点为 ， ，所以直线 的斜率 ，所以直线 的方程为 ，
所以焦点 到直线 的距离 ，
故选：A.
3．（2022·上海·模拟预测）已知椭圆 ( )与直线 交于A、B两点， ，
且 中点的坐标为 ，则此椭圆的方程为________．
【答案】
由于 的中点坐标为 且满足直线方程 ，
即有 ，解得 ，则 的中点坐标为 ．
设 ， ，由 得 ，
则 ，
∵ 的中点坐标为 ，∴ ，即 ，
则 ，即 ，故 ，
又 ，
解得 ，故 ．
∴椭圆方程为 ．
故答案为： ．
4．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室一模（文））已知椭圆 ： 的左焦
点为 ，过 作一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 ， 两点，若 为线段 的中点，则椭
圆 的离心率是___________.
【答案】设 ， ， ， 在椭圆上，所以 ， ，
两式相减，得 ，
又 为线段 的中点，所以
，即 ，即 ，所以 .
故答案为：
5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））椭圆 内，过点 且被该点平分的弦所在的直线
方程为______．
【答案】
设直线与椭圆的两个交点为 ，因为 在椭圆上，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的方程为： ，即 ，
故答案为： .
角度5：焦点三角形中的问题
典型例题
例题1．（2022·江苏南京·高三开学考试）双曲线 的左､右焦点分别为 为 左支
上一动点，直线 与 的右支交于点 ，且 与 的周长相等，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
记 的焦距为 ，则 ，又 与 的周长相等，即 ，
又 ，且 ，即 ，
所以 .
故选：B.
例题2．（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习（文））若 为椭圆 ： 的
右焦点， 为 上两动点，则 周长的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【答案】D
解：设 为椭圆 的左焦点，
则由椭圆的定义可得：
，
当 共线时， ，
当 不共线时， ，
所以△ABF周长的最大值为20.
故选：D.
例题3．（2022·新疆·三模（理））已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点
且斜率为 的直线与双曲线在第二象限交于点 ， 为 的中点，且 ，则双曲线
的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A解：由 ，即 ，又 ，且 ，
解得 或 （舍去），
由 且 为 的中点，知 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，又 ，
∴ ，∴渐近线方程为 .
故选：A
例题4．（2022·全国·高二专题练习）设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上的点，且
，则 的面积等于_______.
【答案】
由 ，且 ，
在 中， ∠
.
故答案为：
例题5．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线 1的左、右焦点分别为 ， 为双曲线的中心， 是双曲线右支上的点， 的内切圆的圆心为 ，且圆 与 轴相切于点 ，过 作直线 的
垂线，垂足为 ，则 ________．
【答案】
根据题意得 、 ，
设 的内切圆分别与 切于点 ，与 切于点 ，
则 ， ， ，
又点 在双曲线右支上，
，故 ，而 ，
设 点坐标为 ，
则由 可得 ，解得 ，
故 ，
则 的内切圆的圆心在直线 上，
延长 交 于 ，在三角形 中，由题意得，三角形 是一个等腰三角形， ，
在三角形 中，有 ，
．
故答案为：1.
同类题型归类练1．（2022·江西九江·三模（理））双曲线 的左右焦点分别为 ， ， 为圆
与该双曲线的一个公共点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
由双曲线方程 知 ， ，
恰好为圆 的直径，所以 ，如图所示：
由双曲线定义知 ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A.
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知 ， 分别是双曲线C： 的左、右两个焦点，点M
在双曲线的右支上，且 ，则 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
由 ， 分别是双曲线C： 的左、右两个焦点，可得： .
由双曲线的定义可得： ，而 ，解得： .
由余弦定理得：所以 90°.
故选：D
3．（2022·陕西·长安一中三模（文））已知椭圆C: 的焦点为 ， ，第一象限点P在C上，且
，则 的内切圆半径为_________.
【答案】 ##
由已知条件得 ， ， ，则 （－1，0）， （1，0）.
设点P的坐标为（ ， ），则 ，
，即 ①，
∵第一象限点P在C上，
∴则 ，即 ②，
联立解得
由椭圆的定义得
设 的内切圆半径为r，则
又∵ ，
∴ ，即 .
故答案为：
4．（2022·全国·高二专题练习）椭圆 的焦点为 点 在椭圆上，若 则 的大
小为___．
【答案】
， ．
在 中， ，
．
故答案为： .5．（2022·全国·模拟预测（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的
直线与 交于A，B两点，满足 且 ，则 ______．
【答案】
因为 ， ，所以 ， ．设 ，根据椭圆定义可得
，所以 ．因为 ，所以 ，所以 ，即
，解得 ．所以 ，则 ，
，所以
．
故答案为：
6．（2022·广东广州·高二期末）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，直线 过
与双曲线 的左支和右支分别交于 两点， ．若 轴上存在点 满足 ，则双曲线
的离心率为__________．
【答案】
由题意， 即有 ，根据相似关系可得 ，设 ，则 ， 在双曲线的左支，则 ， 在双曲线的右支，则 ，又 ，列出勾股
定理方程： ，解得 .在 中， ， ，列勾股定理可
得 ，于是 ， .
故答案为： .
7．（2022·上海市第三女子中学高二期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，其左右焦点
为 、 ，斜率为1的直线 经过右焦点 ，与椭圆 交于不同的两点A、B， 的周长为12．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 的面积．
【答案】(1) (2)
(1)解：由题可知， 的周长为12，即 ，所以 ，
又椭圆 的离心率为 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 .
(2)解：由（1）得 ，则直线 的方程为 ，
设 ,且 ，
由 消去 ，得 ， ，
则 ，
所以 ，
因为
所以 .
即 的面积为 .8．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆 ： 内有一点 ， ， 分别为椭圆的左、右焦
点， 为椭圆 上的一点，求：
(1) 的最大值与最小值；
(2) 的最大值与最小值．
【答案】(1)最大值为 ，最小值为
(2)最大值为 ，最小值为
(1)由椭圆 可知 ， ， ，
则 ， ，
则 ，当且仅当 、 、 三点共线时成立，
所以 ，
所以 的最大值与最小值分别为 和 ；
(2) ， ， ，
设 是椭圆上任一点，由 ， ，
，
等号仅当 时成立，此时 、 、 共线，
由 ，
，
等号仅当 时成立，此时 、 、 共线，故 的最大值 与最小值为 ．
角度6：圆锥曲线中的定点问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线 ，过点 的直线 和 相互垂直（斜率存
在）， 、 分别是 和 的中点．求证：直线 过定点．
【答案】证明见解析
设 直线为 ， ，
可得 且 ，
由 ， ，两式相减得到 ，即 ，
又由 ，解得 ，即 ，
（1）当 时，M点即是P点，此时，直线MN为x轴．
（2）当 时，将上式M点坐标中的 换成 ，同理可得 ．
①当直线 不垂直于x轴时，直线 的斜率 ，
其方程 ，化简得 ，
此时直线 过定点 ．
②当直线 垂直于x轴时， ，此时 ，直线MN也过定点 ．综上所述，直线MN过定点 ．
例题2．（2022·湖北·武汉市第十一中学高二期末）已知双曲线 的左、右焦点分
别为 ， ，动点 满足 ．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)若动点 在双曲线 上，设双曲线 的左支上有两个不同的点 ， ，点 ，且
，直线 与双曲线 交于另一点 ．证明：动直线PB经过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)因为 ，
所以，动点M的轨迹是以点 、 为左、右焦点的双曲线的左支，
则 ，可得 ， ，所以，点M的轨迹方程为 ；
(2)证明：∵ ，∴直线PQ垂直于x轴，
易知，直线BP的斜率存在且不为0，设直线BP的方程为 ，
设 ， ，则 ，
联立 ，化简得： ，
直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足 或 ，∴ ， ，
又 ，又N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
化简得： ，∴ ，
∴ ，即 ，满足判别式大于0，即直线BP方程为 ，所以直线BP过定点 ．
例题3．（2022·河南·模拟预测（理））已知抛物线 的焦点为 ，过 且不垂直于 轴
的直线 交 于 ， 两点，且当 的倾斜角为 时， ．
(1)求 的方程；(2)设 为 轴上一点，且 ，证明： 的外接圆过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)当l的倾斜角为 时，l的斜率为1， ，则 ： ，代入C的方程，得 ，即
，
设 ， ，则 ， ，
根据抛物线的几何性质可知， ， ，
由 ，可知， ，
因为 ，
可知 ，
，
所以 ，
所以 ，C的方程为 ．
(2)设 的外接圆与x轴的另一个交点为 ，
由 可知， ，
则直线AQ的斜率 与直线BQ的斜率 满足 ．
设l的斜率为k，由（1）可知， ，代入 ，
则 ，即 ， ．
设 ， ，则 ， ， ， ，
所以 ，
即 ， ，
所以 ， 为定点，则 的外接圆过定点 ，得证.
角度7：圆锥曲线中的定值问题典型例题
例题1．（2022·湖南郴州·高二期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，左顶点坐标为
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，设点 ，问：直线 ， 的斜率之和
是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．
【答案】(1) (2) 为定值，定值为-2
(1)由题意得
又 ，所以
所以 ，
所以椭圆C： ．
(2)当直线l斜率存在时，设直线l： ，（其中 ）， ， ，
联立 ，消y可得 ，
则 ，解得 或 ，
，
所以
（定值）
当直线l的斜率不存在时，直线l： ，则M，N关于x轴对称，所以 ，
所以 ，
综上可得 （定值）例题2．（2022·全国·高二）已知双曲线 的虚轴长为4，直线 为双曲
线 的一条渐近线.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)记双曲线 的左、右顶点分别为 ，过点 的直线 交双曲线 于点 (点 在第一象限)，记
直线 斜率为 ，直线 斜率为 ，求 的值.
【答案】(1) ；(2) .
(1)∵虚轴长为4，
∴ ，即 ，
∵直线 为双曲线C的一条渐近线，
∴ ，∴ ，
故双曲线C的标准方程为 .
(2)由题意知， ， ，
由题可知，直线 斜率不能为零，故可设直线 的方程为 ，
设 ， ，
联立 ，得 ，
， ，
，
直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
．
同类题型归类练
1．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知椭圆 的离心率为 ，短轴一个端点到
右焦点 的距离为2.
(1)求椭圆 的标准方程；(2)过点 的直线 交椭圆于 两点，交 轴于 点，设 ，试判断 是否为定值？
请说明理由.
【答案】(1) (2)是定值，理由见解析
(1)由题可得, ，又 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
(2)由题可得直线斜率存在，由（1）知 设直线 的方程为 ，则 ,消去 ，整理
得： ，
设 ，则 ， ，
又 ，则 ，由 可得 ，所以
.
同理可得 ，.
所以
所以， 为定值 .
2．（2022·福建省龙岩第一中学高二开学考试）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线
方程为 ，右焦点 ，双曲线的实轴为 ， 为双曲线上一点（不同于 ， ），直线 ，
分别于直线 交于 ， 两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)试判断 是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.【答案】(1) (2)为定值，定值为
(1)依题意可设双曲线方程为： ，
则 ，所以所求双曲线方程为 .
(2) 、 、 ，
设 ， ， ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，
所以 即 ，同理得 ，
， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
∴
故 （定值）.
3．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直
线 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程．
(2)设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，
N两点，证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
(1)Q（x，y），由题意，得 ，
当 时， ，平方可得 ，
当 时， ，平方可得 ，
由 可知 ，不合题意，舍去.综上可得 ，所以Q的轨迹方程C为 ．
(2)不妨设 ，因为 ，所以 ，
从而直线PA的斜率为 ，解得 ，即A（2，1），
又F（0，1），所以 轴．要使 ，只需 ．
设直线m的方程为 ，代入 并整理，得 ．
首先， ，解得 或 ．
其次，设 ，则 ，
，故
.
此时直线m的斜率的取值范围为 ．
角度8：圆锥曲线中的定直线问题
典型例题
例题1．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）设 ， 分别为椭圆 ： 的左、右
焦点，点 在椭圆 上，且点 和 关于点 对称.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，过点 且平行于 的直线与椭圆交于另一点 ，问是否存在
直线 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
(1)由点 和 关于点 对称，得 ，
所以椭圆 的焦点为 ， ，由椭圆定义，得 .
所以 ， .故椭圆 的方程为 .
(2)由题可知直线 ，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
设 ， ，
由 消去 ，得 ，
由题意，可知 ，则 ， ，
由 消去 ，得 ，
由 ，可知 ，设 ，又 ，
则 ， .
因为四边形 为平行四边形，
所以 ，即 ，故 .
所以 .得 .
所以 为 .
例题2．（2022··一模）设双曲线 ，其虚轴长为 ，且离心率为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点 、 ，在线段 上取点 使得 ，
证明：点 落在某一定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：设双曲线 ，其虚轴长为 ，且离心率为 ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ， ，∴双曲线 的方程为 ．(2)解：设点 ，A， 的坐标分别为 ， ， ，且 ，
∵ ，∴ ，
即 ，①
设直线 的方程为 ，②
将②代入 中整理，得 ，
∴ ， ，代入①，
整理可得，得 ，联立②消 得，
∴点 落在某一定直线 上．
例题3．（2022·浙江·高三专题练习）已知抛物线 ，过点 的直线 交抛物线 于 两点，
交 轴于点 ，分别过点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，如图．
（1）若 （ 为坐标原点），求 的值；
（2）过 作直线 的垂线交 于点 ．记 ， 的面积分别为 ．若
，求直线 的方程．
【答案】（1）4；（2） .
（1）设直线 为 ，设 ，则 ，
由 ，得 ，则 ，
因为 ，
所以 （舍）或4．
．
（2）由（1） （*） ． ．，令
．①
由几何关系知． ． 不妨设 ．
又
将（*）代入
．②
由①②：
又 过点
．代入．
仅有一个解 ．
．
角度9：圆锥曲线中的向量问题
典型例题
例题1．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知 为曲线 上一点， ， 为圆 与 轴的两
个交点，直线 ， 的斜率之积为 ．
(1)求 的轨迹方程；
(2)过点 的直线与 交于 ， 两点，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)由题意，不妨令 ， ，
设 ，则 ， 斜率之积为 ．化简得 ，∴曲线C的轨迹方程为 ．
(2)显然 点在曲线 的内部，若直线 与 轴重合，则直线 与曲线 没有公共点，
当直线 不与 轴重合时，令直线 的方程为 ，
联立直线方程与曲线 的方程，消去 并整理得
，令 ， ，则 ，
， ， ，∴ ，
∵ 与 方向相同，∴ ，不妨令 ， ，则 ，①
，∴ ，②
由①②得 ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，∴ 的取值范围是 ．
例题2．（2022·山东济南·二模）已知椭圆 的焦点坐标为 和 ，且椭圆经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，椭圆 上四点 ， ， ， 满足 ， ，求直线 的斜率.
【答案】(1) (2)
(1)解：由题意可知，c=1，
设椭圆方程为 ，将点 代入椭圆方程，
得 ，
解得 （舍）， ，
所以椭圆方程为 .
(2)设 ， ， ， ， ，因为 ，所以 ，即 ，
又 ， 都在椭圆上，
所以 ， ，
即 ，
②-①得 ，
即 ……③，
又 ，同理得 ……④
④-③得 ，
所以 .
例题3．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知双曲线 是其左、右两个焦点． 是位
于双曲线 右支上一点，平面内还存在 满足 ．
(1)若 的坐标为 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，试判断 是否位于双曲线上，并说明理由；
(3)若 位于双曲线上，试用 表示 ，并求出 时 的值．
【答案】(1)
(2) 在双曲线上；理由见解析
(3) ；
(1)∵ ，
设 ，则 ，因为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
将 代入双曲线方程 中，化简得 ，
解得 或 （舍去）.
所以 的值为 .
(2)由（1）知， ，
，
设 ，则 ，
因为点 在双曲线上，所以 ①，
②，
联立①②，得 ，所以 ，
设 ,所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
将点 代入双曲线方程 中，即 ，
所以Q在双曲线上
(3)由（1）知， ，
设 ， ，则
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ,
因为点Q在双曲线上，所以 即 ，
化简得 ， ，
∴ ，解得 ，
代入 ，解得 .
所以 的值为 .
例题4．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知直线 ，点 ，动点
到点 的距离是它到直线 的距离的 倍，记 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 且斜率大于 的直线交 于两点，点 ，连接 、 交直线 于 、 两点，证明：
点 在以 为直径的圆上．
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)解：设 ，由题意得 ，化简得 ，
所以曲线 的方程为 ．
(2)证明：设 、 、 、 ，
设直线 的方程为 且 ，
联立 得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，因为点 在直线 上，则 ，即 ，可得 ，
同理可得 ， ， ，
所以，
，
故点 在以 为直径的圆上．
角度10：圆锥曲线中的最值、范围问题
典型例题
例题1．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别为
．过点 的直线 与椭圆 交于 两点，过点 作 的垂线交椭圆 于 两点，
的周长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)由题，
由椭圆定义， 的周长为 ，所以
所以椭圆 的方程为 .
(2)当 轴时，MN与x轴重合，不符合题意，
当直线 与 轴重合时， ，所以 ；
当直线 斜率存在且不为0时，设
，
由韦达定理所以
同理
所以
综上所述， 的取值范围是 .
例题2．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 与点 关于原点 对称， 是动点，
且直线 与 的斜率之积等于 ．
(1)求动点 的轨迹方程 ；
(2)设直线 与第（1）问的曲线C交于不同的两点E、F，以线段 为直径作圆D，圆心为D，设
是圆 上的动点，当t变化时，求 的最大值；
(3)设直线 和 分别与直线 交于点 、 ，问：是否存在点 使得 与 的面积相等？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或
(1)设 ，依题意有 ， ，即 ，
整理得： 或 ；
(2)当 时， ，即圆D的半径为 ，当 最大时，
必有 ， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
在 时， 取最大值= ；(3)
设 ， ，当 时，有 ,
由弦长公式得 ，
，
∴ ， ，
此时 ，点P的坐标为 或 ;
综上，轨迹C的方程为 ， 取最大值= ，
存在，P 或P .
例题3．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆 的焦距为 ，且过点
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 分别为椭圆 的右顶点和上顶点，点 是椭圆 上在第一象限的任意一点，直线 与 轴交于
点 ，直线 与 轴交于点 ， 与 的面积分别为 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)解：设椭圆 的焦距为由题意可知: ，解得 ，所以 ；
(2)设 ，
由题意可知 ，
所以直线 方程为 ，直线 方程为 ；
令 代入直线 方程，可得 ，
令 代入直线 方程，可得 ，
所以
所以
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，即 的取值范围 .
例题4．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线
的焦点为 ，准线为 ，过点 且斜率大于0的直线交抛物线 于 ， 两点，过线段
的中点 且与 轴平行的直线依次交直线 ， ， 于点 ， ， ．(1)求证： ；
(2)若线段 上的任意一点均在以点Q为圆心、线段 长为半径的圆内或圆上，若 ，求实数
的取值范围；
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)解：设 ，
则 ，
由于A，F，B三点共线，则 ，整理得 ，
又 ，
则 ，同理可得
则 ，
，所以 ，即证；
(2)解：若线段 上的任意一点均在以点Q为圆心、线段 长为半径的圆内或圆上，
即 ，则 ，化简得 ， ，
即
可得 ，又因为 ，
，
可得 ， ， ，
， ，即
例题5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．直线 与抛物线 相
切于点 且与 轴交于点 ，点 是点 关于点 的对称点，直线 与抛物线 交于另一点 ，与准线
交于点 ．
(1)证明：直线 直线 ;
(2)设 的面积分别为 ，若 ，求点 的横坐标的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)不妨设 且 ，而在 上 ，则 ，
所以切线斜率为 ， ，则切线为 ，
整理得 ，令 得： ，由题意 ，则 ．所以 ，则直线 直线 ，得证．
(2)由（1）知： ， ，
所以 ，则 ，
直线
将 代入 得： ，
，即 ，
在 中取 得： ，
所以 ，又 ，
化简得： ，解得 ，
，故 的横坐标的取值范围 ．
第二部分：高 考 真 题 感 悟
1．（2022·天津·高考真题） 、 是双曲线 的两个焦点，抛物线 的准线
过双曲线的焦点 ，准线与渐近线交于点 ， ，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
2．（2022·天津·高考真题）若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则
的值为_____．
【答案】
圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .
3．（2022·全国·高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
4．（2022·全国·高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心
率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是________________．【答案】13
∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
故答案为：13.
5．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ．
(1)设 是椭圆上任意一点, ,则
，当且仅当
时取等号，故 的最大值是 .
(2)设直线 ,直线 方程与椭圆 联立,可得 ,设
，所以 ，
因为直线 与直线 交于 ,
则 ,同理可得, .则，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
6．（2022·全国·高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1) (2)见解析
（1）右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴
，∴ ，∴ ．∴C的方程为： ；
（2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：
由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率
不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从
而 ，已知不符；总之，直线 的斜率存在且不为零.设直线 的斜率为 ,直线 方程为
,则条件① 在 上，等价于 ；两渐近线的方程合并为
,联立消去y并化简整理得： 设 ,线段中点为
,则 ,设 ,则条件③ 等价于
,移项并利用平方差公式整理得：
， ,即
,即 ；由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,∴由
,∴ ,所以直线 的斜率,直线 ,即 ,代入双曲线的方程
,即 中，得： ,解得 的横坐标：
,同理： ，∴
∴ ,∴条件② 等价于
，综上所述：条件① 在 上，等价于 ；条件② 等价于
；条件③ 等价于 ；选①②推③:由①②解得：
,∴③成立；选①③推②：由①③解得： ， ，∴
，∴②成立；选②③推①：由②③解得： ， ，∴ ，∴
，∴①成立.
7．（2022·上海·高考真题）在椭圆 中，直线 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶
点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB ，求椭圆 的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆 相交于点P，直线AD与椭圆 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 的
最小值.
【答案】(1) (2)交点为 ，在椭圆上，理由见解析
(3)6
(1)由题可得 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
(2)由 ，得直线 的方程为： ，由 ，得直线 的方程为： ，
联立两方程，解得交点为 ，
代入椭圆方程的左边，得 ，
故直线 与 的交点在椭圆上；
(3)由题有
因为 两点在椭圆上，且关于原点对称，
则设 ，
直线 ，则 ，
直线 ，则 ，
所以
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，即 的最小值为6.
