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第 13 讲 第八章 平面解析几何（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·陕西渭南·高一期末）如果 且 ，那么直线 不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））若直线 与圆 相交于 两点， 且
(其中 为原点)， 则 的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大
教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造饮就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近
似看成双曲线 下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为 ，
则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陕西渭南·高一期末）若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·陕西渭南·高一期末）已知圆 ，圆 ，则同时与圆 和圆
相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条
6．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆 ： 的两个焦点为 ， ，过 的直
线与 交于A，B两点.若 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆 的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是双曲线 上的动点， ， 为该双曲线的左右焦点，
为坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）圆 （ ）
A．关于点 对称
B．关于直线 对称
C．关于直线 对称
D．关于直线 对称
10．（2022·全国·高一）直线 与圆 相交于A，B两点，则线段 的长度可能
为（ ）
A． B． C．12 D．14
11．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”.
如图，已知椭圆 ， 为顶点， 为焦点， 为椭圆上一点，满足下列条件能使
椭圆 为“黄金椭圆”的有（ ）
A． 为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点12．（2022·云南昆明·高二期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 相交于 、 两
点（点 位于第一象限）， 与 的准线交于 点， 为线段 的中点，准线与 轴的交点为 ，则
（ ）
A．直 的斜率为 B．
C． D．直线 与 的倾斜角互补
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）关于直线 ： ， ： ，若 ，则
__________.
14．（2022·全国·高二专题练习）椭圆 ： 上的点 到直线 的距离的最小值为
_____.
15．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线 ： 的右焦点为 ，双曲线 的一条渐
近线为 ，以 为圆心的圆与 交于点 ， 两点， ， 为坐标原点， ，
则双曲线 的离心率的取值范围是______．
16．（2022·广东梅州·高二阶段练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：
“平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字
命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中， ， ，点 是满足
的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点 为抛物线 上的动点， 在 轴上
的射影为 ，则 的最小值为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·全国·高二专题练习）已知直线 的方程为： ．
(1)求证：不论 为何值，直线必过定点 ；
(2)过点 引直线 ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 的方程．18．（2022·重庆长寿·高二期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 ， ，
．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l： 截得的弦长．
19．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知抛物线C： 的焦点与椭圆： 的一个
焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l： 交抛物线C于 ， 两点，O为原点，求证： ．
20．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率
为 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线 经过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点，若 ，求直线 的方程．
21．（2022·广东·华南师大附中三模）已知在△ABC中， ， ，动点A满足 ，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．
(1)求点P的轨迹E的方程；
(2)直线 交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N
两点，与直线 交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为 ， ， ，
①求证： 是定值．
②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使 ？若存在，求出所有满足条件的m的值，若
不存在，请说明理由．
22．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，半焦距为 ，且
．经过椭圆的左焦点F，斜率为 的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 时，求 的值；
(3)设 ，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为 ，求证： 为定值．
