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专题 26.1 反比例函数的图象【十大题型】
【人教版】
【题型1 用反比例函数描述数量关系】..................................................................................................................1
【题型2 反比例函数的概念】..................................................................................................................................2
【题型3 反比例函数图象上点的坐标特征】.........................................................................................................2
【题型4 判断反比例函数图象】..............................................................................................................................3
【题型5 由反比例函数图象的对称性求值】.........................................................................................................4
【题型6 由反比例函数的图象求比例系数】.........................................................................................................6
【题型7 由比例系数求图形的面积】......................................................................................................................7
【题型8 由图形的面积求比例系数】......................................................................................................................9
【题型9 反比例函数图象中的规律探究】...........................................................................................................10
【题型10 反比例函数图象中的存在性问题】.......................................................................................................12
知识点1：反比例函数的定义
一般的，形如 的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是函数。
自变量 的取值范围是不等于0的一切实数。
【题型1 用反比例函数描述数量关系】
【例1】（23-24八年级·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）
A．某人参加800m赛跑时，时间t与跑步平均速度v之间的关系
B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长y与x之间的关系
F
C．压强公式p= 中，F一定时，压强p与受力面积S之间的关系
S
D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系
【变式1-1】（23-24八年级·河北保定·期末）建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项
目，其某段施工需运送土石方 ，则土石方日运送量 与完成运送任务所需时间 （天）满足
104m3 V(m3 /天) t
（ ）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系C．一次函数关系 D．二次函数关系
【变式1-2】（23-24八年级·河南洛阳·期中）如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积
1
S= aℎ．那么下列说法错误的是（ ）
2
A．当a为定长时，S是h的一次函数 B．当h为定长时，S是a的一次函数
C．当S确定时，a是h的一次函数 D．当S确定时，h是a的反比例函数
【变式1-3】（23-24八年级·安徽宣城·期末）已知y= y + y ，若y 与x−1成正比例，y 与x+1成反比
1 2 1 2
例，当x=0时，y=−5；当x=2时，y=1．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求当x=−2时，y的值．
【题型2 反比例函数的概念】
【例2】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的反比例函数 ，则 ．
y=(m−2)x|m)−1 m=
k−1
【变式2-1】（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函效y= ，则k不可以取下列的哪个值
x
（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）下列函数中是反比例函数的是（ ）
x 3 3
A．y= B．y= C．y=x−3 D．y=−
3 x x2
【变式2-3】（23-24·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量
y(kg)与单价x（元/kg）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
（2）水池中蓄水90m3，现用放水管x(m3/h)的速度排水，经过y(h)排空．写出y与x之间的函数表达式，
y是x的反比例函数吗？
【题型3 反比例函数图象上点的坐标特征】
【例3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值．
x −2 2 4
y 3 −3 ▲
（1）反比例函数的比例系数是 ．
（2）表中“▲”处的数为 ．4
【变式3-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）点A(m,2)在反比例函数y= 的图像上，则m的值为
x
．
4
【变式3-2】（23-24·陕西咸阳·三模）已知点A(x ,y )，B(x ,y )都在反比例函数y= 的图象上．若
1 1 2 2 x
x ⋅x =−2，则y ⋅y 的值为 ．
1 2 1 2
k
【变式3-3】（23-24八年级·江苏扬州·期末）已知反比例函数y= 的图像经过点A(2,−4)，则
x
(1 )
B ,−16 这个函数图像上．（填“在”或“不在”）
2
知识点2：反比例函数的图象与性质
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
函数 图象 所在象限 增减性
第一、
三象限 在同一象限内，
随 的增大而减小
第二、
四象限 在同一象限内，
随 的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
【题型4 判断反比例函数图象】
【例4】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（ ）
3 3
A．y=3x2 B．y= C．y=− D．y=3x
x x
【变式4-1】（23-24八年级·江苏泰州·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为x、y．选取5组数对(x,y)，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
k k k
【变式4-2】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图是三个反比例函数y = 1，y = 2，y = 3在y轴
1 x 2 x 3 x
右侧的图象，则k ，k ，k 的大小关系为 ．
1 2 3
p
{ ,(q>0) )
q 3
【变式4-3】（23-24·云南·模拟预测）定义新运算：p⊕q= 例如：3⊕5= ，
p 5
− ,(q<0)
q
3
3⊕(−5)= ，则y=2⊕x(x≠0)的图象是（ ）
5
A． B．C． D．
【题型5 由反比例函数图象的对称性求值】
【例5】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一
组对边与x轴平行，若正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于 ．
4
【变式5-1】（23-24·辽宁鞍山·一模）如图，直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A，B两点，若
x
A(2，m)，则点B的坐标为（ ）
A．(2,2) B．(−2,−1) C．(−2,−2) D．(−1,−4)
k
【变式5-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，点A(❑√3a,−a)是反比例函数y= 的图象与⊙O的一
x
个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为 ．a
【变式5-3】（23-24八年级·江苏无锡·期末）如图，过原点的直线交反比例函数y= 图象于P、Q点，过
x
b
点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y= (x>0)的图象于A、B点，已知b−a=3，则图中阴影部
x
分的面积为 ；且当S =3时，b的值为 ．
△APB
【题型6 由反比例函数的图象求比例系数】
k
【例6】（23-24八年级·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 y= (k≠0)的图象如图所
x
示，则k的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4k
【变式6-1】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，反比例函数y= 的图象经过平行四边形ABCD的顶点
x
C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为(3,0)，(0,4)，(a,6)，则k的值是 ．
k
【变式6-2】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，反比例函数y= 的图象经过平行四边形ABCD的顶点
x
C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为(3,0)，(0,4)，(a,6)，则k的值是 ．
【变式6-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）如图，点A的坐标是(−2，0)，点B的坐标是(0，6)，
k
C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y= 的图像恰好经过
x
A′B的中点D，则k= ．
知识点3：反比例函数比例系数k的几何意义
如图，在反比例函数 上任取一点 ，过这一点分别作 轴， 轴的垂线 ， 与坐标轴围成的矩形 的面积
【题型7 由比例系数求图形的面积】
【例7】（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，正六边形ABCDEF的顶点A在y轴上，边BC与x轴重合．
3
反比例函数y= 的图象经过正六边形的中心G，则正六边形ABCDEF的面积等于 ．
x
6
【变式7-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）如图，A、B是反比例函数y= 图象上两点，AC和BD都
x
与坐标轴垂直，垂足分别为C，D，OD=1，OC=2，AC与BD交于点P，则△AOB的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6
【变式7-2】（23-24八年级·湖南邵阳·期末）如图，直线y=−x与反比例函数y=− 的图象相交于A、B
x
两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接AD,BC，则四边形ACBD的面积为（
）A．4 B．8 C．12 D．24
【变式7-3】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形，
4
∠ACO=∠ADB=90∘ ，反比例函数 y= 在第一象限的图象经过点 B ，则 △OAC 与 △BAD 的面
x
积之差为 ．
【题型8 由图形的面积求比例系数】
【例8】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，点D是 ▱ABCD内一点，CD//x轴，BD// y轴，
k
BD=❑√2，∠ADB=135°，S =2，若反比例函数y= (x<0)的图像经过A、D两点，则k的值是
△ABD x
．
【变式8-1】（23-24八年级·山东威海·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点8 k
A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y =− 的图象上，边AB与函数y = 的图象交于点D，已知阴影
1 x 2 x
部分ODBC的面积为6，则k=（ ）．
A．2 B．−4 C．4 D．−2
【变式8-2】（23-24八年级·辽宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别
k
在x轴，y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y= (k>0，x>0)的图象经过矩形对角线的交点E，若点
x
A(1,0)，D(0,2)，则k的值为 ．
【变式8-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BC∥x
k
轴．AD与y轴交于点E，反比例函数 y＝ （x＞0）的图象经过顶点 C、D．已知点C的横坐标为5，BE
x
＝2DE，则k的值为 ．
【题型9 反比例函数图象中的规律探究】
【例9】（23-24·河北张家口·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP B的顶点A、B分
1k
别在x轴、y轴上，点P 在反比例函数y= (x>0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶点
1 x 1 1 1 1 2
P 落在反比例函数的图象上，再过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象
2 2 1 2 2 1 2 3 3
上，…，依此规律，作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为（ ）
18 17 18 19 19
1 1 1 1
A．(218,
) B．(
,218
)
C．(215,
) D．(
,215
)
218 218 215 215
【变式9-1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在
使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如下表：(动力×动力臂=阻力×阻
力臂)
动力臂(
… 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 …
L/m)
动力(F/N) … 600 302 200 a 120 …
请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近的是( )
A．300N B．180N C．150N D．120N
【变式9-2】（23-24·辽宁·一模）如图，点 ( ❑√3)在直线 ❑√3 上，过点 作 交直线
B 1, l :y= x B A B ⊥l
1 3 2 3 1 1 1 1
k
l:y=❑√3x于点A ，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，过C 的反比例函数为y= 1；再
1 1 1 1 1 1 1 1 1 x
过点C 作A B ⊥l ，分别交直线l 和l 于A ,B 两点，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形
1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2
k
A B C ，过C 的反比例函数为y= 2，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的k = ．（用
2 2 2 2 x n含n的代数式表示）
4
【变式9-3】（23-24八年级·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数y= 的图象上有A(2,m)、B两点，连
x
1
接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD= AC，点F 是CD的中点，连接
2 1
AF 、BF ，得到△AF B；点F 是DF 的中点，连接AF 、BF ，得到△AF B；……按照此规律
1 1 1 2 1 2 2 2
继续进行下去，则△AF B的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
n
【题型10 反比例函数图象中的存在性问题】
k
【例10】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y= (x>0)的
x
图象经过点B．
(1)k的值为______．(2)将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形MABC′，正方形N A′BC．设线段MC′，N A′
k
分别与函数y= (x>0)的图象交于点E，F，连接OE，OF，EF．
x
①求△OEF的面积；
②在x轴上是否存在点P，使△PEF为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理
由．
【变式10-1】（23-24八年级·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴
于A，BC⊥y轴于C，BA=3，BC=5，有一反比例函数图象刚好过点B．
(1)分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．
(2)动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图象于点D．是否存在这样的
点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．
【变式10-2】（23-24·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+2与反比例函数
k
y= 的图像交于A、B两点，其中点A的坐标为(1，m)．
x
k
(1)求反比例函数y= 的函数表达式和点B的坐标．
x
(2)若A′是A点关于原点的对称点，连接A A′,BA′，求△A′ AB的面积．
k
(3)连接OA，将线段OA绕点O顺时针旋转45°交反比例函数y= 的图像于点C，D是x轴上一点，是否存
x
在这样的点D，使得以O、C、D为顶点，OC为腰的等腰三角形？若存在，请写点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，
k
反比例函数y= （k>0,k为常数，x>0）的图象经过矩形OABC的顶点B(4,2)，顶点A,C分别在x轴，y
x
轴的正半轴上，点D为线段AC上的一个动点，点E在直线AO上一点，点F在反比例图象上．
(1)求反比例函数表达式．
(2)如图1，若点D为对角线AC的中点时，且四边形BDEF是平行四边形，求DE长．
(3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理
由．
