文档内容
第 05 讲 椭圆 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：椭圆定义的应用
角度1：利用椭圆定义求轨迹方程
角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题
角度3：利用椭圆定义求最值
题型二：椭圆的标准方程
题型三：椭圆的简单几何性质
角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距
角度2：求椭圆的离心率
角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：椭圆的定义
(| PF |+| PF |=2a>|F F |)
平面内一个动点 到两个定点F 、F 的距离之和等于常数 ，
P 1 2 1 2 1 2
这个动点P的轨迹叫椭圆. 这两个定点（ , ）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（ ）叫作椭圆的
焦距.
说明：
(| PF |+| PF |=|F F |)
若 ， 的轨迹为线段F F ；
1 2 1 2 P 1 2
(| PF |+| PF |<|F F |)
若 ， 的轨迹无图形
1 2 1 2 P
定义的集合语言表述
集合 .知识点二：椭圆的标准方程和几何性质
1、椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
标准方程
（ ） （ ）
图象
焦点坐标
， ，
的关系
范围 ， ，
顶点
， ，
，
轴长 短轴长＝ ，长轴长＝
焦点
焦距
对称性 对称轴： 轴、 轴 对称中心：原点
离心率
，知识点三：常用结论
x2 y2 x2 y2
1、与椭圆 a2 + b2 =1 (a>b>0) 共焦点的椭圆方程可设为： a2 +m + b2 +m =1 (m>−b2 )
x2 y2 y2 x2
2、有相同离心率： + =k（ ，焦点在 轴上）或 + =k（ ，焦点在 轴上）
a2 b2 k>0 a2 b2 k>0
x2 y2
3、椭圆 + =1的图象中线段的几何特征（如下图）：
a2 b2
（1） ；
（2） ， ， ；
a−c≤|PF|≤a+c
（3） , ， ；
1
（4）椭圆通经长=
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·江苏·高二）P是椭圆 上一点， ， 是该椭圆的两个焦点，且 ，则
（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】A
解：对椭圆方程 变形得 ，易知椭圆长半轴的长为4，
由椭圆的定义可得 ,
又 ，故 .
故选：A.
2．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知椭圆C： 的左右焦点分别为F、F，过左焦点F，作直
1 2 1
线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF 的周长为（ ）
2
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
由题意椭圆的长轴为 ，由椭圆定义知
∴
故选：C3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知椭圆 ，则该椭圆的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为椭圆 的方程为 ，即 ，
故 ，又 ，故 .
故选：C.
4．（2022·上海静安·二模）已知椭圆 的一个焦点坐标为 ，则 __________.
【答案】
由焦点坐标 知焦点在 轴上，且 ，解得 .
故答案为： .
5．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知椭圆 的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且 垂直
于x轴，则 周长的最大值为___________.
【答案】12
如图.设 与x轴相交于点C，椭圆 右焦点为 ，
连接 ，
所以 周长为
故 的周长的最大值为12，
故答案为：12.
第三部分：典 型 例 题 剖 析题型一：椭圆定义的应用
角度1：利用椭圆定义求轨迹方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习） 中， 为动点， ， 且满足 ，
则 点的轨迹方程为______．
【答案】 .
根据正弦定理，由 ，
所以点A点的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，不包括两点 ，
由 ，
所以A点的轨迹方程为 ，
故答案为： .
例题2．（2022·全国·高二专题练习）方程 化简的结果是___________．
【答案】
解：∵ ，
故令 ， ，
∴ ，
∴方程表示的曲线是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆，
即 ， ， ，
∴方程为 .
故答案为： .
例题3．（2022·河北·深州长江中学高二期末）已知 ， 是圆 上一动点，线段
的垂直平分线交 于 ，则动点 的轨迹方程为______________．
【答案】
如图所示，圆 的圆心坐标为 ，半径 ，因为 是线段 的垂直平分线上的点，所以 ，则 ，
根据椭圆的定义可知，点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，
其中 ， ，则有 ，
故点P的轨迹方程为 ．
故答案为： ．
例题4．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知两圆
，动圆 在圆 内部且和圆 相内切．和圆 相外切，则动圆
圆心 的轨迹方程为_________．
【答案】
圆 ，
圆心 ，圆 ，圆心 ，
动圆 设圆心 ，半径为r，动圆M在圆 内部，且动圆M与圆 相内切，与圆 相外切，
所以 ，
①＋②可得 ，又 ，
所以 ，
则动点M满足椭圆定义， ，
焦点 ，
所以椭圆方程为 ．故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·广东·广州市第六十五中学高二期中）已知定圆 ，动圆
C满足与 外切且与 内切，则动圆圆心C的轨迹方程为__________.
【答案】
由圆 ： 可得圆心 ，半径 ，
由圆 ： 可得圆心 ，半径 ，
设圆 的半径为 ，
因为动圆 同时与圆 外切和圆 内切，
所以 ， ，
所以 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点， 的椭圆，
所以 ， ， ，
所以动圆的圆心 的轨迹方程为： ，
故答案为： .
2．（2022·安徽·六安一中高二期中）已知圆 ： 和圆 ： ，动圆 同时
与圆 外切和圆 内切，则动圆的圆心 的轨迹方程为________．
【答案】
由圆 ： 可得圆心 ，半径 ，
由圆 ： 可得圆心 ，半径 ，
设圆 的半径为 ，
因为动圆 同时与圆 外切和圆 内切，
所以 ， ，
所以 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点， 的椭圆，
所以 ， ， ，所以动圆的圆心 的轨迹方程为： ，
故答案为： .
3．（2022·浙江·金华市江南中学高二期中）已知点 是圆 ： 上动点， .若线段
的中垂线交 于点 ，则点 的轨迹方程为____________.
【答案】
如图所示，圆 ： ，可得圆心 ，半径 ，
因为线段 的中垂线交 于点 ，可得 ，
所以 ，
根据椭圆的定义，可得N是以 , 为焦点的椭圆，且 ，
即 ，可得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
4．（2022·全国·高二课时练习）已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为 ，（1，
0），则顶点A的轨迹方程为________．
【答案】
设 ， ，
所以 ，即点 是以顶点 为焦点的椭圆， ， ，
则 ，所以椭圆方程 ，因为三点 不能共线，所以 ，
则顶点A的轨迹方程为 .
故答案为：
角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题
典型例题
例题1．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，
且 .则 的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】B
解：由椭圆 的方程可得 ，
所以 ，得
且 ， ，
在 中，由余弦定理可得
，
而 ，所以， ，
又因为， ，所以 ，
所以，
故选：B
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，点 为椭圆上动点，则
的值是______； 的取值范围是______．
【答案】
对椭圆 ，其 ，焦点坐标分别为 ，由椭圆定义可得： ；
设点 的坐标为 ，则 ，且 ，
故 ，
又 ，故 ，即 的取值范围为： .
故答案为： ； .
例题3．（2022·青海青海·高二期末（文））已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆于 、
两点， 是椭圆的右焦点，则 的周长的最小值为______．
【答案】10
解：椭圆的方程为 ，∴ ， ， ，
连接 ， ，则由椭圆的中心对称性可得
的周长 ，
当AB位于短轴的端点时， 取最小值，最小值为 ，
．
故答案为：10
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C解：由题意，椭圆方程 ，可得 ，
所以焦点 ，
又由椭圆的定义，可得 ，因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ,
所以 ，解得 ，
又由 ，所以 .
故选:C．
2．(多选）（2022·广东·仲元中学高二期中）双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P在C
上.若 是直角三角形，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】AC
解：由双曲线 可得 .根据双曲线的对称性只需考虑 或
.
当 时，将 代入 可得 ，所以 的面积为 .
当 时，由双曲线的定义可知，
，由勾股定理可得 .
因为 ，
所以 ，此时 的面积为
综上所述， 的面积为4或 .
故选： .
3．（2022·重庆八中模拟预测）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，直线 与椭
圆交于P，Q两点，则 的周长为______．
【答案】
解：椭圆 ，所以 ，即 、 ，直线 过左焦点 ，所以 ， ， ，
所以 ；
故答案为：
4（2022·全国·高三专题练习）已知 分别为椭圆 的左右焦点，倾斜角为 的直线 经过 ，
且与椭圆交于 两点，则△ 的周长为___．
【答案】20
由椭圆方程知： ，而 ，
又 ABF 的周长是 .
2
故△答案为：20．
7．（2022·全国·高二专题练习）已知点 在焦点为 、 的椭圆 上，若 ，则
的值为______．
【答案】
在椭圆 中， ， ，则 ， ，
由椭圆的定义可得 ，
因为 ，则 ，
所以， .
故答案为： .
角度3：利用椭圆定义求最值
典型例题
例题1．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆 上任意一
点，点 坐标为 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
【答案】B
因为椭圆 ，
所以 ， ，
则椭圆的右焦点为 ，由椭圆的定义得： ，
当点P在点 处，取等号，
所以 的最大值为5，
故选：B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点 ，且 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上
任意一点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
，
设椭圆的右焦点为 ，
，
当 在 的正上方时，等号成立.
故选：D
例题3．（2022·全国·高二专题练习）设 是椭圆 上一点， 、 是椭圆的两个焦点，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
在椭圆 中， ， ， ，
由椭圆定义可得 ， ，由余弦定理可得
，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：A.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知 是椭圆 的左焦点，P是此椭圆上的动点， 是
一定点，则 的最大值为______．
【答案】 ##
根据题意椭圆方程为 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
故 ，
如图，根据椭圆定义可得：
，
当 点运动到 的延长线和椭圆交点 时，
取得最大，
此时 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：2．（2022·全国·高二专题练习）已知点 ， 是椭圆 内的两个点，M是椭圆上的动
点，则 的最大值为______．
【答案】 ##
依题意，椭圆方程为 ，所以 ，
所以 是椭圆的右焦点，设左焦点为 ，
根据椭圆的定义可知 ，
，
所以 的最大值为 .
故答案为：
题型二：椭圆的标准方程
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）已知定点 、 和动点 ．
(1)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：动点 的轨迹及其方程．
条件①：
条件②：
(2) ，求：动点 的轨迹及其方程．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
(1)选择条件①： ，因为 ，
故点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，设其方程为 ，
则 ， ，故其方程为： .
即选择条件①，点 的轨迹是椭圆，其方程为 ；
选择条件②： ，因为 ，
故点 的轨迹是线段 ，其方程为 .
(2)因为 ，
当 时，此时动点 不存在，没有轨迹和方程；当 时，此时 ，
由（1）可知，此时动点 的轨迹是线段 ，其方程为 ；
当 时，此时 ，
此时点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，其方程为 .
综上所述：当 时，动点 没有轨迹和方程；
当 时，动点 的轨迹是线段 ，其方程为 ；
当 时，动点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，其方程为 .
例题2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））（1）求焦点在 轴上，长轴长为6，焦
距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率 ，焦点在 轴，且经过点 的双曲线标准方程.
【答案】（1） ；（2） .
（1）设椭圆的标准方程为 .
由题意知： ； .
.
所以椭圆的标准方程为 .
（2）设双曲线的标准方程为 .则
所以双曲线的标准方程为 .
例题3．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（理））（1）求焦点在 轴上，长轴长为6，焦
距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率 ，经过点 的双曲线标准方程．
【答案】（1） ；（2）（1）由题意得 ，故 ，椭圆标准方程为
（2）①若双曲线焦点在x轴上，设其方程为 ，由题意 ，而
故 ，由 解得 ，故双曲线标准方程为
②若双曲线焦点在 轴上，设其方程为 ，同理 ，此时将 代入后方程无解
综上，双曲线标准方程为
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) ， ；
(2)经过点 ，且与椭圆 有共同的焦点；
(3)经过 ， 两点．
【答案】(1)答案见解析(2) (3)
(1)解：当 ， 时， ，
若焦点在 轴上，则标准方程为 ；
若焦点在 轴上，则标准方程为 ．
(2)解：椭圆 ，即 ， ，
故它的焦点为 ．
设所求椭圆的方程为 ， ，
把点 代入， ,求得 ，或 （舍去），
故要求的椭圆的方程为 ．
(3)解： 椭圆经过 ， 两点，设所求椭圆的方程为 ，把点 、 代入得 ，解得 ，
所求椭圆的方程为 ．
2．（2022·江苏·高二）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；
(2)经过点 ， ；
(3)一个焦点为 ，一个顶点为 ；
(4)一个焦点为 ，长轴长为4；
(5)一个焦点为 ，离心率为 ；
(6)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2.
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；
(5) ；(6) 或 .
(1)由题设， ，又焦点在y轴上，故椭圆标准方程为 ；
(2)设椭圆方程为 ，又 ， 在椭圆上，
所以 ，即 ，故椭圆标准方程为 .
(3)由题设， ，则 ，又焦点为
所以椭圆标准方程为 .
(4)由题设， ，则 ，又焦点为
所以椭圆标准方程为 .
(5)由题设， ，则 ， ，又焦点为所以椭圆标准方程为 .
(6)由题设， ，则 ，故 ，
所以椭圆标准方程为 或 .
题型三：椭圆的简单几何性质
角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）椭圆 的长轴长为______．
【答案】
依题意 是椭圆方程，即 ，
∴ ，
， ，
，长轴的长为 = ；
故答案为： .
例题2．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆 与椭圆 焦点相同，则实数
___________.
【答案】
由 得： ，则 且焦点在 轴上
由 得： ，
与 共焦点， ；
，解得： .故答案为： .
例题3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆 ，点 ， 为椭
圆上一动点，则 的最大值为____.
【答案】
设点 ，则 ，可得 ，其中 ，
，
当且仅当 时， 取得最大值 .
故答案为： .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，则椭圆上任意一点 到椭圆中心
的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
不妨设椭圆的焦点在 轴上，则该椭圆的标准方程为 ，
设点 ，则 ，且有 ，
所以， .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知曲线 的焦距为8，则 ___________.
【答案】25或
解：由题意知半焦距 ，
当 时，则曲线C为椭圆，又 ，
所以 ；
当 时，曲线C为双曲线，
所以 ，
所以 .
故a的值为25或 .
故答案为：25或3．（2022·江苏·高二课时练习）求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，
顶点坐标为 ，焦点坐标为 ；
(2)长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，
顶点坐标为 ，焦点坐标为 ；
(3)长轴长为10，短轴长为8，离心率为 ，
顶点坐标为 ，焦点坐标为 ；
(4)长轴长为8，短轴长为4，离心率为 ，
顶点坐标为 ，焦点坐标为 .
(1)由椭圆方程知， ，
所以椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，
顶点坐标为 ，焦点坐标为 ；
(2)由椭圆方程知， ，
所以椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，
顶点坐标为 ，焦点坐标为 ；
(3)椭圆方程可变形为 ，所以 ，
所以椭圆的长轴长为10，短轴长为8，离心率为 ，
顶点坐标为 ，焦点坐标为 ；
(4)椭圆方程可变形为 ，所以 ，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为 ，
顶点坐标为 ，焦点坐标为 .
角度2：求椭圆的离心率
典型例题
例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知椭圆 的离心率为 ，则椭圆
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，解得 ，
则椭圆 的离心率 .
故选：C.
例题2．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知 是椭圆 的两个焦点， 为
上一点，且 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
在椭圆 中，由椭圆的定义可得 ，
因为 ，所以 ，在 中， ，
由余弦定理得 ，
即 所以 所以 的离心率 .
故选：C
例题3．（2022·全国·高二专题练习）椭圆 的两焦点为 ，若椭圆 上存在点使 为等腰直角三角形，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
当 时， 为等腰直角三角形，则点 位于椭圆的上下顶点，则满足： ,
当 或者 时，此时 ， 为等腰直角三角形，则满足 ,
故 ，
故选：C
例题4．（2022·重庆一中高一期末）已知 ， 为椭圆 的左，右焦点，点 在 上， 为等腰三
角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
解：依题意设椭圆方程为 ，
①若 为等腰三角形 的顶角，则 在椭圆的上（下）顶点，如下图所示：
则 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ；
②若 （或 ）为等腰三角形 的顶角，不妨取 为顶角，如下图所示：即 ， ，又 ，
所以 ，
由余弦定理 ，
即 ，
即 ，
所以 ，解得 或 （舍去）
综上可得 或 .
故选：D．
例题5．（2022·广东汕尾·高二期末）设 ， 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上一点， ，
， ，则椭圆 的离心率 _________.
【答案】 或
因为 ，且 ，故 为锐角，所以 ，由余弦
定理 ，即 ，所以 ，故 或
，故 或故答案为： 或
同类题型归类练
1．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知椭圆 与圆 ，
过椭圆 的顶点作圆 的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可知，若两切线垂直，则过椭圆的左右顶点作圆的切线.
两切线垂直，只需要 ,所以
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线
与 相交于 两点（ 在第一象限）.若 四点共圆，且直线 的倾斜角为 ，
则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根据题意四边形 为平行四边形，
又由 四点共圆，可得平行四边形 为矩形，即
又直线 的倾斜角为 ，则有
则 ， ，
则 ，即则椭圆 的离心率
故选：B
3．（2022·广东汕头·二模）已知椭圆C的左、右焦点分别为 ， ，直线AB过 与该椭圆交于A，B两
点，当 为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设正三角形 的边长为 ，
设椭圆的标准方程为： ，设左、右焦点分别为 ，
设 ，则有 ，
由椭圆的定义可知： ，
，解得： ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
故选：B
4．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点
的直线l交椭圆C于A，B两点，若 ， ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 ，由椭圆定义知 ，
又 ，所以 ，再由椭圆定义 ，
因为 ，所以 ，
所以由余弦定理可得 ，
即 ，
化简可得 ，即 ，解得 或 （舍去）.
故选：D
5．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆 的右焦点为F，直线 与C交于
A，B两点，若以 为直径的圆经过点F，则C的离心率为___________.
【答案】
设 ，将 代入椭圆方程得 ，不妨设 ， ，
因为以 为直径的圆经过点F，所
即 ，整理得 ，
∵ ，所以 ，得 .
故答案为： ．
6．（2022·河北张家口·三模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，AB是椭圆过点
的弦，点A关于原点O的对称点为 ， ，且 ，则椭圆的离心率为___________.
【答案】 ##
连接 ， ， ，设 ，
因为 ，所以四边形 为平行四边形，
而 ，故四边形 为矩形，故 .
又 ，由椭圆的定义可得 ， ，
，即 ，
解得 ，∴ 是短轴的端点，且 ， ， .
故答案为： .7．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知 分别为椭圆 的左，右焦点，直线
与椭圆C的一个交点为M，若 ，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
解：由题可知， 为直角三角形， ，直线 过原点 ， ，故
，
又 ,则 ,
在 中， ,即 ，
又 ，解得： 或 （舍去）.
故答案为： .
角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
典型例题
例题1．（2022·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））已知两定点 和 ，动点 在
直线 上移动，椭圆 以 ， 为焦点且经过点 ，则椭圆 的短轴的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根据题意，设点 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ，即 .
根据椭圆的定义可知， ，
当 、 、 三点共线时，长轴长取最小值 ，即 ，
由 且 ，得 ，
因此椭圆C的短轴的最小值为 .
故选：B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是椭圆 上的任意一点，过点 作圆 ：
的切线，设其中一个切点为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：设 ，
则 ，
，
，
因为 ，
所以 ，即 ，
故选：B
例题3．（2022·全国·高三开学考试（文））已知 是椭圆 上的一个动点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B解：因为P ( m ， n) 是椭圆 上的一个动点，
所以 ，
且 ，则 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 .
故选：B.
例题4．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二开学考试）已知焦点在 轴上的椭圆 ，且 ，2，
成等差数列， 分别是椭圆的左焦点和右顶点， 是椭圆上任意一点，则 的最大值为
（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
解：焦点在 轴上的椭圆 ．所以 ，
又 ，2， ，成等差数列，所以 ，联立 解得 ，所以椭圆方程为 ，左
焦点 ，右顶点 ，
设 ，则 ，所以 ，
，
，
时 ．
故选：C．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
设点 ，则 ，得 ，
圆 的圆心 ，半径为 ，
则
，
令 ，对称轴为 ，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ，
故选：D
2．（2022·江苏徐州·高二期末）已知椭圆 的右顶点为 ， 为 上一点，则 的最大值为
______.
【答案】
椭圆 的右顶点为 ，设点 ，则 ，即 ，且 ，
于是得 ，
因 ，则当 时， ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习（文））设点P是椭圆 的短轴的一个上端点，Q是椭圆上的任意
一个动点，则 长的最大值是________．【答案】
由已知可得 ，设 是椭圆上的任意一个动点， ，
则 ，
所以当 时， 取得最大值为 .
故答案为： .
4．（2022·全国·高二课时练习）若经过点 的直线l与椭圆 有A，B两个交点（其中点A在
x轴上方），求 的取值范围．
【答案】 .
设 ，则 ，又点A在x轴上方，
∴ ， ，又 ，
∴ ，
由 ，可得 ，
∴ ，即 的取值范围为 .
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于
y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解： ，
设 ，则 ，则 ，
故 ，
又 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 .
故选：A.
2．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、
右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
3．（2021·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
由题， ，则 ，所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
4．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线
和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是___________，
椭圆的离心率是___________.
【答案】
如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
，
所以 , 由 ，所以 ， ，
于是 ，即 ，所以 ．
故答案为： ； ．
5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心
率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是________________．
【答案】13
∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.
