文档内容
第 07 讲 抛物线 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：抛物线的定义及其应用
题型二：抛物线的标准方程
题型三：抛物线的简单几何性质
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
角度2：利用函数思想求最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （其中定点 不在定直线 上）的距离相等的点的
轨迹叫做抛物线，定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式： ( 为点 到准线 的距离).
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质
y 2 =2px （ y 2 =−2px （ x 2 =2py x2 =−2py （
标准方程
） ） （ ） ）
图形
，
范围 ， ， ，对称轴 轴 轴 轴 轴
p p p p
焦点坐标 F( ,0) F(− ,0) F(0, ) F(0,− )
2 2 2 2
p p
p p
准线方程
x=− x= y=− y=
2 2 2 2
顶点坐标
离心率
通径长
知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（ 为焦准距）
（1）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（2）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（3）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（4）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 .
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线 的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（2022·北京平谷·高二期末）抛物线 的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线上， ，
则点 的横坐标为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
4．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））抛物线 的准线方程是 ，则实数a
的值（ ）
A． B． C．8 D．-85．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线 ，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，
，其准线方程为___________．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：抛物线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·上海普陀·二模）已知点 ，直线 ，若动点 到 的距离等于 ，则
点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
例题2．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系 中，动点 到直线 的距离比它到定
点 的距离小1，则 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）动点 到y轴的距离比它到定点 的距离小2，求动点
的轨迹方程．
同类题型归类练
1．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，
则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·高二）与点 和直线 的距离相等的点的轨迹方程是______．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知动点 的坐标满足 ，则动点 的轨迹方
程为_____________．
题型二：抛物线的标准方程
典型例题例题1．（2022·云南曲靖·高二期末）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ， ，交
其准线于点 ，若 ，则此抛物线方程为__________．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的方程.
(1)焦点为 ，准线方程为 ；
(2)顶点在原点，准线方程为 ；
(3)顶点在原点，以 轴为对称轴，过点 ．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知点 到点 的距离比点 到直线 的距离小 ，求点 的
轨迹方程．
2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程、顶点坐标和焦点坐标.
(1)准线方程为 ；
(2)准线方程为 ；
(3)准线方程为 ．
题型三：抛物线的简单几何性质
典型例题
例题1．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知抛物线 ： ，则过抛物线的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（ ）
A．4037 B．4044 C．2019 D．2022
例题2．（多选）（2022·湖南永州·高二期末）已知抛物线 的焦点 ，点 为 上任意一点，
若点 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为2
B．抛物线 关于 轴对称
C．过点 与抛物线 有一个公共点的直线有且只有一条
D．点 到点 的距离与到焦点 距离之和的最小值为4
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）点 到抛物线 的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
2．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，则实数 的
值为
A． B． C． D．
3．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线 ，以 为圆心，半
径为5的圆与抛物线 交于 两点，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
典型例题例题1．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知 ， 为抛物线 的焦
点，点 在抛物线上移动，当 取最小值时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·广西南宁·高二期末（理））已知抛物线 焦点的坐标为 ， 为抛物线上的任
意一点， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知拋物线 的焦点为 ，定点 ，设 为拋物线上的动点，
的最小值为__________，此时点 坐标为__________．
2．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知M为抛物线 上的动点，F为抛物线的焦点， ，则
的最小值为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 在抛物线 上，点 在圆 上，则 长度的
最小值为___________.
4．（2022·重庆长寿·高二期末）已知P为抛物线 上任意一点，F为抛物线的焦点， 为平面
内一定点，则 的最小值为__________．
5．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点
的距离与 到 轴的距离之和的最小值为___________．
6．（2022·江苏·高二）如图所示，已知P为抛物线 上的一个动点，点 ，F为抛物
线C的焦点，若 的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.
角度2：利用函数思想求最值
典型例题例题1．（2022·四川泸州·高二期末（文））动点 在抛物线 上，则点 到点 的距离的最小
值为（ ）
A． B． C． D．12
例题2．（2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）已知抛物线 ，圆 ．若点 ，
分别在 ， 上运动，且设点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点坐标为 ，则抛物线上的动点
到点 的距离 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
同类题型归类练
1．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知圆 ，点 在抛物线 上运动，过
点 引直线 ， 与圆 相切，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．8
2．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知F是抛物线 的焦点，A为抛物线上的动点，点 ，
则当 取最大值时， 的值为___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线 上一点 到焦点的距离为6，P、Q分别为抛
物线与圆 上的动点，则 的最小值为______．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若
，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2021·天津·高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，
抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心
率为（ ）
A． B． C．2 D．33．（2021·全国·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．（2021·全国·高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点，
与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.
5．（2021·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴与于点 .若
，则点 的横坐标为_______； 的面积为_______．
