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第 10 讲 拓展五：四边形问题 (精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：求四边形中边（或角）
高频考点二：求四边形面积
高频考点三：求四边形面积最值
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：求四边形中边（或角）
1．（2022·福建·莆田一中高一期中）如图所示，四边形 中， ， ，
，则 __________， __________.
【答案】 5 8
在 中， ， ， ，
由正弦定理得 ，所以 ，解得 ；
因为 ， ，所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得
,所以 .
故答案为：5；8
2．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，四边形 中， 且 ，则
四边形 面积取最大值时， ___________.
【答案】2−2##-2+2
设 ，则 ，
因为 且 ，所以 ，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
所以四边形 面积 ，
令 ，则 ，
，
，
当 时， ，函数在 上单调递增，所以 ，
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数取得最大值为 ，因为 ，所以四边形 面积的最大值为 ，
此时 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
3．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，四边形 是由等腰直角三角形 以及直角三角形 拼
接而成，其中 ，若 ，则 到 的距离为__________．
【答案】
解：因为 ，解得 或 （舍去），
由 ，解得 ，
因为 是等腰直角三角形，所以 ，故 ， ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
故答案为： .
4．（2022·河北·模拟预测）从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下
面的问题中，并作答．问题：如图，在平面四边形 中，已知 ，且__________．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求 的长．
【答案】(1) (2)
(1)选①
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
解得 ．
由 ，得 ．
选②
由 ，得 ，
所以 ，解得 ．
由 ，得 ．
(2)由（1）知 ，又 ，
所以 ，从而 ，
所以 ，
由 ，得 ．
5．（2022·四川绵阳·高一期中）在平面四边形 中， ， ， ．(1)若 的面积为 ，求 ；
(2)记 ，若 ， ，求 ．
【答案】(1) (2)
(1)解： ，解得 ，
由余弦定理得 ，因此， .
(2)
解：在 中， ，在 中， ，
由正弦定理得 ，即 ，
所以， ，即 ，故 .
6．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面四边形 中， ， ， .
(1)当 ， 时，求 的面积；
(2)当 ， 时，求 .
【答案】(1) ；(2) .
(1)当 时，在 中，由余弦定理得 ，即 ，解得 ， ，
因为 ，则 ，又 ，
所以 的面积是 .
(2)在 中，由正弦定理得 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
则 ，整理得 ，而 ， 为
锐角，
所以 .
7．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且
，作 ，使得如图所示的四边形ABCD满足 ， ．
(1)求B；
(2)求BC的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)解：由 ，
得 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
(2)设 ，则 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
，
，
，
因为 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
当 时，即 ，可得 ，
所以BC的取值范围是 ．
8．（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）已知平面四边形 满足 ， ，
， .设 ， .(1)当 时，求四边形 的面积；
(2)求 的值（用 表示）；
(3)若 ，求 关于 的函数表达式，并求出 的最小值.
【答案】(1) (2) (3)
(1)解：
又 又
∴ 为正三角形，
在 中，∵
故四边形ABCD的面积
=
(2)
又
在 中，
在 中，
(3)在 中，
则
∴当 时， .
9．（2022·江苏·海安市曲塘中学高一期中）在平面四边形 中， ， ，
， ， .(1)求证： ；
(2)求 的长.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)由题意可知，因为 ， ，
所以 ，
由四边形 的内角和定理，得 ，
所以 ，
所以 .
.
(2)在 中，由正弦定理，得
，即 ，
在 中，由正弦定理，得
，即， ，
由①②得， ，即 ，
由（1）知， ，即 ，
解得 ，又 ，所以 ，
在 中， .
10．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）如图，四边形 的内角 ， ，
， ，且 ．
(1)求 ；(2)若点 是线段 上的一点， ，求 的值．
【答案】(1) (2)
(1)解：设 ，
在 中据余弦定理，得 ，即 ，①
又在 中据余弦定理，得 ，即 ，②
因为 ，则 ，
联立①②可得 ， ，因为 ，所以 ．
(2)解：在 中，由正弦定理知， ，
所以 ，
且 ，故 ，
在直角三角形 中，由勾股定理知， ，
此时 ．
高频考点二：求四边形面积
1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））如图，在四边形 中， .
(1)求 的长；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
(1)解：因为 ，所以
由余弦定理得： ，
所以 .
(2)由正弦定理得 ，
所以 ，
故 ， ，
则 为锐角， ，
所以
，
所以 的面积为 .
2．（2022·山西大附中高一期中）（1）定理默写：请用数学符号语言表达余弦定理（写出三个式子）；
（2）定理证明：请用向量方法证明余弦定理（只需证明你写出的其中一个式子即可）；
（3）定理应用：如图在四边形ABCD中， ， ， ， ， .
①求 ；
②求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）见解析（2）见解析；（3）① ② .
（1）余弦定理为：a2＝b2+c2﹣2bccosA．
， .
（2）证明： .证明：如图：设 ，
由三角形法则有 ，所以
即 .
（3）①在 中，由余弦定理知： ，
∴ ，由正弦定理知 ，
因为 ，所以 ，
∴ ，∴ ．
又 ，∴ ．
②由（1）知 ， ，∴ ，∴ ，
∴四边形 的面积为： ．
3．（2022·重庆一中高三阶段练习）在① ，② ，③ 三个
条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在 中，角 的对边分别为 ，且
_______，作 ，连接 围成梯形 中 ， ， ．
(1)求角 的大小；(2)求四边形 的面积
【答案】(1) (2)
(1)若选条件①，由正弦定理得： ，
即 ，
，
， ， ，又 ， .
若选条件②，由正弦定理得： ，即 ，
，又 ， .
若选条件③， ， ，
，又 ， .
(2)在 中，由余弦定理得： ， ，
，
，又 ， ，
， ，
；
在 中，由正弦定理得： ，
.
4．（2022·湖南·长郡中学高一期中）如图，四边形 中， ， ， ， ，
，A为锐角.(1)求 ；
(2)求四边形 的面积.
【答案】(1) (2)
(1)连接 ，因为 ，A为锐角，所以 ，
在 中，由余弦定理得， ，
所以 .
(2)在 中，因为 ，
所以 为直角三角形， ，
的面积为 ，
的面积为 ，
所以四边形 的面积 .
5．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））如图在四边形 中， ， ，
， ， ．(1)求 ；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1) (2)
(1)在 中，由余弦定理知： ，
∴ ，由正弦定理知 ，
因为 ，所以 ，
∴ ，∴ ．
又 ，∴ ．
(2)由（1）知 ， ，∴ ，∴ ，
∴四边形 的面积为： ．
高频考点三：求四边形面积最值
1．（2022·江苏·盐城中学高一期中）在四边形ABCD中， ， ， ， ，则四
边形ABCD面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
在三角形 ，由余弦定理得： ，
所以 ，在三角形 中， ， ，所以三角形 为等边三角形，， ，
.
故选：B．
2．（2022·福建·三明一中高一期中）如图，平面四边形ABCD中， ，
则四边形ABCD的面积的最大值为___________
【答案】
解：因为 ， ，所以 为等腰直角三角形，
所以 ，
设 ， ，则由余弦定理 ，
即 ，
所以
所以当 ，即 时 ；
故答案为：
3．（2022·云南保山·高一期中）如图，在平面四边形 中， .(1)证明： ；
(2)记 与 的面积分别为 和 ，求 的最大值.
【答案】(1)证明见解析(2)14
(1)证明：在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
∴ ，
所以 ，
即 .
(2) ，
，
则
由（1）知： ，
代入上式得 ，
，
，
∴当 时， 取到最大值14.
4．（2022·河北唐山·三模）如图，在四边形 中， ．
(1)证明： 为直角三角形；
(2)若 ，求四边形 面积S的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)12
(1)∵ ，由 与余弦定理∴ ，
整理得， ，
∴ ．
∴ 为直角三角形．
(2)∵ ，
∴ ．
由 ，得 ．
．（当且仅当 时
取等号）
所以四边形 面积S的最大值为12．
5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，设 的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若
，且 ，点D是 外一点， ．
(1)求角B的大小；
(2)求四边形 面积的最大值．
【答案】(1) (2)
(1)因为 ，由 得 或 （舍）．故 ，由正弦定理得，
所以 ，所以
(2)设 ，则
在 中，由①知 为正三角形，故 ，
所以 ，
因为 ，故 时， ．
6．（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 ，△ABC的
面积为S，且 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．
【答案】(1) (2)
(1)解：在 中，由 ，
有 ，
则 ，
即 ，∵ ，
所以 ．
(2)解：在 中， ，
∴ ，
又 ，则 为等腰直角三角形，
，
又 ，
∴ ，当 时，四边形 的面积最大值，最大值为 ．
7．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）如图，在平面四边形 中， ， ， ，
.
(1)若 ，求 的值；
(2)求四边形 面积的最大值.
【答案】(1) (2)
(1)在 中，由余弦定理可得
，
∴ ，即 ，
∴ ，
又 ，∴ .
∵ ， ，
∴ ，
在 中，由正弦定理可得 ，即 ，
∴ .
(2)由余弦定理可得：
，
，
∴ ，
∴四边形 的面积.
又∵ ，
当 ，即 时，四边形 的面积取得最大值 .
8．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将
它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.
（1）求出所有可能的三角形的面积；
（2）如图，已知平面凸四边形 中， ， ， ， .
①求 满足的数量关系；
②求四边形 面积的最大值，并指出面积最大时 的值.
【答案】（1） ， ；（2）① ；② ， .
（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有符合情况的可能三角形为 、
当三角形三边为 时，由余弦定理知等腰三角形顶角 ， ，
当三角形三边为 时，由余弦定理知等腰三角形顶角 ， ，
（2）①连接 ，由余弦定理知
∴ ，∴ ∴②
∴
又∵ ，∴ ，
∴
故
当且仅当 ， 取得最大值，
此时 ， ，∴ ， ，
第二部分：高考真题感悟
1．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得
AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________．
【答案】 或0
∵ 三点共线，
∴可设 ，
∵ ，∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ , , ，
∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
故答案为：0或 .
2．（2015·全国·高考真题（理））如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的
取值范围是___________．
【答案】（ ， ）
如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得 ，即 ，解得 = ，平移AD ，当
D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
，即 ，解得BF= ，所以AB的取值范围为（ ，
）.
3．（2015·四川·高考真题（理））如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：
（2）若 求 的值.
【答案】（1）详见解析；（2） .
【详解】
（1） .
（2）由 ，得 .由（1），有
连结BD，
在 中，有 ，
在 中，有 ，
所以 ，
则 ，
于是 .
连结AC，同理可得
，
于是 .
所以
.
