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第 03 讲 空间直线、平面的平行 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·广西南宁·高一期末）在空间中，直线 ∥面 ，直线 平面 ，则（ ）
A．m与n平行 B．m与n平行或相交 C．m与n异面或相交 D．m与n平行或异面
【答案】D
直线 ∥面 ，直线 平面 ，可知，m与n平行或异面．
故选：D
2．（2022·全国·高一专题练习）在空间四边形 中， 分别在 上，且满足 ，则直
线 与平面 的位置关系是（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 与平面 相交 D．以上都有可能
【答案】A
∵
∴
又∵ ， .
∴ 平面 .
故选：A
3．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体 中， 、 分别为棱 、 上的点，在
平面 内且与平面 平行的直线（ ）
A．有一条 B．有二条
C．有无数条 D．不存在
【答案】C
设 平面 ，且 ，又 平面 ， 平面 ，平面 ，显然满足要求的直线l有无数条.
故选：C.
4．（2022·四川成都·高一期末（文））如图，在下列四个正方体中， ， 为正方体的两个顶点， ，
， 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
对A，如图，易得平面 平面 ，但平面 与 相交，故直线 与平面 不平行；
对B，如图， 为所在棱的中点，根据中位线的性质有 ，且 ， ，故平行四边
形 ，故 ，故 ，故直线 与平面 平行.
对C，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得 ，直线 与平面 平行；对D，根据中位线与平行四边形的性质，同理可得 ，直线 与平面 平行；
故选：A
5．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））如图，已知正方体 的棱长为2，则下列四
个结论中错误的是（ ）
A．直线 与 为异面直线 B． 平面
C．平面 平面 D．三棱锥 的体积为
【答案】D
根据异面直线的定义易知直线 与 为异面直线，A正确；
∵ 且 ，则 为平行四边形
∴
平面 ， 平面
∴ 平面 ，B正确；
同理可证： 平面
，平面 平面 ，C正确，D错误
故选：D．
6．（2022·全国·高一）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，
PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF 平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF AD，所以EF BC，直线BE
与直线CF是共面直线，故①不正确；
②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；
③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF AD，所以EF BC，因为EF 平面PBC，BC 平面PBC，
所以直线EF 平面PBC，故③正确；
④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.
所以正确结论的个数是2.故选：B
7．（2022·四川成都·高一期末）在底面为等边三角形的三棱柱 中，已知 平面ABC，
， ，D是棱 的中点，M是四边形 内的动点，若 平面ABD，则线段 长
度的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
取线段 的中点为 ，连接 ，
因为侧面 为矩形，D是棱 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ，因为 ，所以平面 平面 ，
因为M是四边形 内的动点， 平面ABD，
所以点 的轨迹是线段 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以线段 长度的最小值为 .
故选：D
8．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））如图，在棱长为1的正方体 中， 为棱 的中点，
为正方形 内一动点（含边界），若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
如图，取 中点 ， 中点 ，连接 ，
所以 ，正方体中，易得 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 为 中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 为正方形 内一动点（含边界），所以 在线段 上，
可得 ,
则当 在 中点时， 取得最小值为 ，
当 在 两端时， 取得最大值为 ，
所以 长度的取值范围是 .
故选：D.二、多选题
9．（2022·云南昆明·高二期末）如图，在正方体 中，E，F，G分别是棱 ， ，
的中点，则（ ）
A． 平面 B． 平面
C．点 在平面 内 D．点F在平面 内
【答案】BD
解：连接 、 ，在正方体 中， 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面
，
又 ，所以 ，所以 、 、 、 四点共面，即点F在平面 内，故B、D正确；
再连接 ，显然 不在平面 ，所以 与平面 不平行，故A错误；
由 平面 ，可知点 不在平面 内，故C错误；故选：BD
10．（2022·山东省实验中学模拟预测）在棱长为1的正方体 中，M是线段 上的动点，
则下列结论中正确的是（ ）
A．存在点M，使得 平面
B．存在点M，使得三棱锥 的体积是
C．存在点M，使得平面 交正方体的截面为等腰梯形
D．若 ，过点M做正方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为
【答案】AC
对于A：连接 ,如图示：
由正方体的几何特征可得 .又因为 面 , 面 ,所以 面 .
同理可证： 面 .
又 ，所以平面 平面 .令平面 ,则 //平面 ,所以存在点
M,使得 平面 .故A正确；
对于B： ,所以不存在点M,使得三棱锥 的体积
是 .故B错误；对于C：因为 //平面 ,所以平面 交平面 的交线与 平行.
如图示：取AB的中点E，取BB 的中点F，连接EF.因为 且 ，所以 且
1
.又 , ,
所以四边形 为等腰梯形.记平面 交直线 于M，则存在点M,使截面为等腰梯形.故C正确；
对于D：当且仅当M为截面圆的圆心时,截面圆的面积最小.由正方体的几何特征可得该正方体的外接球球
心为BD 的中点,且半径为 ，所以最小截面的半径 此时截面面积为
1
.故D错误.
故选：AC
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在正四棱柱 中， ， ， ， 分别是棱
， ， ， 的中点， 是 的中点，点 在四边形 及其内部运动，则 只需满足条
件______时，就有 平面 ．
（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）
【答案】点 在线段 上（答案不唯一）取 中点 ，连接 ，连接 ，如图，由已知得 ， 与 、 都平行且相等，因此
与 平行且相等，从而 是平行四边形， ，
分别是 中点，则 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
而 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因此只要 ，就有 平面 ．
故答案为：点 在线段 上（答案不唯一）．
12．（2022·北京·北师大实验中学高一阶段练习）如图所示，记几何体W是棱长为1的正方体
割去两个三棱锥 ， 后剩余的几何体．给出下列四个结论：
①几何体W的体积为 ；
②几何体W的表面积为 ；
③几何体W的顶点均在某个球面上，则该球的半径为 ；
④若几何体W被与平面 平行的平面 所截的截面多边形的每条边长都相等，则平面 与平面
的距离为 ．
其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④
解：依题意 ，所以 ，故①正确；
， ，
，
所以 ，故②错误；
几何体 的外接球即为正方体的外接球，正方体的外接球的直径恰为体对角线，
所以该球的半径为 ，故③正确；
如图，设截面 为平面 ，依题意平面 平面 ，所以 、 ，
所以 且 ，所以
又 ，即 ，即 ，解得 ，
所以 ，则 ，故平面 与平面 的距离为 ，即④正确；
故答案为：①③④
四、解答题
13．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知在三棱柱ABC-ABC 中，D是棱CC 的中点，试问在棱AB上
1 1 1 1
是否存在一点E，使得DE∥平面ABC ？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
1 1
【答案】存在点E，E为AB的中点.存在点E，当E为AB的中点时，DE∥平面ABC .
1 1
如图，取BB 的中点F，连结DF，则DF∥BC .
1 1 1
因为DF 平面ABC ，BC 平面ABC ，
1 1 1 1 1 1
所以DF∥平面ABC .
⊄ 1 1 ⊂
因为AB的中点为E，连结EF，ED，
所以EF∥AB.
1
因为EF 平面ABC ，AB 平面ABC ，
1 1 1 1 1
所以EF∥平面ABC .
⊄ 1 1 ⊂
因为DF∩EF＝F，EF，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC .
1 1⊂
因为DE 平面DEF，所以DE∥平面ABC .
1 1
⊂
14．（2022·河南许昌·高一期末（理））如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、
BC的中点，将 、 分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所
示几何体．
(1)求证： ；
(2)在线段MD上是否存在一点F，使 平面PQF，如果存在，求 的值，如果不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
(1)由图1可得 ， ，
∴ ， ∴ ，
∵ ， ，MD、 平面MDQ ，∴ 平面MDQ，
∵ 平面MDQ ，
∴ ．
(2)当 时， 平面PQF，
理由如下：
连BD交PQ于点O，连OF，由图1可得 ， ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面PQF．
B 能力提升
1．(多选）（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）正方体 的棱长为 分别为
的中点，则（ ）
A．直线 与直线 夹角
B．直线 与平面 平行
C．平面 截正方体所得的截面面积为
D．点 和点 到平面 的距离相等
【答案】ABC
A：由 ，则直线 与直线 夹角为 ，而 ， ， ，则 ，
所以 ，正确；
B：由平面的性质可得平面 截正方体所得的截面为 ，而 ，
由 面 ， 面 ，故 面 ，即 面 ，正确；
C：由B分析知：平面 截正方体所得的截面 ，且 分别为两底边，
而高为 ，故面积为 ，正确；
D：由B分析知： 到平面 的距离与 到平面 的距离相等，
由正方体的对称性， 和 到平面 的距离不相等，它们到面 的距离相等，错误.
故选：ABC
2．(多选）（2022·重庆·三模）如图，已知正方体 的棱长为2，M､N分别是 ､ 的中
点，平面 与棱 的交点为E，点F为线段 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A． B．三棱锥 体积为
C．若 则 平面 D．若 ，则直线 与 所成角的正弦值为
【答案】BCD
由题可知:点 满足 ,故 ,所以A错误.
,故B正确.
在边 上取一点 ,使 .故 平面 平面 , 平面 ,所
以 平面 ,故C正确. (如图一)
取 的中点 , 为直线 与 所成角,(如图二)
,故D正确.
故选:BCD
3．（2022·江苏淮安·高一期末）在正四面体 中，点E，F分别在棱 ， 上，满足 ，
， 面 ，则棱 长为______，以点A为球心， 为半径作一个球，则该球球面与正四
面体 的表面相交所得到的曲线长度之和为______．
【答案】 3
因为 平面 ， 平面 ,平面 平面 ，所以 ,
由于四面体 每个面都是等边三角形，故 也为等边三角形，
所以 ;
球面与正四面体的四个面都相交，所得的交线分为两类：一类与三个侧面 的交线，与侧面
交线为弧 ,弧 在过球心的大圆上，由于 ,所以弧 的长度为： ,
与侧面 的交线与弧 一样长，
另一类交线是与底面 的交线，过 作 平面 , ,
所以 , ,故与底面 刚好相交于底面 各边的中点处，
形成的交线此时是底面 的内切圆，
内切圆半径为 ,故弧长为： ，
因此所有的交线长为
故答案为： 交线之和为
4．（2022·全国·高一专题练习）已知正方体 的棱长为2，点M，N分别是棱BC， 的中
点，则点 到平面AMN的距离是________；若动点P在正方形 （包括边界）内运动，且 平面
AMN，则线段 的长度范围是________.【答案】
设点 到平面AMN的距离是 ，
依题意得 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
则由 ，得 ，
所以 .
取 的中点E， 的中点F，连接 ， ，EF，
取EF中点O，连接 ，∵点M，N分别是棱长为2的正方体 中棱BC， 的中点，
∴ ， ，
∵ ， ，∴平面 平面 .
∵动点P在正方形 （包括边界）内运动，且 面AMN，
∴点P的轨迹是线段EF，
∵ ， ，∴ ，
∴当P与O重合时， 的长度取最小值 .
当P与E（或F）重合时， 的长度取最大值为 .
∴ 的长度范围为 .
故答案为： ； .
C 综合素养
1．（2022·河南驻马店·高一期末）如图，三棱锥 中， ， 均为等边三角形， ，
O为AB中点，点D在AC上，满足 ，且面 面ABC．(1)证明： 面POD；
(2)若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得 面POD，若存在，求出FC的长及EF到
面POD的距离；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)见解析
(1)由条件 、 为等边三角形， 为 的中点，
则 ， ， ，
由余弦定理得
从而在 中， ，
得 为直角三角形，且 ，
又面 面 ，面 面 ，且 ， 面 ,
则由面面垂直的性质定理可得 面
由 面 ，
因此由 ， ， ， 面 ，即 面POD.
(2)存在AC上的点F，使得 面
点E为PB中点，取 的中点 ，可得 ，再在面 内作 交 于点 ，该点 即
为满足题意的点（如图）．
下面证明面 面
由于 ， 面 ， 面 ，则 面 ，
， 面 ， 面 ，则 面 ，
面 ， 面 ， ，
则由面面平行的判定定理可得面 面 ， 面 ，因此 面POD
又由于 ，从而可得 ， ， ，
由（1）可知， 面 ，则 面 ， 即为面 与面 间的距离，也即 到面
的距离．
综上：存在 上的点 ，使得 面 ， ，到面 的距离为 ．
2．（2022·山东山东·高一期中）如图，在四棱锥 中， ， ，点F为棱CD的中
点，与E，F相异的动点P在棱EF上.
(1)当P为EF的中点时，证明： 平面ADE；
(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得 平面PBD？若存在，求 的值；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
(1)如图，设点 为棱 的中点，连接 ， ，
∴ , ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
(2)如图，延长 ， 相交于点 ，连接 ，则直线 为平面 与平面 的交线，连接 ，
交 于点 ，若 平面 ，由线面平行的性质可知 ，
设 ，
∵点 为棱 的中点， ， ，
∴ ，
∵ ， ， 三点共线，
∴ ，即 ，
所以当 时， ，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
∴存在满足条件的点 使得 平面 ，此时 .
