文档内容
第 05 讲 复数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：复数的概念
高频考点二：复数的几何意义
高频考点三：待定系数求复数
高频考点四：复数的四则运算
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 05 讲 复数（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、复数的概念
我们把形如 的数叫做复数,其中 叫做虚数单位,满足 .全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母 表示,即 ,其中的 与 分别叫做复数 的实部与虚
部.
2、复数相等
在复数集 中任取两个数 ， ，（ ），我们规定
.
3、复数的分类
对于复数 ( ),当且仅当 时,它是实数；当且仅当 时,它是实数0；当 时,
它叫做虚数；当 且 时,它叫做纯虚数.这样,复数 ( )可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数 复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量 的模叫做复数 )的模，记为 或
公式： ，其中
复数模的几何意义：复数 在复平面上对应的点 到原点的距离；
特别的， 时，复数 是一个实数，它的模就等于 ( 的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于 0的两
个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数 的共轭复数用 表示，即如果 ，则 .
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设 ， ，（ ）是任意两个复数，那么它们的和：显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：
的复数 叫做复数 减去复数 的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
（1）复数的三角形式
一般地，任何一个复数 都可以表示成 的形式.其中 是复数 的模； 是以
轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角.
叫做复数 的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来， 叫做复
数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：
“模非负，角相同，余弦前，加号连”
（2）复数的俯角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在 范围内的辐角 的值为辐角的主值.
通常记作 ，即 .
（3）复数代数形式和三角形式的互化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将
复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④写出复数的三角形式．
（4）三角形式下复数的相等
两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
9、复数三角形式的乘法设 ， 的三角形式分别是： ， ，则
简记为 ：模数相乘，幅角相加
10、复数三角形式的除法
设 ， ，且 ，
因为 ，
所以根据复数除法的定义，有 .
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
简记为 ：模数相除，幅角相减
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·全国·高一课时练习）对于复数 ，若 ，则z是实数；若 ，则z是纯虚
数( )
【答案】错误
当 且 时，z是纯虚数, 所以若 ，则z是纯虚数或者是非纯虚数，所以错误.故答案为：错误.
2．（2021·全国·高一课时练习） 的实部等于3，虚部等于4i( )
【答案】错误
的虚部是4.
故答案为;错误.
3．（2021·全国·高一课时练习）自然数是有理数，但不是复数( )
【答案】错误
自然数是复数，
故答案为：错误.
二、单选题
1．（2022·云南昆明·一模（文））复数z在复平面内对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D依题意 .
故选：D
2．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））复数 ，且z在复平面内对应的点在第二
象限，则实数m的值可以为（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】B
解：当z在复平面内对应的点在第二象限时，
则有 ，可得 ，结合选项可知，B正确．
故选：B．
3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）设 ，则在复平面内 对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
对应的点为 ，在第二象限.
故选：B
4．（2022·福建省长汀县第一中学高一阶段练习）已知 为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
.
故选：B
5．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）设i为虚数单位，复数 与 在复平面内分别对应向量
与 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】B
记 ， ，则 ， .
故选：B.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：复数的概念1．（2022·贵州毕节·模拟预测（理）） 是复数z的共轭复数，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设 ，则 ，
由 ，可得 ，
∴ ，即 ，
∴ .
故选：B.
2．（2022·河北·模拟预测）已知 是虚数单位，复数z满足 ，则z的实部为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
∵ ，
∴ ，
∴z的实部为0.
故选：B
3．（2022·安徽淮北·一模（文））若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为 B． 在复平面内对应的点在第四象限
C． D． 的共轭复数为
【答案】D
.
的虚部为 ，故A错误；
在复平面内对应的点在第一象限，故B错误；，故C错误；
的共轭复数为 ，故D正确.
故选：D.
4．（2022·江西鹰潭·一模（理））已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 的虚
部为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
依题意 ，
，
所以 的虚部为 .
故选：C
5．（2022·河南·高二阶段练习（文））设 ， 是复数，给出下列四个说法：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
其中所有正确说法的序号是______．
【答案】②③
对于①，若 ，则 ，则①错误；
对于②，若复数 ， 满足 ，则 ， 是实数，所以 ，则②正确；
对于③，取 ， ，其中a，b，c，d均为实数，因为 ，所以 ，所以
，则③正确;
对于④，取 ， ，可知④错误．
故答案为：②③
6．（2022·上海交大附中高二开学考试）以下四个关于复数的结论：①任意两个复数不能比大小；②
；③ ；④复数 且 ________.
【答案】④
解：对于①，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以①错误；
对于②当 则 ，故②错误；对于③令 ， ，则 ，但是 与 不能比较大小，故③错误；
对于④若复数 且 ，故④正确；
故答案为：④
高频考点二：复数的几何意义
1．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））复数 满足 ，则 的共轭复数在复平
面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
， ，
，
，则 对应的点为 ，位于第四象限.
故选：D.
2．（2022·河南开封·高二阶段练习（文））已知 为虚数单位，且 ，复数 满足 ，则复
数 对应点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，表示点 ，
故复数 的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆.
故选：C
3．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））如图所示，在复平面内，复数 对应的点为
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
依题意，得 ，
则 .
故选：A.
4．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，所以 ， ，所以
．
故选：A．
5．（2022·全国·模拟预测（文））在复平面xOy内，复数 ， 所对应的点分别为 ， ，给出下列四
个式子：① ；② ；③ ；④ ．其中恒成立的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
设 ， ，则 ， ，
对于①， ， ， ，故①错误；
对于②， ，
，
，
，故②正确；
对于③， ， ， ，故③正确；
对于④， ， ，
，
，
，故④错误．故正确的为：②③，共2个.
故选：B.
6．（2022·全国·模拟预测）已知点 ， ， ，复数 ， 在复平面内对应的向量分别是
， ，则复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：依题意知 ， ，于是 ，
故选：C.
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若复数z满足 （i为虚数单位），则复数z在复平面
内所对应的点构成的图形的面积为________．
【答案】
不妨设复数 ，则 ，即 ，
则 ，其表示以 为圆心且半径 的圆的内部以及圆上的点，
则这些点构成的图形的面积为 .
故答案为： .
8．（2022·全国·高三专题练习）设 ，若复数 在复平面对应的点位于实轴上，则
的取值范围为___________.
【答案】 ##
解： ，
则复数 在复平面对应的点为 ，
又因为复数 在复平面对应的点位于实轴上，
则点 在实轴上，所以 ，所以 ，
，
，当 时， ，此时 无意义；
当 时， 恒成立，此时 ，
综上得： 的取值范围为 .故答案为： .
高频考点三：待定系数求复数
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
设 ，则 ．由 得 ，则 ，所以 ，
，所以 ．
故选：B.
2．（2022·山西临汾·二模（理））设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：设 ， 为实数，则 ，
于是
故 ，所以 ，则 .
故选：D
3．（2022·广东江门·模拟预测）已知复数z的共轭复数是 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
设复数 ， ，则 ，因 ，即 ，
即 ，则 ，解得 ，因此， ，
所以 .
故选：B
4．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足 ， 为z的共轭复数，则 的最大值为
（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
【答案】C设 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
所以 所对应的点 的轨迹是以 为圆心 为半径的圆，
因为 为z的共轭复数，所以
即 ，
而 可看作该圆上的点 到原点的距离的平方，
所以 .
故选：C.
5．（2022·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足 ，复数z的共轭复数为 ，则 的最大值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
令 ， ，则 表示与 距离为1的点集，即 ，
此时， 表示圆 上点到原点距离，
所以 的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，
所以圆上点到原点的最大为2.
故选：B.
高频考点四：复数的四则运算
1．（2022·四川南充·二模（文））复数 ，则 （ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】C
由题意，
故
故选：C
2．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）i为虚数单位，复数z满足 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．C．z的虚部为－ D．z在复平面内对应的点在第三象限
【答案】D
由已知 ，所以 ，
，A错；
，C错；
的虚部是 ，C错；
对应点坐标为 ，在第三象限，D正确．
故选：D．
3．（2022·陕西·西安中学二模（文））若复数 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为
.
所以 ，故 的虚部为 .
故选：A
4．（2022·全国·模拟预测）已知 （i为虚数单位），则复数z在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
由已知条件 可得 ，解得 ，复数z在复平面内对应的
点为 ，在第四象限.
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知a， ，i是虚数单位.若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
因 ，a， ，则有 ，
所以 .
故选：B
6．（2022·重庆十八中高一阶段练习）设复数 ， 满足 ， ， ，则
________．
【答案】
解：因为 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
7．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是______．
① ； ②若 ，则 ；
③若 ，则 ； ④ ；
⑤ ，则 ； ⑥ ；
⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若 ，则z必为实数．
【答案】①⑤⑧
①设 ，则 ，
所以①正确
②设 ，
，但 与 不能比较大小
所以②不正确
③设 ， ，则
所以③不正确
④设 ，
则 ，
所以④不正确
⑤设 ，
则 ，
⑥当 ， 时， ，
所以⑥不正确
⑦如果两个复数是实数，差值也是实数，
所以⑦不正确
⑧设 （ ， ），则 ，
所以⑧正确
故答案为：①⑤⑧
8．（2022·上海·复旦附中高二期末）对任意复数 . ,定义 ,其中 是 的共轭复数.对任意
复数 . . ,有如下四个命题：
① ；
② ；
③ ； ④ .则真命题是________（填写命题的序号）
【答案】①②
① ，正确；
② ，正确；③ ， ，错误；
④ ，错误．
故答案为①②．
点睛：本题考查新定义问题，解决创新问题的关键是通过“新定义”（本题是“新运算”）这个载体把新
问题进行转化，转化为我们已经学过的，已经掌握的知识、方法，运用已经学过的运算法则进行检验．本
题只要把新运算“ ”转化为复数的乘法运算，然后进行检验即可．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·江苏·高考真题）若复数 满足 ，则 的虚部等于（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】C
若复数 满足 ，则
，
所以 的虚部等于 .
故选：C.
2．（2021·全国·高考真题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
，所以该复数对应的点为 ，
该点在第一象限，
故选：A.
3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意可得： .
故选：D.
4．（2021·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C因为 ，故 ，故
故选：C.
5．（2021·全国·高考真题（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
，
.
故选：B.
6．（2021·全国·高考真题（理））设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ，因此， .
故选：C.
7．（2021·浙江·高考真题）已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
，
利用复数相等的充分必要条件可得： .
故选：C.
8．（2021·天津·高考真题） 是虚数单位，复数 _____________．
【答案】
.
故答案为： .
第五部分：第 05 讲 复数 （精练）
一、单选题1．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由 ，有 ，可得 ,
故选：A
2．（2022·辽宁抚顺·一模）若复数z满足 （i为虚数单位），则复数z的共轭复数
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
，
所以 .
故选：D
3．（2022·安徽·高一阶段练习）若复数 为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A． B．10 C．100 D． 或10
【答案】A
为纯虚数，
同时
，
故选：A
4．（2022·湖南常德·一模）若复数z满足 ，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
由题意 ，对应点坐标为 ，在第四象限．
故选：D．
5．（2022·河北·高三阶段练习）已知复数z满足条件 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
设 ，则 ，所以， ，所以， ，则 ，解得 或 ，
故 或 ，因此， 或 .
故选：C.
6．（2022·河南·高一阶段练习）在复平面内，O是原点．向量 对应的复数为 ，其中 为虚数单
位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量 对应的复数的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意，得 ， ，
所以向量 对应的复数为
所以向量 对应的复数的共轭复数为 ，
故选：C．
7．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文）） 世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标
平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如 ，也即复数 的模的几何意义为
对应的点 到原点的距离．已知复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
， 对应的点 的轨迹为圆 ；
的几何意义为点 到点 的距离，
.
故选：C.
8．（2022·河南·高一阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O， 为虚数单位，则下列说法
正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 ，则点Z的集合为以 为圆心，1为半径的圆C．若 ，则点Z的集合所构成的图形的面积为
D．若 ，则点Z的集合中有且只有两个元素
【答案】C
若 ，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z对应，故A错误；
若 ，则点Z的集合为以 为圆心，1为半径的圆，故B错误；
若 ，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和 为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合
所构成的图形的面积为 ，故C正确;
若 ，则点Z的集合是以点 ， 为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故
D错误,
故选:C．
二、填空题
9．（2022·新疆·二模（理））复数 ， ，若 为实数，则 ________．
【答案】
∵ ，∵
∴ ，即 ．
故答案为： ．
10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知复数z为纯虚数，若 （其中i为虚数单位），则实数a
的值为______．
【答案】
因为复数z为纯虚数，所以设 ，
由 ，
故答案为：
11．（2022·河南开封·高一阶段练习）下列说法正确的序号为______．
①若复数 ，则 ；
②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；
③已知复数 ， ，若 ，则 ， 均为实数；
④复数 的虚部是1．
【答案】①②③
对于①，因为 ，所以 ，故①正确；
对于②，复数集 实数集 虚数集，故②正确；
对于③，复数集包含实数集，只在其实数集内才能比较大小，由 ，得
， 均为实数，故③正确；
对于④，复数 的虚部是 ，故④不正确.
故答案为：①②③.
12．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知复数 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数
的陈述如下 为虚数单位 ：甲： ；乙： ；丙： ，在甲、乙、丙三人陈述中，有且
只有两个人的陈述正确，则复数 ______．
【答案】 ##
解：设 ，则 ，
甲：由 可得 ，则 ，
乙：由 可得： ，
丙：由 可得 ，即 ，所以 ，
若 ，则 ，则 不成立， ，则 ，解得 或 ，
所以甲，丙正确，乙错误，
此时 或 ，又复数 对应的点在复平面第一象限内，
所以 ，
故答案为： ．
三、解答题
13．（2022·福建·厦门市松柏中学高一阶段练习）（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限， ，
且 ，求z；
（2）已知复数 为纯虚数，求实数m的值.
【答案】（1） ；（2）
解：（1）设 ，由题意每 ，
解得 ， ，
∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴ ，∴ .
（2），
由题意得 ，解得
14．（2022·福建·三明一中高一阶段练习）已知复数 ．
(1)若 ，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求 的值．
【答案】(1) (2)4或100
(1)
因为 ，所以 ，所以 ，所以 或 ．
①当 时， ，符合题意；
②当 时， ，舍去．
综上可知： ．
(2)
因为z是纯虚数，所以 ，所以 或 ,
所以 ，或 ,
所以 或 ,
所以 或100．
15．（2022·安徽·高一阶段练习）已知复数 （ 是虚数单位）．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)设 是z的共轭复数，复数 在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)
，
因为z为实数，
所以 ，解得 .
(2)
因为 是z的共轭复数，所以 ，
所以
因为复数 在复平面上对应的点位于第一象限，所以 ，同时 解得 .
16．（2022·全国·高一单元测试）设复数 、 满足 .
(1)若 、 满足 ，求 、 ；
(2)若 ，则是否存在常数 ，使得等式 恒成立？若存在，试求出 的值；若不存在，请说
明理由.
【答案】(1) 、 或 、
(2)存在，
【解析】
(1)
由 可得： ，代入已知方程得 ，
即 ，
令 （ ），∴ ，即 ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 、 或 、 ；
(2)
由已知得 ，又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 即 ，
所以 ，故 ，∴ ，
即 ，∴存在常数 ，使得等式 恒成立.
