文档内容
第 06 讲 向量法求空间角（含探索性问
题） (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：异面直线所成的角
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
角度2：求平面与平面所成角(最值问题）
角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题）
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：异面直线所成角设异面直线 和 所成角为 ，其方向向量分别为 ， ；则异面直线所成角向量求法：
①
②
知识点二：直线和平面所成角
设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则①
；
② .
知识点三：平面与平面所成角（二面角）
（1）如图①， ， 是二面角 的两个面内与棱 垂直的直线，则二面角的大小
．
（2）如图②③， ， 分别是二面角 的两个半平面 的法向量，则二面角的大小 满足：
① ；
②
若二面角为锐二面角（取正），则 ；
若二面角为顿二面角（取负），则 ；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是
钝二面角.）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体 中O为面 的中心， 为面A B C D 的
1 1 1 1
中心.若E为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
设正方体的边长为 ，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 .
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 分别是
棱 ， ， 的中点， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，以 为空间直角坐标系的原点，以 所在的直线为 轴，建立如
下图所示的空间直角坐标系， ，
， ， ，设平面 的法向量为 ，
所以有 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
故选：B
3．（2022·全国·高二）点A，B分别在空间直角坐标系O-xyz的x，y正半轴上，点C（0，0，2），平面
ABC的法向量为 ，设二面角C—AB—O的大小为θ，则cosθ的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设平面ABO的法向量为 ，设 ，
则 ，于是有： ，
因此 ，
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ， 平面 ，点
M，N分别为 ， 的中点， ，Q为线段 上的点（不包括端点A，B），若使异面直线
与 所成角的余弦值为 ，则 （ ）
A． 或4 B． C． D．
【答案】D如图,在三棱锥 中, , ,∴ .
∵PB⊥平面ABC,以B为原点, 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
可知 , .因为 ，所以 ,所以
PB=4,则P(0，0，4).设 ,且0<λ<1,则 ,可知 ，
所以 ,
，
因为异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为 ,
所以
解得： 或 （舍去）.
所以 .
故选：D
5．（2022·全国·高二）在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， 为棱 上一动点，
， .当 与平面 所成角最大时， 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，且 ，
平面 ，易证 平面 ，则 与平面 所成角为 ，
，
当 取得最小值时， 取得最大值
在等腰 中，
当 为 的中点时， 取得最小值.
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即
令 ，得 .
因为 ，所以 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：C
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：异面直线所成的角
典型例题
例题1．（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体 中， ， ， ，
，则 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D解： ，
则 ，
，
，
，
，
，
所以 ，
故选：D
例题2．（2022·安徽·高二期末）直角梯形 中， 是边
的中点，将三角形 沿 折叠到 位置，使得二面角 的大小为 ，则异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
建如图所示空间直角坐标系，得 ， ，所以
，所以 .
故选：D
例题3．（2022·广西·高三阶段练习（文））某圆锥的正视图如图所示， 为该圆锥的顶点， 分别是圆
锥底面和侧面上两定点， 为其底面上动点. 四点在其正视图中分别对应点 .若 ，， ，则异面直线 与 所成角最大时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根据题意还原圆锥，建立如下图所示空间直角坐标系，
点 在 轴正半轴原点 与底面圆周的交点之间运动，因为圆锥母线为2，
且在正视图中 ， ， ，所以底面圆直径为 ，
底面半径为 ，设 .
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
所以 ，要使异面直线 与 所成角最大，即
最小，
故当 时， 取最小值，
所成角最大，此时 .
故选：B.例题4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））现有四棱锥 （如图），底面 是矩形，
平面 . ， ，点 ， 分别在棱 ， 上.当空间四边形 的周长最小时，
异面直线 与 所成角的余弦值为___________.
【答案】 ##
将 沿 旋转到平面 内，如下图所示，
设点 关于 对称的点为 ，线段 与 的交点为 ，
此时空间四边形PEFD的周长最小，
因为 ，所以 ，
同理可得： ，
因为底面ABCD是矩形，所以 ，
又因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，
所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
，，
异面直线PE与DF所成角的余弦值为：
，
故答案为：
题型归类练
1．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱 中，底面 为正方形，侧棱
底面 .若 ， ， 是线段 的中点， ，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
故选：B2．（2022·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥 中， 平面ABC， ， 是正三角形，
M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图，以AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，设
则
，则直线MN，PB所成角的余弦值为
故选：D．
3．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖
臑，在鳖臑 中， 平面BCD， ，且 ，M为AD的中点，则异面直线
BM与CD夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】A如图，正方体内三棱锥A-BCD即为满足题意的鳖臑 ，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值 ．
故选：A．
4．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示， 是棱长为 的正方体， 、 分别是下底面
的棱 、 的中点， 是上底面的棱 上的一点， ，过 、 、 的平面交上底面于 ，
在 上，则异面直线 与 所成角的余弦值为___________．
【答案】 ##
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、 ，
因为平面 平面A B C D ，平面 平面 ，平面 平面 ，所以，
1 1 1 1
，
设点 ， ， ，
因为 ，所以， ，即点 ，
， ，
所以， .
因此，异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
5．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））空间四边形 中， ， ， ， ，
， ，则 与 所成角的余弦值等于___________．
【答案】
，
，
所以， ，所以， .
所以， 与 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
6．（2022·山西太原·一模（理））已知在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
若三棱锥的外接球体积为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为__________.
【答案】 ##0.5
在三棱锥 中，因 平面 ， 平面 ，则 ， ，而 ，
， 平面 ，因此， 平面 ，又 平面 ，则 ，
取PC中点O，连接BO，AO，如图，于是得 ，即有O是三棱锥 的外接球球心，
由 得： ， ，而 ，则有 ，
而 ， ，则 ，
从而有 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
典型例题
例题1．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）已知正方体 的棱长为4， 在棱 上，
且 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为___________．
1
【答案】如图所示，以 为原点， 方向为 轴，建立空间直角坐标系 ，
所以有， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量 ，则由
，令 ，得 ，
设直线BM与平面 所成角为 ，则
，
故答案为： .
例题2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中， 分别为棱 ， 的中点，
则 与平面 所成角的正弦值为___________.
【答案】在正方体 中以 分别为 轴建立空间直角坐标系.
设正方体 的棱长为2，则 ， .
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，取 ，则 ，设
与平面 所成角为 ，
则 .
故答案为：
例题3．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知 是圆柱底面圆的一条直径， 是圆柱的一条母线，
为底面圆上一点，且 ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为________．
【答案】 ##
是底面圆直径，则 ，又 是圆柱母线，则 平面 ，
以 为 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，所以 ，
，所以 ，而 ，所以四边形 是正方形，
， ， ， ，， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 得 ， ，
设直线PC与平面PAB所成角为 ，
所以 ，
故答案为： ．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ､ ､ 两两垂直， ， ，
， 是 的中点，则 与平面 所成的角的正切值为___________.
【答案】2
因为 两两垂直， 所以以 为原点， 分别为 轴的正半轴建立如图所示
空间直角坐标系，连接 ，
所以 ， ， ， ，
，由于 底面 ，所以 是底面 的法向量，
且 ，设 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
所以 ，所以 .即 与平面 所成的角正切值为 .
故答案为：2.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）在正方体ABCD-ABC D 中，E是对角线BD 上的点，且
1 1 1 1 1
BE∶ED=1∶3，则AE与平面BCC B 所成的角的正弦值是___________.
1 1 1
【答案】
分别以DA，DC，DD 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，
1
令正方体棱长为4，则 ， ， ，
依题意， ， ，
平面BCC B 的一个法向量为 =(0，4，0)，
1 1
设AE与平面BCC B 所成的角为θ，则有 ，
1 1
所以AE与平面BCC B 所成的角的正弦值是 .
1 1
故答案为：2．（2022·全国·高二单元测试）在菱形ABCD中， ，将 沿BD折叠，使平面ABD⊥平
面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.
【答案】
取BD中点O，连接AO、CO，
因为 ，所以 、 为等边三角形，
因为O为BD中点，
所以 ，
因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD 平面BCD=BD， 平面ABD，
所以 平面BCD，
又 平面BCD，
所以 ， ，
以O为原点，OC、OD、OA为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
设菱形ABCD的边长为2，
则
所以 ，
设平面ABC的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
设AD与平面ABC所成角为 ，
则 ，
所以AD与平面ABC所成角的正弦值为 .
故答案为：3．（2022·海南·模拟预测）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点 ， ， ，若平面
轴，且 ，则直线 与平面 所成的角的正弦值为___________.
【答案】
解： ， ，
由平面 平行于y轴，可设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，所以可取 ，
所以 ，
所以直线AC与平面 所成的角的正弦值为 .
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）如图， 和 所在平面垂直，且 ，
，则直线 与平面 所成角的正弦值为___________.
【答案】
设 ，在平面 、平面 内分别作直线 的垂线 、 分别交 、 于点 、
，如下图所示：因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ， 平面
，
因为 ， 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如上图所示的空间直角坐标系，
则 、 ， ，
易知平面 的一个法向量为 ，则 ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故答案为： .
角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
典型例题
例题1．（2022·福建南平·高一期末）如图，正方体 中， ， ，
， 当直线 与平面 所成的角最大时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
如图建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为1，则 ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
∴ ，令 ，可得 ，
又 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
，又 ，
∴当 时， 有最大值，即直线 与平面 所成的角最大.
故选：C.
例题2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在三棱锥 中， 所有棱的长均为 ，点
在棱 上， 满足 ， 点 在棱 上运动， 设直线 与平面 所成角为 ， 则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
取 中点 ，连接 ；
三棱锥 各棱长均为 ，在底面 内的投影 为 的中心， ；
以 为坐标原点， 正方向为 轴，作 的平行线作为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ；
轴 平面 ， 平面 的一个法向量 ；
设 ， ， ， ，
即 ， ，
；
当 时， ， ；
当 时， ；设 ，则 ；
当 时， ， ， ；
综上所述： 的最小值为 .
故选：A.
例题3．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为线段 ， ， 的中点， 为线段 上的动点， ， ， ， .
试确定动点 的位置，使线段 与平面 所成角的正弦值最大.
【答案】(1) (2)
平面 ，由（1）得 三线两两重直，
以 为原点，以 为 轴建立空间直角坐标系如图，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 令 得 ，
设 ，则 ，
，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
若 ，此时，点 与 重合；
若 ，令 ，则 ，
当 ，即 为 的中点时， 取得最大值 .
例题4．（2022·湖南·模拟预测）已知，如图四棱锥 中，底面 为菱形， ，
， 平面 ， ， 分别是 ， 中点，点 是棱 上的动点．
(1)证明： 平面 ；
(2)请确定 点的位置，使得直线 与平面 所成的角取最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)F为PC的中点
(1)连接AC，∵底面ABCD为菱形， ，
∴△ABC为正三角形，
∵E是BC的中点，∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ 平面ABCD， 平面ABCD，∴ ，
∵ ，PA、 平面PAD，
∴ 平面PAD，
(2)由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，故以AE、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空
间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ．
设 ， ．
设平面PCD的法向量为 ，则
令 ，则 ， ，
∴ ．
设直线AF与平面PCD所成的角为 ，
则 ，
当 时， 最大，此时F为PC的中点．
题型归类练
1．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知圆锥 的高 是底面上圆 的直径， ， 是圆
上的动点， 是 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C做 交圆上一点 ，
以 为原点， 所在的直线为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ，则 ，且 ，
当 时， 与 重合，此时 构不成平面，
当 时， 与 重合，此时 构不成平面，
即 ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，设直线 与平面 所成的角为 ，
，
令 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 ，
，
直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
故选：C.2．（2022·安徽·高二开学考试）已知正方体 的棱长为3，点E在上底面A B C D 内(不包
1 1 1 1
含边界)，若 ，则AE与平面 所成角的正弦值的最大值为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， .
，即 ，∴ ，
∴点E为在四边形A B C D 内，以 为圆心，1为半径的四分之一圆上，
1 1 1 1
设 ，且 ，
∴ ， ， .
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 .
设AE与平面 所成角为 ，
则 ，
当且仅当 时， 有最大值 .
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为3的正方体 中，点 是平面 内一动
点，且满足 ，则直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为_______
【答案】
解：取 的中点 ，作点 在平面 内的投影 ，过 作 交 于点 ，连结 、 ，
以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意，得 ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ，
设 ， ， ，
则 ， ， ， ， ， ， ，0， ，
，
，
， ，
记 为直线 与直线 所成的角，则 即为直线 与直线 所成的角，
，
点 的轨迹在平面 内是以 为圆心， 为半径的单位圆，
， ，
又 为锐角或直角， ，
直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为 ．
故答案为： ．
4．（2022·江苏淮安·高二期末）已知四棱锥 的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，
，平面 平面ABCD，平面 平面 ．
(1)求证： 平面PAD；
(2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
(1)由题意知 ，因为 平面PAB， 平面PAB，所以CD//平面PAB．因为平面 平
面 ，平面 ，所以 ；因为 ，平面PAD⊥平面ABCD，平面 平面 ，
CD 平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又 ，所以 平面PAD；
(2)
取AD中点O，连接PO，由 PAD为等腰直角三角形知 ．又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面 平面 △， 平面PAD．所以PO⊥平面ABCD．以O为原点建立如图所示的空间
直角坐标系，
则有 ，设 ，则 ，则有 ， ，
设平面MAD的一个法向量 ，则有 ．即 ，令 有 ，
，
设PC与平面MAD所成角为 ，则 ，令 ， ，
则 ，当 即 时， 有最小值 ，即PC与平
面MAD所成角正弦值的最小值为 .
5．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ，M为 的中点．
(1)若 ，证明： 平面 ；(2)若 是正三角形，P为线段 上的动点，求 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又在矩形 中， ， ，即 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
(2)解：取 的中点为 ，连接 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，取 的中点 ，连接 ，同理可得 平面 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，设 ， ，
则 ，
易知平面 的法向量为 ，设 与平面 所成角为 ，设 ，
所以
当 时 ，
当 时， ，因为 在 上单调递减，
所以 关于 单调递减，
故 ，
综上可得角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， ，点
为棱 的中点，点 为线段 上的一动点.
(1)求证：当点 为线段 的中点时， 平面 ；
(2)当点 位于线段 的什么位置时， 与平面 所成角的正弦值为 ，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)当 或 时， 与平面 所成角的正弦值为 ，理由见解析
(1)连接 ， ，
∵点 为线段 的中点，四边形 为矩形，
∴ ， ， 三点共线，则点 为 的中点.
∵点 ， 分别为 和 的中点，∴ .
在直三棱柱 中， ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ .
又 ，∴四边形 为正方形，
∴ .
∵ ，
∴ 平面 .
∵ ，
∴ 平面 .
(2)以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ，
设 ，∴ ，
即 ，∴ .
设平面 的一个法向量为 ，
， .
由 ，得 ，令 ，得 ，
又 .
设 与平面 所成角为 ，
由题意得
，
求得 或 .
故当 或 时， 与平面 所成角的正弦值为 .例题2．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高二阶段练习）如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面
垂直，且 ， ， 、 、 分别是 、 、 的中点.
(1)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(2)点 在线段 上，若直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求线段 的长.
【答案】(1) (2)
(1)∵ 、 分别是 、 的中点，∴ ，
又三棱柱 中， ，故 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，则 、 、 、 ， ，
所以 ， ，
取向量 为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，则 ，可得 ，
令 ，则 ， ，则 ，
所以 .
由图示得平面 与平面 的夹角为锐角，所以，平面 与平面 的夹角的余弦值是 ；
(2)设 ， ，点 ，所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，可得 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，整理可得 ，即
.，
因为 ，解得 .则 ，即线段 的长为 .
例题3．（2022·江苏苏州·高一期末）如图，四棱锥 中， 平面 ， 与底而所成
的角为 ，底面 为直角梯形，
(1)求证：平面 平面 ：
(2)在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成的角为 ？若存在，求出有 的值：若不存在，
说明理由.【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析；
(1) 平面 ， 与平面 所成的角为 ， ，
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系，
， ， ， ，
， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
即 ，且 ，所以 平面 ，
平面 ，所以平面 平面 .
(2)存在，理由如下，
， ， ， ， ，
设 ，
所以 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，
且 ，所以 平面 ，
所以 是平面PAB的一个法向量，
所以 ，
解得 ，或 ，
当 时， 点与 重合，不符合题意，舍去，
所以当 时， CE与平面PAD所成的角为 ，且 .题型归类练
1．（2022·陕西省安康中学高二期末（理））已知梯形 如图甲所示，其中 ， ，
，四边形 是边长为1的正方形，沿 将四边形 折起，使得平面 平面 ，
得到如图乙所示的几何体．
(1)求证： 平面 ；
(2)若点 在线段 上，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2) .
(1)∵平面 平面 ， 平面
平面 平面 ， ，
∴ 平面 ；
(2)（2）建系如图：
设平面 的法向量 ， ， ， ，，
，则 ，
设 ， ，
，
解得 或 （舍），
，∴ .
2．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）如图，三棱柱 所有的棱长为2，
，M是棱BC的中点.
（Ⅰ）求证： 平面ABC;
（Ⅱ）在线段BC是否存在一点P，使直线BP与平面ABC 所成角的正弦值为 ? 若存在，求出CP
1 1
的值; 若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在， .
解：（1）证明： ， ， 是 中点，
，
又 ，
，
，
平面 ，
（2）建立如图所示的空间直角坐标系 ，由（1）知平面ABC的法向量为 ， ， ， ， ，
1
，
令 ，
则 ，
设直线BP与平面ABC 所成角为 ，则
1
,
解得 或 （舍），
所以当 时，满足题意，此时 .
3．（2022·湖南·长郡中学高一期末）如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面
，F为PA的中点， ， ，四边形PDCE为矩形，线段PC
交DE于点N.
(1)求证： 平面DEF；
(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为 ？若存在，求出FQ的长；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在， .
(1)因为四边形PDCE为矩形，则N为PC的中点，连接FN，如图，在 中，F，N分别为PA，PC的中点，则有 ，而直线 平面DEF， 平面DEF，
所以 平面DEF.
(2)因 平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
直角梯形 中， ， ，
则 ， ，
设平面PBC的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
假定存在点Q满足条件，设 ，整理得 ，
则 ，因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为 ，
所以 ，解得 ，即点Q与E重合，
所以在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为 ，且 .
4．（2022·广东广州·高二期末）如图，四棱锥 的底面为矩形， 底面ABCD．过AD的平面
分别与线段 相交于点E，F．(1)证明： ；
(2)若 ，试问是否存在平面 ，使得直线PB与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，
求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析，
(1)因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .
(2)存在，理由如下，
分别以 所在的直线为 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
设 ，所以 ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ， ，令 则 ，
所以 ，设直线PB与平面 所成角 ，
所以 ，
解得 ，
所以 时， 为 的中点时，此时存在平面 ，使得直线PB与平面 所成角的正弦值为 ，此时
， .5．（2022·江苏泰州·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O， ， ．
(1)求二面角 的大小；
(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为 ？若存在，指出点Q的位置；
若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，当Q为AD上靠近A的四等分点时，PQ与平面APB所成角的正弦值为
(1)由题意得 平面ABCD，且 ，
以O为原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴正方向建系，如图所示所以 ，
所以 ，
设平面PAB的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，可得 ，所以 ，
因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，
又因为 ， ， 平面PAC，
所以 平面 ，
所以 即为平面 的法向量，
所以 ，
又 ，由图象可得二面角 为锐二面角，
所以二面角 的大小为
(2)假设线段AD上存在一点Q，满足题意，
设 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，
因为平面PAB的法向量 ，
设得PQ与平面APB所成角为所以 ，
解得 或 （舍）
所以在线段AD上存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为 ，此时 ，即Q为AD
上靠近A的四等分点，
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
典型例题
例题1．（2022·广东·兴宁市第一中学高一阶段练习）若在正方体 中，点E是 的中点，
则二面角 的平面角的正切值为（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】B
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设
正方体棱长为a，则 ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，解得： ，令 ，则 ，所以 ，平面 的法向量为
，设二面角 的平面角为 ，可以看出为锐角，则
，则 ，故 .
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中，点 为 的中点，则平面
与平面 所成角的正弦值为( )A． B． C． D．
【答案】B
以A为原点，AB，AD，AA 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为
1
1，则 ， ， ，
∴ ，
设平面AED的法向量为 ，
1
则有 令 得： ，
∴ .
∵平面ABCD的法向量为 ，
∴ ，则 ，
故平面AED与平面ABCD所成角的正弦值为 .
1
故选：B
例题3．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一
千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体 为鳖臑， 平面 ，
，且 ， ，则二面角 的正弦值为______.【答案】
依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：
， ， ，
设平面APC的法向量为
，∴
不妨设 ，则 ，
设平面PBC的法向量为
，∴
不妨设 ，则 ， ，设 为 ，则 ，
.
故答案为：
题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）在四棱锥 中， 平面 ， 是矩形，且 ，
， ，则平面 与平面 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为 平面 ， 是矩形，所以 两两垂直，
故以 为坐标原点， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
又 ， ， ，
所以 ,
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
而 ,
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则平面 的法向量 ，，所以 ，
由图可知平面 与平面 的夹角为锐角，所以平面 与平面 的夹角为 ，
故选：A.
2．（2022·重庆长寿·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多
年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，
AB⊥BC，且 ，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．
【答案】 ##
依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：
， ， ， ，
所以 ， ， ， .设平面APC的法向量为
，∴
不妨设 ，则 ，
设平面PBC的法向量为
，∴
不妨设 ，则 ， ，
设 为 ，则 .
故答案为：
3．（2022·全国·高二单元测试）在长方体 中，AB＝2，AD＝1， ，点E为 的
中点，则二面角 的余弦值为______.
【答案】
以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系
则 ， ， ， ，
， ，设平面 的一个法向量为
则 ，令 ，得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
而二面角 为锐角，故
故答案为：角度2：求平面与平面所成角(定值探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））如图1，在等边 中，点 ， 分别为边 ，
上的动点且满足 ，记 .将 沿 翻折到 的位置并使得平面 平面
，连接 ， 得到图2，点 为 的中点．
(1)当 平面 时，求 的值；
(2)试探究：随着 值的变化，二面角 的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，
请求出二面角 的正弦值大小．
【答案】(1)
(2)不改变，
(1)取 的中点为 ，连接 ， ，因为 ， ，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，
又EN∥平面BMD，EN 平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，
⊂
所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，
所以NP＝DE，则DE＝ BC，即λ＝ .
(2)取 的中点 ，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，
如图建立空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则，即 ，
令 ，即 .
又平面 的法向量 ，
所以 ，
即随着 值的变化，二面角 的大小不变．
且 .
所以二面角 的正弦值为 .
例题2．（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， ，底面 为
直角梯形， ， ， ， ， ， 为棱 上异于 ， 的点．
(1)若 为棱 的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若存在点 为棱 上异于 ， 的点，使得直线 与 所成角的正弦值为 ，求二面角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，如图，为 的中点，
，且 ，
又 ，且 ，
，且 ，
四边形 为平行四边形，
，
又 平面 ． 平面 ．
直线 平面 ；
(2)解：由题意知， ， ， ，
，即 ，
又 ， ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， ，
又 ， ， ， 两两相互垂直，
以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，
如图所示，则 ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
在棱 上，设 ，
即 ， ，
易知平面 的法向量为 ， ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，解得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，
则 ，
，
由题知，二面角 为锐角，
故二面角 的余弦值为 .
题型归类练
1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））如图，在四棱锥 中， ， ， ，
， ， ， 都在平面 的上方.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析.(2)2
(1) ，又
所以 ， ，所以 平面 ，
又 平面
所以，平面 平面 .
(2)因为 ，结合(1)问易得 两两互相垂直，所以建立如图所示的坐标系设AD=t ，则：
， ，
所以 ， ，设平面 的法向量为
由 得
令 则
又 平面ABE
所以取平面ABE的法向量为
解得 或 (舍).
即 ，所以四边形ABCD的面积 ，由题知
， ， 平面ABCD
所以BE为四棱锥 的高，所以四棱锥 的体积为
.
故四棱锥 的体积为2.
2．（2022·江苏常州·高二期末）如图，在三棱柱ABC－ABC 中，四边形ABBA 为正方形，四边形
1 1 1 1 1
AAC C为菱形，且∠AAC＝60°，平面AAC C⊥平面ABBA，点D为棱BB 的中点．
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：AA⊥CD；
1(2)棱BC （除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－AM－B 的余弦值为 ？若存在，请指出点
1 1 1 1
M的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在点M为棱 的中点或者为靠近 端的八等分点 .
(1)取棱 的中点O，连接 ．
因为四边形 是菱形，所以 ，
又因为 ，
所以 为等边三角形，
所以 ．
因为四边形 为正方形且O、D分别是 的中点，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ．
(2)因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，
所以 平面 ．
以O为坐标原点，以 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系．不妨设 ，则点 ．
设 为平面 的一个法向量，
则由 及 ，
得 ，不妨取 得 ．
假设棱 上（除端点外）存在点M满足题意，
令 得 ，
设 为平面 的一个法向量，
则由 及 ，
得 ，不妨取 ，得 ．
由 ，
解得 或 ，
所以存在点M为棱 的中点或者为靠近 端的八等分点 ．
3．（2022·福建·莆田一中高二期末）如图，在三棱锥 中， ．(1)证明：平面 平面 ．
(2)若点Q在棱 上，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取 的中点 ，连接 、 ．
因为 ，
则 ，
所以 ，即 ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 ．
(2)解：如图，建立空间直角坐标系，
则 ，则 ， ， ，
．
令 ，则 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
解得 或 （舍去），
故
设平面 的法向量为 ，
所以 ，取 ．
记二面角 的平面角为 ，所以 ．
4．（2022·海南中学高三阶段练习）如图1，在平面四边形PDCB中， ， ，
， .将 沿BA翻折到 的位置，使得平面 平面ABCD，如图2所
示.
(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
(2)点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为 ，求线段BQ的长.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)依题意， ，
因为 ，所以 ，
由于平面 平面ABCD，且交线为AB， 平面ABCD，所以 平面SAB，
因为l是平面SDC与平面SAB的交线，
所以 平面SAB，
故 .
(2)由上可知， 平面SAB，所以 ，
由题意可知 ， ，
以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ，
设 ，则 ， ，
设 是平面QBD的一个法向量，
则 ，令 ，可得
由于 是平面CBD的一个法向量，
依题意，二面角 的余弦值为 ，
所以 ，
解得 ，
此时 ， ，
即线段BQ的长为 .
角度3：已知二面角求其他参数（最值探索性问题）
典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）长方体 ， ， ，点 在长方体的侧
面 上运动， ，则二面角 的平面角正切值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
如图以点D为坐标原点建立空间坐标系
设点P的坐标为 图中各点的坐标表示如下：
B(1，1，0)，D(0，0，2)，A(1，0，0)
1
，又
即， ，所以
所以点P在平面BCC B 内的轨迹为由点C到BB 四等分点（靠近B点）的一条线段，
1 1 1
且点P由C点向BB 四等分点移动过程中，二面角B-AD-P逐渐增大
1
当点P位于C点处时，二面角B-AD-P最小，最小值为0
当点P为与BB 四等分点处时，二面角B-AD-P最大，此时，
1
即为二面角B-AD-P的平面角，
所以二面角B-AD-P正切值的取值范围为[0， ].选项ACD错误，选项B正确
故选：B.
例题2．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，正三棱柱 的所有棱长均为2， 为
棱 不包括端点 上一动点， 是 的中点.(1)若 ，求 的长;
(2)当 在棱 不包括端点 上运动时，求平面 与平面 的夹角的余弦值的最大值.
【答案】(1)1；(2) .
(1)正三棱柱 的所有棱长均为2，而E是AB的中点，则 ，
而 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ，
因此， 平面 ，而 平面 ，即有 ，因 ，
， 平面 ，于是得 平面 ，又 平面 ，则 ，
正方形 中， ， ， ，
所以BD的长是1.
(2)在平面 内过点E作 ，由（1）知， 两两垂直，
以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
平面 的法向量 ，设平面 与平面ABC的夹角为 ，则 ，当 时， ，
所以平面 与平面ABC的夹角的余弦值的最大值是 .
题型归类练
1．（2022·重庆市长寿中学校高一阶段练习）如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，点A在
平面 上的投影是线段BC的中点E，AB=AD=AC，点 是 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 BC=2BD，点 是线段 上的动点，问：点 运动到何处时，平面 与平面 所成的锐二
面角最小.
【答案】(1)证明见解析；(2)G为BD中点.
(1)因为点A在平面 上的投影是点E，∴ 平面BCD，∴ ，
∵AD=AC，点 是 的中点，∴
∵ , 平面 ，
∴ 平面
又∵ 平面 ，
∴平面 平面
(2)∵AB=AD=AC，点A在平面 上的投影是点E，
∴EB=ED=EC，∴B，C，D在以E为圆心的圆上，∴∠BDC=90°
∵ BC=2BD，∴∠BCD=60°，在平面BCD中，过E作EH⊥BD，垂足为 H，以EH为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标
系，设BC=4则 ， ，
设 ，则 ， ， ，
设平面AEG的法向量为
由 可得
设平面ACD的法向量为
由 可得 ，
设平面AEG与平面ACD所成锐二面角为 ，
则 ，
∴当y=0时， 最大，此时锐二面角 最小，
故当G为BD中点时，平面AEG与平面ACD所成锐二面角最小.
2．（2022·山西运城·模拟预测（理））如图，在 中， ， ， 为 的外
心， 平面 ，且 ．（1）求证： 平面 ；并计算 与平面 之间的距离．
（2）设平面 平面 ，若点 在线段 上运动，当直线 与平面 所成角取最大值时，求
二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析， （2）
（1）如图，连接 ，交 于点 ， 为 的外心，
所以 ，
所以 .
故 和 都为等边三角形，
即四边形 为菱形，
所以 且 .
又 平面 、 平面 ,
所以 平面 .
则 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，记为 ,
由题意知： ,
所以 ， .
又因为
即
解得： .
（2）因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 = ，
所以 .
如图所示：以点 为原点建系.则 .
设 ,
所以 .
设平面 的法向量为 .则
所以直线 与平面 所成角 的正弦值为： ,
即当 时直线 与平面 所成角取最大值.
此时 ，
所以 ,
设平面 的法向量为 .
则 令 则 .
所以 ，即
则二面角 的正弦值 .
3．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）如图，在平行六面体 中， 底面
， ．(1)证明： ；
(2)设点 为线段 上一点（异于D， ），当 为何值时，平面 与平面 夹角的余弦值最大？
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：连接 ，因为
所以，在 中，由余弦定理得
，即 ，
所以 ，即 ，
因为 底面 ，所以 ，
因为 ，
所以 平面 ，
所以 .
(2)解：结合（1）可知， 两两垂直，故以 为坐标原点，分别以 的方向为 轴
的方向，建立空间直角坐标系，如图，则 ，
所以 ，即
，
因为点 为线段 上一点（异于D， ）,
所以，设 ，
所以 ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，即 ，即
故令 ，则 ，即
由于 两两垂直，且 ，
所以 平面 ，故平面 的一个法向量可以为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则
所以，当 时，即 时， 取得最大值，
所以， .
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体 中， ，E为
的中点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2) 与平面 所成的角的正弦值为
(1)因为 ，E为 的中点，所以 ；
在 和 中，因为 ，
所以 ，所以 ，又因为E为 的中点，所以 ；
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
(2)连接 ，由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 最小，即 的面积最小.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 是等边三角形，
因为E为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ,
在 中， ，所以 .
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
设 与平面 所成的角的正弦值为 ，所以 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
2．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，
因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
(2)解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
，
则 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .3．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1) (2)
(1)在直三棱柱 中，设点A到平面 的距离为h，
则 ，
解得 ，
所以点A到平面 的距离为 ；
(2)取 的中点E,连接AE,如图，因为 ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 可得 ， ，
又 平面 且相交，所以 平面 ，
所以 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，
则 ,所以 的中点 ，
则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ，
， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的
中点．(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
(1)过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点交于点 、 ．
∵四边形 和 都是直角梯形， ， ，
由平面几何知识易知， ，则四边形 和四边形
是矩形，∴在Rt 和Rt ， ，
∵ ，且 ，
∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ，
∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，
∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而 ，
∴ 平面 ，而 平面 ．
(2)因为 平面 ，过点 做 平行线 ，所以以点 为原点， ， 、 所在直线分别
为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ．5．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面
， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)见解析(2)见解析
(1)取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而 ，则 ，同理可得 平面 ，
而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，
(2)因为侧面 为正方形，故 ，
而 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，故 平面 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故 ，
若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
所以 ，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 ，
而 ， ，故 ，
所以 ，故 ，
而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，从而 ，取 ，则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则
.
