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第 06 讲 基本不等式及应用
1、基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件： .
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2、几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．
(2)＋≥ (a，b同号)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)≥ 2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3、利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+ y2−xy=1，则（ ）
A．x+ y≤1 B．x+ y≥−2
C．x2+ y2≤2 D．x2+ y2≥1
2、【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
3、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．1、在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
2、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为
________m时菜园面积最大．
3、（2022·山东枣庄·一模）（多选题）已知正数a，b满足 ，则（ ）
A． 的最大值是
B． 的最大值是
C． 的最小值是
D． 的最小值为
4、（2022·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知 ，且 .则下列选项正确的是
（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为
C．
D．
考向一 运用基本不等式求函数的最值例1、 (1)已知01)的最小值为________．
变式1、已知x>1，求y＝ 的最小值．
变式2、 已知x≥1，求y＝ 的最小值．
变式3、（1）（2022·江苏泰州·一模）（多选题）下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2022·广东惠州·二模）函数 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一
正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的
条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然
后再利用基本不等式．
考向二 基本不等式中 1 的运用
例2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)若正数 ， 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A. B. C. D.
变式1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 的最小值为__________．变式2、（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知 是正实数，函数 的图象经过点 ，则
的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．2
变式3、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列 中， 成等差数列，且存在两项
使得 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．不存在
变式4、（2022·湖南师大附中三模）（多选题）若 ， ， ，则 的可能取值有
（ ）
A． B． C． D．
方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换
的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒
数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知
条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型
考向三 运用消参法解决不等式问题
例3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝－，则y的最大值为( )
A．1 B． C．2 D．
变式1、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)
已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是______．
变式2、（2022·湖南·一模）已知 ，则 _________．
方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和
为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值考向四 运用基本不等式解决实际问题
例4、工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，另需投入成本C(x)(单位：万元)，当年产量
不足80千件时，C(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450.已知每件商品的售价为
0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1) 写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2) 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
变式1、 (2022·福州高三期中)某县一中计划把一块边长为20 m的等边三角形ABC的边角地开辟为植物新
品种实验基地，图中DE把基地分成面积相等的两部分，点D在AB上，点E在AC上．
(1) 设AD＝x(x>10)，DE＝y，求y关于x的函数解析式；
(2) 若DE是灌溉输水管道的位置，为节约成本，希望它最短，确定DE的位置，并求出ED长的最小
值．
变式2、（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）设矩形 的周长为 ，把它沿对角线
对折后，设 交 于点 ，此时点 记作 ，如图所示，设 ， ，则△ 的面积的最
大值为______．方法总结：利用基本不等式求解实际应用题的方法：
利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式
求最值．
1、（2022·重庆·一模）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·福建·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
3、（2022·广东·模拟预测）（多选题）已知实数 满足 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的最小值为16
B． 的最大值为9
C． 的最大值为9
D． 的最大值为
4、（2022·河北保定·一模）（多选题）下面描述正确的是（ ）A．已知 ， ，且 ，则
B．函数 ，若 ，且 ，则 的最小值是
C．已知 ，则 的最小值为
D．已知 ，则 的最小值为
5、（2022·重庆·模拟预测）（多选题）已知正数a，b满足 ，则下列说法一定正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
6、（2022·广东·模拟预测）（多选题）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7、（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）（多选题）若 ，且 ，则下列不等式恒
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8、（2022·湖南衡阳·三模）（多选题）已知实数 ， ， ．则下列不等式正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
