文档内容
第 07 讲 抛物线 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：抛物线的定义及其应用
题型二：抛物线的标准方程
题型三：抛物线的简单几何性质
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
角度2：利用函数思想求最值
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （其中定点 不在定直线 上）的距离相等的点的
轨迹叫做抛物线，定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式： ( 为点 到准线 的距离).
知识点二：抛物线的标准方程和几何性质
y 2 =2px （ y 2 =−2px （ x 2 =2py x2 =−2py （
标准方程
） ） （ ） ）
图形
，
范围 ， ， ，对称轴 轴 轴 轴 轴
p p p p
焦点坐标 F( ,0) F(− ,0) F(0, ) F(0,− )
2 2 2 2
p p
p p
准线方程
x=− x= y=− y=
2 2 2 2
顶点坐标
离心率
通径长
知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（ 为焦准距）
（1）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（2）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（3）焦点 在 轴正半轴，抛物线上任意一点 ，则 ；
（4）焦点 在 轴负半轴，抛物线上任意一点 ，则 .
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线 的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
解：抛物线 ，即 ，则 ，所以 ，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为 .
故选：C
2．（2022·北京平谷·高二期末）抛物线 的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
解：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，所以焦点到准线的距离 ；
故选：A
3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线上， ，
则点 的横坐标为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】C
解：设点 的横坐标为 ，抛物线 的准线方程为 ，
点 在抛物线上， ，
， ．
故选：C．
4．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））抛物线 的准线方程是 ，则实数a
的值（ ）
A． B． C．8 D．-8
【答案】A
由题意得： ，解得： .
故选：A
5．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线 ，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，
，其准线方程为___________．
【答案】
设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为 、
、 、 ， ，
由梯形中位线得 ， ，
∴准线方程为
故答案为： ．第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：抛物线的定义及其应用
典型例题
例题1．（2022·上海普陀·二模）已知点 ，直线 ，若动点 到 的距离等于 ，则
点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
【答案】C
由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点 的轨迹是抛物
线.
故选：C
例题2．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐标系 中，动点 到直线 的距离比它到定
点 的距离小1，则 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由题意知动点 到直线 的距离与定点 的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以 ，轨迹方程为 ，
故选：D
例题3．（2022·全国·高三专题练习）动点 到y轴的距离比它到定点 的距离小2，求动点
的轨迹方程．【答案】 或 ．
解：∵动点M到y轴的距离比它到定点 的距离小2，
∴动点M到定点 的距离与它到定直线 的距离相等．
∴动点M到轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，且 ．
∴抛物线的方程为 ，
又∵x轴上点 左侧的点到y轴的距离比它到 点的距离小2，
∴M点的轨迹方程为 ②．
综上，得动点M的轨迹方程为 或 ．
同类题型归类练
1．（2022·山东·青岛二中高二阶段练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，
则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以 ，其方程为 ，
故选：A
2．（2022·江苏·高二）与点 和直线 的距离相等的点的轨迹方程是______．
【答案】
解：由抛物线的定义可得平面内与点 和直线 的距离相等的点的轨迹为抛物线，且
为焦点，直线 为准线，
设抛物线的方程为 ，
可知 ，解得 ，
所以该抛物线方程是 ，
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）已知动点 的坐标满足 ，则动点 的轨迹方
程为_____________．
【答案】设 直线 ，则动点 到点 的距离为 ，动点 到直线 的距离为 ，
又因为 ，
所以动点M的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，其轨迹方程为 ．
故答案为：
题型二：抛物线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·云南曲靖·高二期末）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ， ，交
其准线于点 ，若 ，则此抛物线方程为__________．
【答案】
如图，作 准线于 ， 准线于 ，设 ，由抛物线定义得 ， ，
故 ，
在直角三角形 中，因为 ， ，所以 ，从而得 ，
设准线与x轴交于 ，则 ，所以 ，因此抛物线方程为 .
故答案为： .
例题2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的方程.
(1)焦点为 ，准线方程为 ；
(2)顶点在原点，准线方程为 ；
(3)顶点在原点，以 轴为对称轴，过点 ．【答案】(1) (2) (3)
(1)解：根据题意，可设所求抛物线的标准方程为 ，
则 ，可得 ，故所求抛物线的标准方程为 .
(2)解：根据题意，可设所求抛物线的标准方程为 ，
则 ，可得 ，故所求抛物线的标准方程为 .
(3)解：根据题意，设所求抛物线的标准方程为 ，则 ，得 ，
故所求抛物线的标准方程为 .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）已知点 到点 的距离比点 到直线 的距离小 ，求点 的
轨迹方程．
【答案】
解：由题意可知，点 到点 的距离和点 到直线 的距离相等，
故点 的轨迹是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，
设点 的轨迹方程为 ，则 ，解得 ，
故点 的轨迹方程为 .
2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程、顶点坐标和焦点坐标.
(1)准线方程为 ；
(2)准线方程为 ；
(3)准线方程为 ．
【答案】(1)抛物线方程为 ，顶点坐标为 ，焦点坐标为
(2)抛物线方程为 ，顶点坐标为 ，焦点坐标为
(3)抛物线方程为 ，顶点坐标为 ，焦点坐标为
(1)由题意设抛物线的方程为 ，
因为准线方程为 ，
所以 ，得 ，所以抛物线方程为 ，顶点坐标为 ，焦点坐标为 .
(2)由题意设抛物线方程为 ，
因为准线方程为 ，
所以 ，得 ，
所以抛物线方程为 ，顶点坐标为 ，焦点坐标为 .
(3)由题意设抛物线方程为 ，
因为准线方程为 ，
所以 ，得 ，
所以抛物线方程为 ，顶点坐标为 ，焦点坐标为 .
题型三：抛物线的简单几何性质
典型例题
例题1．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知抛物线 ： ，则过抛物线
的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（ ）
A．4037 B．4044 C．2019 D．2022
【答案】A
∵抛物线C： ，即 ，
由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦，
则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为 ，
由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有 条，
故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ．
故选：A．
例题2．（多选）（2022·湖南永州·高二期末）已知抛物线 的焦点 ，点 为 上任意一点，
若点 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为2
B．抛物线 关于 轴对称
C．过点 与抛物线 有一个公共点的直线有且只有一条
D．点 到点 的距离与到焦点 距离之和的最小值为4
【答案】CD设 ，则 ， ，又抛物线的焦点为 ，
所以 ， 时，等号成立．所以 的最小值
是1，A错；
抛物线的焦点在 轴上，抛物线关于 轴对称，B错；
易知点 在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过 与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，
其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
记抛物线的准线为 ，准线方程为 ，
过 作 于 ，过 作 于 ，则 ，
，所以当 三点共线，即 与 重合时， 最小，最小值为 ．
D正确．
故选：CD．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）点 到抛物线 的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
将 转化为 ,
当 时，抛物线开口向上，准线方程 ，点 到准线的距离为 ，解得 ，所
以抛物线方程为 ，即 ；
当 时，抛物线开口向下，准线方程 ，点 到准线的距离为 ，解得 或（舍去），所以抛物线方程为 ，即 .
所以抛物线的方程为 或
故选：D
2．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，则实数 的
值为
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为抛物线 过点 ，所以 ，
抛物线 的焦点为 ，
由抛物线的定义可知 ，解得 .
故选：A.
3．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线 ，以 为圆心，半
径为5的圆与抛物线 交于 两点，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】B
以 为圆心，半径为5的圆的方程为 ,
由抛物线 ，得到抛物线关于x轴对称，
又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，
∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值 ,
不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为 ,
又∵A在圆上，∴ ,解得 ,
故选：B.
题型四：与抛物线有关的最值问题
角度1：利用抛物线定义求最值
典型例题例题1．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知 ， 为抛物线 的焦
点，点 在抛物线上移动，当 取最小值时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如图所示，过 点作准线 的垂线，垂足为 ，由抛物线定义，知
当 在抛物线上移动时， 的值在变化，显然 移动到 时， 三点共线， 最
小，此时 ，把 代入 ，得 ，
所以当 取最小值时，点 的坐标为 ．
故选：D.
例题2．（2022·广西南宁·高二期末（理））已知抛物线 焦点的坐标为 ， 为抛物线上的任
意一点， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
因为抛物线 焦点的坐标为 ，所以 ，解得 ．
记抛物线的准线为l，作 于 ，作 于 ，则由抛物线的定义得
，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知拋物线 的焦点为 ，定点 ，设 为拋物线上的动点，
的最小值为__________，此时点 坐标为__________．
【答案】 3
过点 作 垂直于准线，过 作 垂直于准线， ，
取到最小值时，且为 ；
点 与点 的纵坐标相同，可设点 为 ， ，
则 ，解得 ，
所以点 ， ．
故答案为： 3；
2．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知M为抛物线 上的动点，F为抛物线的焦点， ，则
的最小值为___________.
【答案】4
解：如图所示：设点M在准线上的射影为D，
由抛物线的定义知 ，
∴要求 的最小值，即求 的最小值，
当D，M，P三点共线时， 最小，
最小值为 .
故答案为：4
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 在抛物线 上，点 在圆 上，则 长度的
最小值为___________.
【答案】3
因为抛物线和圆都关于横轴对称，所以不妨设 ，
设圆 的圆心坐标为： ，半径为1，
因此 ，当 时， ，
所以 长度的最小值为 ，
故答案为：
4．（2022·重庆长寿·高二期末）已知P为抛物线 上任意一点，F为抛物线的焦点， 为平面
内一定点，则 的最小值为__________．
【答案】5
由题意，抛物线的准线为 ，焦点坐标为 ，过点 向准线作垂线，垂足为 ，则
，当 共线时，和最小；过点 向准线作垂线，垂足为 ，则 ，所以
最小值为5.
故答案为：5.
5．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点
的距离与 到 轴的距离之和的最小值为___________．
【答案】1
由抛物线 可知其焦点为 ，
由抛物线的定义可知 ，
故点 到点 的距离与 到 轴的距离之和为 ，
即点 到点 的距离与 到 轴的距离之和的最小值为1.
故答案为： .
6．（2022·江苏·高二）如图所示，已知P为抛物线 上的一个动点，点 ，F为抛物
线C的焦点，若 的最小值为3，则抛物线C的标准方程为______.【答案】
过点P、Q分别作准线的垂线，垂直分别为M、N，
由抛物线定义可知 ，当P，M，Q三点共线时等号成立
所以 ，解得
所以抛物线C的标准方程为 .
故答案为：
角度2：利用函数思想求最值
典型例题
例题1．（2022·四川泸州·高二期末（文））动点 在抛物线 上，则点 到点 的距离的最小
值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B设 ，则 ，当 时， 取得最小值，最小值为
故选：B
例题2．（2022·辽宁·东北育才学校模拟预测）已知抛物线 ，圆 ．若点 ，
分别在 ， 上运动，且设点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
易知 即为抛物线 的焦点，即 ，设 ，∴
∴
当 时，上式 ，取等条件： ，
即 时，取得最小值
故选：A．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点坐标为 ，则抛物线上的动点
到点 的距离 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
解：由题意，抛物线的标准方程为： ，
设抛物线上的动点 的坐标为 ，则：
由 ，所以
由 ，
所以 ，
即动点 到点 的距离 的最小值为 .
故选：C
同类题型归类练
1．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知圆 ，点 在抛物线 上运动，过
点 引直线 ， 与圆 相切，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）A． B．2 C． D．8
【答案】C
圆 的方程： ，
可知 ， ， ， ，
故四边形 的面积 ，
，
当 取最小值时 最小，
设 ，则 ，
当 时， 取最小值为 ，
的最小值为 ．
故选： ．
2．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知F是抛物线 的焦点，A为抛物线上的动点，点 ，
则当 取最大值时， 的值为___________.
【答案】
设 ，则 ，而 ，
所以 ,
当且仅当 时等号成立，
所以 取最大值时 ，此时 .
故答案为：3．（2022·全国·高二课时练习）若抛物线 上一点 到焦点的距离为6，P、Q分别为抛
物线与圆 上的动点，则 的最小值为______．
【答案】 ##
由题设及抛物线定义知： ，可得 ，故 ，
而 的圆心为 ，半径为1，
所以 最小，则 共线且 ，故只需 最小，
令 ，则 ，且 ，
当 时， ，故 的最小值为 .
故答案为：
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若
，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 .
故选：B
2．（2021·天津·高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，
抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心
率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
3．（2021·全国·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
4．（2021·全国·高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点，
与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______.
【答案】
抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，
因为 ，所以 ,，
所以 的准线方程为
故答案为： .
5．（2021·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴与于点 .若
，则点 的横坐标为_______； 的面积为_______．
【答案】 5
因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5； .
