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第 05 讲 数列章节总结 (精讲）
一、数列求通项
题型一：数列前 项和 法
题型二：数列前 项积 法
题型三：累加法；累乘法
题型四：构造法
题型五：倒数法
题型六：隔项等差(等比）数列
二、数列求和
题型一：倒序相加法
题型二：分组求和法
题型三：裂项相消法
题型四：错位相减法
题型五：奇偶项讨论求和
题型六：插入新数列混合求和
一、数列求通项
题型一：数列前 项和 法
例题1．设正项数列 的前 项和为 ，且 .求 的通项公式；
例题2．已知数列 的前 项和为 ， ，且 ， ．
求数列 的通项公式；
例题3．已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且满足 ．
求 及 ；
例题4．已知数列 满足 ．
求数列 的通项公式；
例题5．已知数列 满足： ， ．
求数列 的通项公式；
例题6．各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ，数列 为等比数列，且
.
(1)求数列 ､ 的通项公式；
例题7．设数列 满足 ， .
求数列 的通项公式；例题8．已知正项数列 满足 ，前n项和 满足
求数列 的通项公式；
例题9．已知数列 的前n项和 ，满足 ， .
求证：数列 是等差数列；
例题10．已知首项为1的数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
题型二：数列前 项积 法
例题1．数列 的前 项和为 ，数列 的前 项积为 ，且 ．求
和 的通项公式；
例题2．已知数列 满足 ．
求数列 的通项公式：
例题3．设各项为正数的数列 的前 项和为 ，数列 的前 项积为 ，且 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列 的通项公式．例题4．已知数列 的前n项积 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项为 ，求 的最小值.
例题5．设首项为2的数列 的前 项积为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
例题6．已知数列 的前 项积 ，数列 为等差数列，且 ， ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
题型三：累加法；累乘法
例题1．（1）已知数列 是正项数列， ，且 ．求数列 的通项公式；
（2）已知数列 满足 ， ， ．求数列 的通项公式．
例题2．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 满足 ， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
例题3．已知数列 的前 项和为 ，已知 ，且当 ， 时， ．
(1)证明：数列 是等比数列；(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
例题4．已知数列 满足 ， ， .
(1)求 的通项公式.
例题5．数列 满足 ， ， ．（ ， ）．
(1)证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
例题6．已知数列 满足： 且 .
(1)求数列 的通项公式；
例题7．数列 与 满足 ，且 ， ．
(1)若 是等比数列， ，求 的前 项和 ；
(2)若 是各项均为正数的等比数列，前三项和为14，求 的通项公式．
例题8．已知 是数列 的前 n项和， ，且当 时， 成等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，若 ，求正整数 的值．
例题9．已知等差数列 的前 项和为 ，满足 ， ．数列 满足 ， ，．
(1)求数列 ， 的通项公式；
例题10．数列 满足： ；数列 满足： ，且 .
求数列 和 的通项公式；
题型四：构造法
例题1．设数列 的前 项和 ．
求数列 的通项公式；
例题2．已知数列 的首项 ，且满足 （ ），求数列 的通项公式.
例题3．已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式.
例题4．设数列 满足： .求数列 的通项公式.
例题5．已知数列 满足 .
求数列 的通项公式；例题6．已知数列 的前 项和为 ，其中 ，满足 ．
证明数列 为等比数列；
例题7．已知数列 中， ．证明数列 是等比数列并求数列 的通项公
式；
题型五：倒数法
例题1．已知数列 中， ，
证明：数列 是等比数列
例题2．设数列 的前 项和为 ，已知 ， .
求数列 的通项公式；
例题3．已知数列 满足 ， .
求数列 的通项公式；
例题4．在数列 中，
求数列 的通项；例题5．在数列 中, ,并且对于任意 ,都有 .
证明数列 为等差数列,并求 的通项公式;
题型六：隔项等差(等比）数列
例题1．设各项均不等于零的数列 的前 项和为 ，已知 .
求 的值，并求数列 的通项公式；
例题2．已知数列 的前 项和 ， ， ， ．
计算 的值，求 的通项公式；
例题3．已知数列 各项都不为 ， 且满足 ，
(1)求 的通项公式；
例题4．设数列 的前 项和为 ，且满足 （ 为常数）.
(1)若 ，求 .
(2)是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
例题5．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列 满足 ， ， .
求数列 的通项公式 ；例题6．（2022·浙江省富阳中学高三阶段练习）数列 满足 ，求数列 的通项公
式；
二、数列求和
题型一：倒序相加法
例题1．已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上，
函数 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)令 ，求数列 的前2020项和 .
例题2．（2021·全国·高二）已知数列 的前n项和 ，函数 对任意的
都有 ，数列 满足 ．
（1）分别求数列 、 的通项公式；例题3．（2020·河南大学附属中学高二阶段练习）已知函数 ，设数列 满足 ，
且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若记 ，2，3， ， ，求数列 的前 项和 .
例题4．（2021·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，函数 对
任意的 都有 ，数列 满足 … .
（1）求数列 ， 的通项公式；
题型二：分组求和法
例题1．已知数列 是等差数列， 是等比数列， ， ， ， .
(1)求 、 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
例题2．已知等差数列 的前 项和为 ，数列 为正项等比数列，满足 ， ，
是 与 的等差中项．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ， 是数列 的前 项和，求 ．
例题3．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
例题4．已知 是等差数列，其前 项和为 ，若 ， 成等比数列.(1)求 的通项公式；
(2)设 数列 的前项和为 ，求 .
题型三：裂项相消法
例题1．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
例题2．已知数列 对任意的 都满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和为 ．
例题3．等比数列 中，首项 ，前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
例题4．已知数列 的前 项和为 ，若 .
(1)求证：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.
例题5．设等比数列 满足 ， ．(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求 的取值范围．
例题6．已知数列 中， ．
(1)证明： 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
例题7．已知数列 和 的通项公式： ，
(1)求数列 的前 项和 ．
(2)求数列 的前 项和 ．
例题8．已知等差数列{ }的公差为2，前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)令 ，设数列{ }的前 项和 ，求 .
例题9．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ；数列 的前 项和 ，且 ，
数列 的 ， ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，当 时，求证： ．题型四：错位相减法
例题1．已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， ．
(1)求 、 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
例题2．设数列 的前 项和 满足 （ ），且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和
例题3．设数列 的前 项和为 ，若 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
例题4．若数列 满足 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
例题5．已知数列 满足 ，且 .
(1)求 ， ，并猜想 的通项公式；
(2)用数学归纳法证明（1）的猜想结果；
(3)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .例题6．已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
题型五：奇偶项讨论求和
例题1．设各项非零的数列 的前 项和记为 ，记 ，且满足 ．
(1)求 的值，证明数列 为等差数列并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
例题2．已知数列 满足 ， .
(1)证明：数列 为等比数列.
(2)求数列 的前 项和 .
例题3．设数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 的表达式
例题4．已知等差数列 满足： ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足： ，求 的前 项和 .例题5．记数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 数列 的前 项和为 ，求
题型六：插入新数列混合求和
例题1．数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，且数列 的前 项和为
．
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
(2)抽去数列 中点第1项，第4项，第7项，…，第 项，余下的项顺序不变，组成一个新数列
，数列 的前 项和为 ，求证： ．
例题2．已知公差为正数的等差数列 ， 与 的等差中项为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)从 中依次取出第 项、第 项、第 项、…、第 项，按照原来的顺序组成一个新数列 ，求数
列 的前 项和 ．
例题3．设数列 的前 项和为 ， ， ， .
(1)证明： 为等差数列；
(2)设 ，在 和 之间插入 个数，使这 个数构成公差为 的等差数列，求 的前 项和.
例题4．已知数列 的前 项和为 ，
(1)求 的通项公式：(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成
一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，求 的值.
例题5．已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，求 的前 项和 ．
