文档内容
第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：基本事实的应用
题型二：空间两条直线的位置关系
题型三：立体几何中的截线(截面)问题
角度1：立体几何中的截线
角度2：立体几何中的截面
题型四：异面直线所成角
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：与平面有关的基本事实及推论
1、与平面有关的三个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
数学语言： , , 三点不共线 有且只有一个平面 ,使 , , .
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
数学语言： , ,且 ,
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线数学语言： ,且 ,且
2、基本事实1的三个推论
推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
知识点二：空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平 图
行 形
关 语
系 言
符
号
语
言
相 图
交 形
关 语
系 言
图
形
语
言独 图
有 形
关 语
系 言
图 与 是异面直线
形
语
言
知识点三：平行公理和等角定理
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行
数学符号语言；若直线 ,则
2、等角定理
①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
②图形语言：
③符号语言： , 或
④作用：判断或证明两个角相等或互补
知识点四：异面直线所成角
（1）异面直线的概念
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
（2）异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托
（3）异面直线的判定
①定义法 ②两直线既不平行也不相交（4）异面直线所成角取值范围：
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一课时练习）从圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个
底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行
2．（2022·全国·高一课时练习）在三棱锥 中，与 是异面直线的是( )
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知 ， ，若 ，则 等于( )
A． B． 或 C． D．以上结论都不对
4．（2022·全国·高一课时练习）如图，空间四边形 中，E，F，G，H分别是 ， ， ，
的中点，则四边形 是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
5．（2022·全国·高一课时练习）若直线l在平面 外，则l与平面 的公共点个数为( )
A．0 B．0或1 C．1 D．2
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：基本事实的应用
典型例题
例题1．（2022·北京市第十二中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．两个平面可以只有一个公共点
C．三条平行直线一定共面 D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面
例题2．（2022·江苏·高一课时练习）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；
③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是
平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.
题型归类练
1．（2022·北京·101中学高一期末）空间四点 共面而不共线，那么这四点中（ ）
A．必有三点共线 B．至多有三点共线C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
2．（2022·湖北·高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和该直线外一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两条直线确定一个平面
3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的个数是（ ）
两两相交的三条直线可确定一个平面
两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行
过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
A． B． C． D．
4．（2022·山西·平遥县第二中学校高一期中）在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、
F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P，那么（ ）
A．点P不在直线AC上 B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面ABC内 D．点P必在平面ABC外
题型二：空间两条直线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末（理））如图，两个正方形 ， 不在同一个平面内，点 ，
分别为线段 ， 的中点，则直线 与 的关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定
例题2．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一阶段练习）在空间内，如果两条直线 和 没有公共点，那
么 与 的位置关系是______．
例题3．（2022·上海虹口·高二期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为
________．
题型归类练
1．（2022·山西忻州·高一期末）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确
的是（ ）A．直线 与直线 异面 B．直线 与直线 共面
C．直线 与直线 异面 D．直线 与直线 共面
2．（2022·全国·高一）正方体中，点 ， ， ， 是其所在棱的中点，则 与 是异面直线的图形是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知a和l是异面直线，b和l也是异面直线，则直线a和b的位置关系是
______．
题型三：立体几何中的截线(截面)问题
角度1：立体几何中的截线，截面
典型例题
例题1．（2022·山东青岛·高一期末）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则平
面 截正方体所得的截面多边形的形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
例题2．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一阶段练习）棱长为1的正方体
中，点 为棱 的中点，则过 ， ， 三点的平面截正方体的截面周长为________．
例题3．（2022·广西钦州·高一期末）如图，沿正方体相邻的三个侧面的对角线截得一个体积为 的三棱锥，
则该正方体的棱长为________．例题4．（2022·广东韶关·高一期末）在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，则过
、 、 三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ）
A．5 B． C． D．
题型归类练
1．（2021·安徽·安庆九一六学校高二阶段练习（理））在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个
角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有 .设想正方形换成正方体，把截
线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥 ，如果用 ， ， 表
示三个侧面面积， 表示截面面积，那么类比得到的结论是
A． B．
C． D．
2．（多选）（2022·浙江温州·高一期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原
来的几何体可能是（ ）
A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体3．（2022·江苏盐城·高二期末）如图，在直三棱柱 中， ，点P在
棱BC上运动，则过点P且与 垂直的平面 截该三棱柱所得的截面周长的最大值为_________．
4．（2022·浙江·杭十四中高一期末）“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图1，正方
体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，
截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为 ，则
正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为__________．
5．（2021·全国·高二课时练习）如图所示是一个三棱锥，欲过点P作一个截面，使得截面与底面平行，该
怎样在侧面上画出截线？题型四：异面直线所成角
典型例题
例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）正四面体 中， 是 中点，则异面直线 与 所
成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏·高一课时练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在
鳖臑 中， 平面 ， ，且 ， 为 的中点，则异面直线
与 夹角的余弦值为（ ）
例题3．（2022·天津·耀华中学高一期末）如图，已知空间四边形 的四条边以及对角线的长均为2，
､ 分别是 与 的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值为___________.题型归类练
1．（2022·四川南充·高二期末（文））将边长为1的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，
如图， 长为 ， 长为 ，其中 与 在平面 的同侧，则异面直线 与 所成的角的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川内江·高二期末（理））如图，在直三棱柱 中， 面 ，
，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北恩施·高一期末）在正方体 中，E，F分别为棱BC， 的中点，则异面
直线EF与 所成角的余弦值为______．4．（2022·湖北武汉·高一期末）已知四棱锥 的底面 是矩形，其中 ，侧棱
底面 ，且直线 与 所成角的余弦值为 ，则四棱锥 的外接球体积为
___________.
5．（2022·湖南·高一期末）在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成
角的正切值为________.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成
的角为（ ）
A． B． C． D．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在四边形ABCD中， ， ，P为空间中的
动点， ，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知正方体中 ，E，G分别为 ， 的中点，则直线 ，
CE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．(多选）（2022·全国·高考真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为5．（多选）（2022·湖北·模拟预测）棱长为1的正方体 中，P、Q分别在棱BC、 上，
， ， ， 且 ，过A、P、Q三点的平面截正方体 得
到截面多边形，则（ ）
A． 时，截面一定为等腰梯形 B． 时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形 D．存在x，y使 与截面平行
