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专题16.3 二次根式（直通中考）
一、单选题
1．（2023·江苏泰州·统考中考真题）计算 等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2010·江苏无锡·中考真题） 化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·黑龙江绥化·中考真题）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018·内蒙古赤峰·中考真题）代数式 中x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·山东潍坊·统考中考真题）在实数1，－1，0， 中，最大的数是（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．
7．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．C． D．
8．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）二次根式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在
数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2005·广东深圳·中考真题） 、 在数轴上的位置如图所示，那么化简 的结果是
（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·河北·统考中考真题）与 结果相同的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．（2021·湖南娄底·统考中考真题） 是某三角形三边的长，则 等于
（ ）
A． B． C．10 D．4
12．（2019·湖北恩施·统考中考真题）函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
13．（2010·云南昆明·中考真题）下列各式运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．14．（2018·四川绵阳·中考真题）等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2015·四川绵阳·统考中考真题）要使代数式 有意义，则x的（ ）
A．最大值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
二、填空题
16．（2013上·江苏无锡·九年级统考期末）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
．
17．（2020·湖北黄冈·中考真题）若 ，则 ．
18．（2010·辽宁大连·九年级统考期中）二次根式 的值是
19．（2016·浙江金华·统考中考真题）能够说明“ 不成立”的x的值是 （写出一个即
可）．
20．（2015·贵州毕节·统考中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 = ．
21．（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：， ， ，…
请利用你所发现的规律，计算： ．
22．（2023·湖北·统考中考真题）计算 的结果是 ．
23．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得 是整数； ．
24．（2023·四川凉山·统考中考真题）计算 ．
25．（2022·四川宜宾·统考中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中
提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘
于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，
即为 ．现有周长为18的三角形的三边满足 ，则用以上给出的
公式求得这个三角形的面积为 ．
26．（2020·西藏·统考中考真题）计算：（π﹣1）0+|﹣2|+ ＝ ．
27．（2019·四川绵阳·统考中考真题）单项式 与 是同类项，则 ．
28．（2019·四川内江·统考中考真题）若 ，则 ．
29．（2017·湖北鄂州·中考真题）若y= ﹣6，则xy= ．
30．（2008·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知实数 在数轴上的位置如图所示，则以下三个命题：
（1） ；（2） ；（3） ，其中真命题的序号为 ．
三、解答题31．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）
（1）计算： ． （2）解不等式： ．
32．（2021·江苏南通·统考中考真题）
（1）化简求值： ，其中 ；
（2）解方程 ．
33．（2021·湖北·统考中考真题）
（1）计算： ； （2）解分式方程： ．
34．（2020·湖南邵阳·中考真题）已知： ，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值： ．35．（2021·山东潍坊·统考中考真题）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： （x，y）是函数y＝2x与 的图
象的交点坐标．
36．（2023·湖南张家界·统考中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a， ， ， 的正方形面积分别记为 ， ， ， ．
则
例如：当 ， 时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当 ， 时， ______， ______；
（2）当 ， 时，把边长为 的正方形面积记作 ，其中n是正整数，从（1）中的计
算结果，你能猜出 等于多少吗？并证明你的猜想；
（ 3 ） 当 ， 时 ， 令 ， ， ， … ， ， 且，求T的值．
参考答案：
1．B
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解： ．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．B
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0知： ，可求出x的范围．
解：根据题意得： ，
解得： ，
故选：B．
【点拨】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．B
【分析】根据二次根式的性质求出即可．
解： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．
4．D
【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断．
解：A. ,本选项不成立；
B. ，本选项不成立；
C. = ，本选项不成立；
D. ，本选项成立.故选：D.
【点拨】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等
知识点是解答问题的关键．
5．A
【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．
解：由题意，得：3﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≤3且x≠1，
在数轴上表示如图：
．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数且分母不能为零得
出不等式．
6．D
【分析】正数大于0，负数小于0，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根．
解： ，∴
∴
故选：D．
【点拨】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的关键．
7．D
【分析】根据二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则逐项计算即可
判断．
解：3和 不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算错误，不符合题意；
，故D计算正确，符合题意．故选D．
【点拨】本题考查二次根式的加法，二次根式的性质，幂的乘方，同底数幂的乘法．熟练掌握各运算
法则是解题关键．
8．C
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
解：根据题意得， ，
解得 ，
在数轴上表示如下：
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解
二次根式有意义的条件是解题关键．
9．C
【分析】根据差的绝对值是大数减小数，二次根式的性质，可化简代数式，根据整式的加减，可得答
案．
解：原式=a-b-a
=-b．
故选：C．
【点拨】本题考查了实数与数轴，利用差的绝对值是大数减小数、二次根式的性质化简整式是解题关
键．
10．A
【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．
解：
∵ ，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理
数混合运算的性质，即可得到答案．
11．D
【分析】先根据三角形三边的关系求出 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
解： 是三角形的三边，，
解得： ，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出 的范围，再对二次根
式化简．
12．D
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件解答即可.
解：∵ 有意义，
∴x+1≠0，2-3x≥0，
解得： 且 ，
故选D.
【点拨】本题考查分式及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意
义，被开方数大于等于0.
13．B
解：根据完全平方公式，二次根式的化简、同底数幂的乘法法则，平方等概念分别判断．
解答：解：A、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；
B、 = =3，正确；
C、a3?a4=a7，错误；
D、 ，错误．
故选B．
14．B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出 的范围．
解：由题意可知： ,
解得： ,
故选： ．【点拨】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.
15．A
解：试题分析：要使代数式 有意义，必须使2-3x≥0，即x≤ ，所以x的最大值为 ，故答案选
A.
考点：二次根式有意义的条件.
16．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是
解答的关键．
17．2
【分析】根据非负数的性质进行解答即可．
解： ，
， ，
， ，
，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0，是解题的关键．
18．3
【分析】先求﹣3的平方，再利用二次根式的性质化简即可．
解： ，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，正确运用二次根式的性质是解此题的关键．
19．如-1等（只要填一个负数即可）．
解：试题分析：若想 不成立，则x＜0，只要在x＜0内任取一数即可．
考点：二次根式的意义．20．－b
解：根据数轴可得：b＞0，a＜0，且 ＞ ，∴a﹣b＜0，
则原式=﹣a﹣（b﹣a）=﹣a﹣b+a=﹣b，
21． /
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
解：
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
22．1
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，然后计算加减法即可．
解：
，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
23．8
【分析】要使 是整数，则 要是完全平方数，据此求解即可
解：∵ 是整数，
∴ 要是完全平方数，∴正整数m的值可以为8，即 ，即 ，
故答案为：8（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到 要是完全平方数是解题的关键．
24．
【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．
解：
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都
是1是解题的关键．
25．
【分析】根据周长为18的三角形的三边满足 ，求得 ，代入公式即可求
解．
解：∵周长为18的三角形的三边满足 ，设
∴
解得故答案为：
【点拨】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
26．3+2
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：（π﹣1）0+|﹣2|+
＝1+2+2
＝3+2 ．
故答案为：3+2 ．
【点拨】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，
和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号
里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
27．1
【分析】先根据同类项的定义列出方程，再结合二次根式的性质求出 ， 的值，然后代入代数式计
算即可．
解：由题意知 ，即 ，
∴ ， ， ，
则 ，
故答案为1．
【点拨】此题考查了同类项的定义和二次根式的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的
定义，难度一般．
28．1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
解：∵ ，
∴ ．由 ，得 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案是：1002．
【点拨】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
29．-3
解：由题意可知： ，
解得：x= ，
∴y=0+0﹣6=﹣6，
∴xy=﹣3，
故答案为﹣3．
30．（1）；（3）
【分析】根据数轴确定 的符号和大小，再逐一进行判断，即可得出结论．
解：由数轴可知， ，
∴ ， ，
由于 则 ，
故真命题的序号为（1）（3）；
故答案为：（1）（3）．
【点拨】本题考查不等式的性质，二次根式的性质．解题的关键是正确的识图，判断出 的符号和
大小．
31．（1）1；（2）
【分析】（1）根据零指数幂的性质、二次根式的化简、绝对值的性质依次解答；
（2）先移项，再合并同类项，最后化系数为1即可解答．
解：（1）原式 ．（2）移项得 ，
即 ，
∴ ．
∴原不等式的解是 ．
【点拨】本题考查实数的混合运算、零指数幂、二次根式的化简和解一元一次不等式等知识，是基础
考点，掌握相关知识是解题关键．
32．（1）原式=4；（2） ．
【分析】（1）先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为 ，再将已知条件代入即可；
（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解
即可．
解：（1）
=
=
当 时，原式= = ；
（2） ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
则原方程的解为： ．
【点拨】本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，
注意分式方程要检验．
33．（1）8；（2） ．
【分析】（1）先计算零指数幂、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得；
（2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得．
解：（1）原式 ，
，；
（2） ，
方程两边同乘以 得： ，
移项、合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
故方程的解为 ．
【点拨】本题考查了零指数幂、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和方程的
解法是解题关键．
34．（1） ；（2） ，0
【分析】（1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出m、n的方程，解之即可求出m、n
的值；
（2）先利用整式的运算法则化简，再代入m、n值计算即可求解．
解：（1）根据非负数得：m-1=0且n+2=0，
解得： ，
（2）原式= = ，
当 ，原式= ．
【点拨】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公
式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键．
35．（1）9 ；（2）y-x，1或-1．
【分析】（1）根据实数的运算法则计算；
（2）首先根据图象交点的求法得到x与y的值，再对原式进行化简，然后把x与y的值代入化简后的
算式可得解．
解：（1）原式=1+9 +（1- ×18）
=1+9 -1=9 ；
（2）由已知可得：，
解之可得： 或 ，
∵原式=
=
=y-x，
∴当 时，原式=2-1=1；
当 时，原式=-2-（-1）=-1；
∴原式的值为1或-1．
【点拨】本题考查实数与函数的综合应用，熟练掌握实数的运算法则、分式的化简与求值、函数图象
交点的求法是解题关键．
36．（1） ， ；（2）猜想结论： ，证明见分析；（3）
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
（1）解：
当 ， 时，原式 ；
当 ， 时，
原式 ；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【点拨】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
