文档内容
第 05 讲 数列章节总结 (精讲）
一、数列求通项
题型一：数列前 项和 法
题型二：数列前 项积 法
题型三：累加法；累乘法
题型四：构造法
题型五：倒数法
题型六：隔项等差(等比）数列
二、数列求和
题型一：倒序相加法
题型二：分组求和法
题型三：裂项相消法
题型四：错位相减法
题型五：奇偶项讨论求和
题型六：插入新数列混合求和
一、数列求通项
题型一：数列前 项和 法
例题1．设正项数列 的前 项和为 ，且 .求 的通项公式；
【答案】(1)
当 时， ，即 ，
解得 或 （舍），
∴ ，
因为 ，
所以当 时， ，
∴ ，
∴ .
∵ ，∴ ，
∴ 是以7为首项，3为公差的等差数列，
∴ .
例题2．已知数列 的前 项和为 ， ，且 ， ．
求数列 的通项公式；
【答案】(1)
当 时， ，
故 ，又 ，且 ，
，满足 ，
故数列 为公差为3的等差数列，通项公式为 ，
例题3．已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且满足 ．
求 及 ；
【答案】(1) ；
由 ，得 ．
因为 ，所以 ．
又 ①， ②，
① ②得 即 ．又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
故 ．
例题4．已知数列 满足 ．
求数列 的通项公式；
【答案】(1) (2)
⑴ ①
②
① ②可得
当 时，
数列 的通项公式为
例题5．已知数列 满足： ， ．
求数列 的通项公式；
【答案】（1） （ ）．（2）证明见解析
由已知得
由 ，①
得 时， ，②
①-②得
∴ ，
也适合此式，
∴ （ ）．
例题6．各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ，数列 为等比数列，且
.(1)求数列 ､ 的通项公式；
【答案】(1) ，
∵ ①，
∴ ，∵ ，∴
当 时， ②，
由①-②得
∴ ，又 ，
∴ ，
∴数列 是公差为1，首项为1的等差数列.
∴
∵ ， ，数列 为等比数列，
∴
例题7．设数列 满足 ， .
求数列 的通项公式；
【答案】（1） ；
因为 ， ， ①
所以当 时， .
当 时， ，②
①-②得， ．
所以 .
因为 ，适合上式，所以 .
例题8．已知正项数列 满足 ，前n项和 满足
求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；解：∵
∴
∴ ，∴ 是以1为首项，1为公差的等差数数列，
∴ ，即 ，
当 时， ，
当 时， 也成立，
∴ .
例题9．已知数列 的前n项和 ，满足 ， .
求证：数列 是等差数列；
【答案】(1)证明见解析
证明：∵
∴
由已知易得 ，
∴
∴数列 是首项 ，公差为 的等差数列；
例题10．已知首项为1的数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
依题意， ，
故 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ， ．
当 时， ，
又当n＝1时， 也满足上式，所以 ．
题型二：数列前 项积 法例题1．数列 的前 项和为 ，数列 的前 项积为 ，且 ．求
和 的通项公式；
【答案 ；
当 时， ，当 时， ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以
；
当 时， ，当 时， ， 时也符合，所以 ．
例题2．已知数列 满足 ．
求数列 的通项公式：
【答案】 ；
(1)
由题意，数列 满足 ，
则：当 时， ，
得： ，
当 时， ，所以： ．
由于： ，
所以： ，
则：
．
例题3．设各项为正数的数列 的前 项和为 ，数列 的前 项积为 ，且 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列 的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2)
(1)当 时， ，即 ，则 ，
当 时，由 得： ，所以 ，
所以数列 是以 为首项，2为公差的等差数列.
(2)由（1）可知 ，解得 ，
所以 ，经检验， 满足 ，
，
当 时， ，由（1）知 ，
综上所述，
例题4．已知数列 的前n项积 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项为 ，求 的最小值.
【答案】(1) (2)
(1) .
当 时， ；
当 时， ，也符合 .
故 的通项公式为 .
(2) ，
，是以 为首项，2为公差的等差数列，
，
当 时， 的最小值为 .
例题5．设首项为2的数列 的前 项积为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
(1)∵ ，
∴ ，即 ，
由累乘法得，
，
当 时， 也满足上式，
∴ .
(2)由（1）知， ，
∴ ，
则
例题6．已知数列 的前 项积 ，数列 为等差数列，且 ， ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ．(2) .
(1)解：因为数列 的前n项积 ，所以 ，所以 ，
两式相除得 ，因为数列 为等差数列，且 ， ，所以 ，即 ，所以数列 的公差为
，
所以 ，
所以 ， ．
(2)解：由（1）得 ，所以
，
，
所以 ，
所以 .
题型三：累加法；累乘法
例题1．（1）已知数列 是正项数列， ，且 ．求数列 的通项公式；
（2）已知数列 满足 ， ， ．求数列 的通项公式．
【答案】（1） ；（2） .
解：（1）由 ，得 ，
对任意的 ， ，则 ，则 ，
所以，数列 是公比为 的等比数列， ， ；
（2）由 ，得： ，
又 ，所以，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
得 ，
当 时， ， ， ， ，
累加得 ， ，则 ，
也满足 ，故对任意的 ， .
例题2．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 满足 ， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
【答案】(1) ， ，
由 ，得当 时， ，当 时， ，
两式相减得 ，
，
数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
.
由 ， ， ， ，
得 ， ，…， ，
累加得
，
， .
例题3．已知数列 的前 项和为 ，已知 ，且当 ， 时， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：由题意，当 时，∴ ，
整理，得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列；
(2)由（1）知， ，
则 ， ， ，…， ，
各项相加，可得 ，当 也成立，
-1 ， ，
故
，综上， .
例题4．已知数列 满足 ， ， .
(1)求 的通项公式.
【答案】(1)
(1)解：由 ，
得 ， ，…， ，
由累加法得
，
所以 ，
又 满足 ，
又因为 ，
所以 .
例题5．数列 满足 ， ， ．（ ， ）．
(1)证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
(1)解：由 ，
得 ， ，
又 ，则 ，
∴数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
当 时， ，
则
= ，
又当 时， 符合上式，
∴ ．
例题6．已知数列 满足： 且 .
(1)求数列 的通项公式；【答案】(1)
由已知 以及 可知 ，从而有 ，
根据累乘法得： ，整理得： ，
由于该式对于 也成立，于是数列 的通项公式为： ；
例题7．数列 与 满足 ，且 ， ．
(1)若 是等比数列， ，求 的前 项和 ；
(2)若 是各项均为正数的等比数列，前三项和为14，求 的通项公式．
【答案】(1) (2)
(1)设 的公比为q， ， ，∴
∴ ，∴数列 是等差数列，且公差 ，
前n项和 ．
(2)设 的公比为p，则 ，且
得 ， ，则 ．即 ，
∴ ．
符合上式，∴ ．
例题8．已知 是数列 的前 n项和， ，且当 时， 成等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，若 ，求正整数 的值．
【答案】(1) ；(2) .
(1)由题意知当 时， ，
∴ ，整理得 ，由 ，
∴ ，
经检验， 也符合 ．
∴当 时， ．
由 也满足 ，
∴数列 的通项公式为 ．
(2)由（1）得 ，
∴ ．
由 ，得 .
例题9．已知等差数列 的前 项和为 ，满足 ， ．数列 满足 ， ，
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
【答案】(1) ； ；
(1)设等差数列 的公差为d，由题意可得： ，解得： ，
所以 ，所以数列 的通项公式为 ；
因为数列 满足 ， ， ，
所以当 时，
，
又 满足，所以数列 的通项公式为 .
例题10．数列 满足： ；数列 满足： ，且 .
求数列 和 的通项公式；【答案】(1) ，
当 时， ;
当 时，
与条件等式两边相减，得
所以 .
所以 =1,
.
故有
所求通项公式分别为 和
题型四：构造法
例题1．设数列 的前 项和 ．
求数列 的通项公式；
【答案】(1)
因为 ，①
时， ，
时， ②
①-②得 ，所以 ， ，
所以数列 是 为首项， 为公比的等比数列，
故
例题2．已知数列 的首项 ，且满足 （ ），求数列 的通项公式.
【答案】
由 ，得 ，
因为 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 .
例题3．已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式.
【答案】∵ ，
∴ ，
∴数列 是等差数列，公差为 ，又 ，
∴ ，
∴ .
例题4．设数列 满足： .求数列 的通项公式.
【答案】 .
由 知： ，而 ，
∴数列 是首项、公差为 的等差数列，即 ，
∴ .
例题5．已知数列 满足 .
求数列 的通项公式；
【答案】（1） ；（2） .
解：由 ，
可得 =1，
则数列 是首项为 =1，公差为1的等差数列，
则 = ，
即 ；
例题6．已知数列 的前 项和为 ，其中 ，满足 ．
证明数列 为等比数列；
【答案】（1）证明见解析；
由 可得 ，
因为 ，所以
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列例题7．已知数列 中， ．证明数列 是等比数列并求数列 的通项公
式；
【答案】证明见解析； ．
解：因为 ，所以 ．
所以 ，且 ．
所以数列 是以 为首项，3为公比的等比数列．
因此 ，
所以 ．
题型五：倒数法
例题1．已知数列 中， ，
证明：数列 是等比数列
【答案】（1）证明见解析 ；
证明：由 ，知
又 ，∴ 是以 为首项，3为公比的等比数列
例题2．设数列 的前 项和为 ，已知 ， .
求数列 的通项公式；
【答案】（1） ；
（1）由 可得： ，即 ， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，，整理可得： .
例题3．已知数列 满足 ， .
求数列 的通项公式；
【答案】（Ⅰ） ；
， ，
又 ，所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
， ；
例题4．在数列 中，
求数列 的通项；
【答案】（1）
解：（1）由已知得：
，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， ，
例题5．在数列 中, ,并且对于任意 ,都有 .
证明数列 为等差数列,并求 的通项公式;
【答案】（1）答案见解析, （2）,即:
,
数列 是首项为 ,公差为 的等差数列.
根据等差数列通项公式可得:
,故: .
题型六：隔项等差(等比）数列
例题1．设各项均不等于零的数列 的前 项和为 ，已知 .
求 的值，并求数列 的通项公式；
【答案】(1) ， ，
因为 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
又因为 ，当 时， ，
两式相减得： ，又因为 ，
所以 ，
当 为偶数时， 的奇数项是以 为首项，公差为4的等差数列，所以 ，
当 为奇数时， 的偶数项是以 为首项，公差为4的等差数列，所以 ，
所以， .
例题2．已知数列 的前 项和 ， ， ， ．
计算 的值，求 的通项公式；
【答案】(1) ，
解：当 时， ，解得 ，
由题知 ①， ②，
由② ①得 ，因为 ，所以 ，
于是：数列 的奇数项是以 为首项，以4为公差的等差数列，即 ，
偶数项是以 为首项，以4为公差的等差数列，
即
所以 的通项公式 ；
例题3．已知数列 各项都不为 ， 且满足 ，
(1)求 的通项公式；
【答案】(1) ；
①
当 时， ②
① ②
的奇数项和偶数项各自成等差数列且
为奇数），
（ 为偶数
例题4．设数列 的前 项和为 ，且满足 （ 为常数）.
(1)若 ，求 .
(2)是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在，
解：（1）由 可得 ，
两式相减可得 ，即 .
若 ，则 ，
所以 .
(2)解：存在 ，使得数列 为等差数列.
理由如下.
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 .假设存在 ，使得 为等差数列，则 ，解得 ，
所以 ，则 ，
从而 ，故数列 的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，且公差均为2.
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， .
所以 ， ，故 符合题意.
例题5．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列 满足 ， ， .
求数列 的通项公式 ；
【答案】(1)
解：由题意，当 时， ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以， ，
所以数列 的奇数项和偶数项都是公比为 的等比数列.
所以当 为奇数时，设 ，则 ，
当 为偶数时，设 ，则 .
因此， .
例题6．（2022·浙江省富阳中学高三阶段练习）数列 满足 ，求数列 的通项公
式；
【答案】(1)
依题意，数列 满足 ， ，
两式相除并化简得 ， ，
所以 是公比为 的等比数列，其中 的首项为 ， 的首项为 .
所以 ，
所以 .
二、数列求和题型一：倒序相加法
例题1．已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上，
函数 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)令 ，求数列 的前2020项和 .
【答案】(1) (2) (3)
(1)因为点 均在函数 的图象上，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，适合上式，所以 .
(2)因为 ，所以 ，
所以 .
(3)由（1）知 ，可得 ，
所以 ，①
又因为 ，②
因为 ，
所以① ②，得 ，
所以 .
例题2．（2021·全国·高二）已知数列 的前n项和 ，函数 对任意的
都有 ，数列 满足 ．
（1）分别求数列 、 的通项公式；【答案】（1） ， ；（2）存在， ．
（1） ， ，
，
时满足上式，故 （ ），
∵ ，∴ ，
∵ ①
∴ ②
∴①+②，得 ，∴ .
例题3．（2020·河南大学附属中学高二阶段练习）已知函数 ，设数列 满足 ，
且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若记 ，2，3， ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
（1）因为 ，所以由 得 ，
所以 ， ，
所以 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
则 ，，
，
所以 ，
，
，
两式相加，得：
，
所以 .
例题4．（2021·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，函数 对
任意的 都有 ，数列 满足 … .
（1）求数列 ， 的通项公式；
【答案】（1） ， （2）
（1）因为 即
当 时， ，
当 时， ，
，即
是等比数列，首项为 ，公比为 ，
；
因为 ， .
故 … .
… .
①+②，得 ，题型二：分组求和法
例题1．已知数列 是等差数列， 是等比数列， ， ， ， .
(1)求 、 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， (2)
(1)设等比数列 的公比为 ，则 ， ；
又 ， ，设等差数列 的公差为 ，则 ，
.
(2)由（1）得： ；
.
例题2．已知等差数列 的前 项和为 ，数列 为正项等比数列，满足 ， ，
是 与 的等差中项．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ， 是数列 的前 项和，求 ．
【答案】(1) ， ；(2) .
(1)设等差数列 的公差为d，依题意可知：
，
所以数列 的通项公式为 ，
设等比数列 的公比为q，依题意可知： ，又 ，
所以 ，又 ，
∴ ，
所以数列 的通项公式为 ；(2)由（1）可知：
所以
.
例题3．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2) .
(1)解：设数列 的公差为 ，由题意知 ，解得 .
所以 .
(2)解： ，所以 ，
例题4．已知 是等差数列，其前 项和为 ，若 ， 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 数列 的前项和为 ，求 .
【答案】(1) (2)
(1)设数列 的公差为 ，则
,
∵ 成等比数列，∴ ，
∴ ，
∴ ，
得： 或 （舍去），∴ .
(2)由于 ，所以
.
题型三：裂项相消法
例题1．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)设公差为 ，因为 ， ， 成等数列，
所以 ，即 ，解得 ，或 （舍去），
所以 ;
(2)证明：由（1） ，所以 ，
，
所以 ．
例题2．已知数列 对任意的 都满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和为 ．
【答案】(1) (2)
(1)解：∵ ，∴当 时， ，
当 时， ，
从而有 ，即当 时， ，
又 满足上式，
故数列 的通项公式为 ．(2)解：由题可知， ，
所以 ，
，
所以 .
例题3．等比数列 中，首项 ，前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
(1)设数列 公比为 ，由 ， ，
可得 ，化简得 ，
即 ，所以 ．
(2)由（1）得 ，
所以
所以
..
例题4．已知数列 的前 项和为 ，若 .
(1)求证：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.
【答案】(1)证明见解析， (2)3
(1)证明：由： ①时， 得 .
时： ②
① ② 即 .
，
数列 是首项为2公比为2的等比数列.
.
(2)由（1）得 ，
所以 ，
若 ，
n的最小值为3.
例题5．设等比数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)解：设公比为 ，由 ， ，
所以 ，
解得 ， ，
所以 ．
(2)解：由（1）及 ，所以 ，
所以
因为 ，
即 单调递增，
所以 ，又 ，所以 ，即 ；
例题6．已知数列 中， ．
(1)证明： 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析； (2)
(1)解： ，
即为 ·······①，
又 ，········②，
①-②得 ，即 ，
又当 时， ，
故 ；
从而 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列；
(2)由（1）得 ，
所以 ，
.例题7．已知数列 和 的通项公式： ，
(1)求数列 的前 项和 ．
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
(1) ， ， ，
相减得 ，
所以 ．
(2)因为 ，
所以
例题8．已知等差数列{ }的公差为2，前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)令 ，设数列{ }的前 项和 ，求 .
【答案】(1) (2)
(1)因为等差数列{ }的公差为2，前n项和为 ，
所以 ，
因为 ， ， 成等比数列，
由题意得 ，解得 ，
所以(2)由题意可知，
当n为偶数时，
所以 .
例题9．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ；数列 的前 项和 ，且 ，
数列 的 ， ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，当 时，求证： ．
【答案】(1) ， (2)证明见解析
(1)解：因为 ，由 ，得 ，
所以 ，即 ，
设等差数列 的公差为d，
所以 ，
所以 ．
由 ， ，得 ， ，
两式相减得 ，
即 ，
又 ，
所以数列 是以1为首项、2为公比的等比数列，
则 ；
(2)由（1）知： ，
，
∴．
题型四：错位相减法
例题1．已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， ．
(1)求 、 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， (2)
(1)设 公差为d， 公比为q，则 ， ， ，∴ ．
又∵ ， ，∴ ， ．
(2) ，∴ ，
，
则 ，两式相减得
，
则 ，
．
例题2．设数列 的前 项和 满足 （ ），且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和
【答案】(1)证明见解析；(2) .
(1)∵ ，
∴ ，
两式相减得 ，
又 且 ，解得 ，即 .
∴ ，即 ，又 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)由（1）知 ，∴ ，则 ，
①
②
得： ，
故 .
例题3．设数列 的前 项和为 ，若 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ；(2) .
(1)因为 ．
所以 ，解得 ．
当 时， ，
所以 ，所以 ，即 ．
因为 也满足上式，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ．
(2)由（1）知 ，所以 ，
所以 …①
…②
①-②得
，所以 ．
例题4．若数列 满足 ， ， ．
(1)求 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
(1)因为数列 满足 ， ， ，所以 .
所以数列 为等比数列，设其公比为q（ ）.
所以 ，解得： .
所以 .
即 的通项公式为 .
(2)由（1）可知： ，所以 ，
所以 ①
得： ②
①-②得：
所以
例题5．已知数列 满足 ，且 .
(1)求 ， ，并猜想 的通项公式；
(2)用数学归纳法证明（1）的猜想结果；
(3)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ，猜得： (2)证明见解析(3)
(1)因为 ，且 ，
所以令 ，则 ，得 ，
令 ，则 ，得 ，
猜得： .
(2)证明：（i） 时，猜想成立，（ii）假设 时猜想成立，即 ，
则 时，由 ，
解得 ，
即 时猜想成立，
综上， 时，猜想成立，即 .
(3)由已知得 ，
则 记为①式
记为②式
①式与②式相减得：
，
整理得 ，
所以 .
例题6．已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
(1)设等比数列 的公比为 ，当 时， ，所以 ， ，无解．
当 时， ，所以 解得 ， 或 ， （舍）．
所以 ．
(2) ．所以 ①，则
②，①－②得，
．
所以 ．
题型五：奇偶项讨论求和
例题1．设各项非零的数列 的前 项和记为 ，记 ，且满足 ．
(1)求 的值，证明数列 为等差数列并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；证明见解析； (2)
(1)由题意可知， ，且 ，解得： 或 （舍去）
又当 时， ，所以有
化简得： ，所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列
所以
(2)由(1)可知
当 时，
当 时，
则 ，
①当 是奇数时，②当 是偶数时，
综上所述：
例题2．已知数列 满足 ， .
(1)证明：数列 为等比数列.
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：因为 ， ，
所以 ，
所以数列 是首项为4，公比为4的等比数列；
(2)解：由（1）可得 ，即 ，
则
.
当n为偶数时， ，
则
，
当n为奇数时，则
，综上所述， .
例题3．设数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 的表达式
【答案】（1） ；（2） .
（1）当 时， ，即 ，
当 时， ，
即 ，因此 ，
所以
即 ，经检验， 时成立，所以 ．
（2） ，
所以，当n为偶数时
；
当n为奇数时， ．
综上所述， ．
例题4．已知等差数列 满足： ， .（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足： ，求 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） 为偶数， ； 为奇数， ；
（1）设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得
，解得 ， ，
故 的通项公式为 .
（2）由于 ，
①若 为偶数，结合 ，得
；
②若 为奇数，则 .
综上，当 为偶数时， ，当 为奇数时， .
例题5．记数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 数列 的前 项和为 ，求
【答案】（1） ；（2）
（1）当 时，由 ，可得 ，即有
当 时， ，
即为 ，可得 ，显然， .
所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列，
则 ，即有
（2）当 为偶数时
当 为奇数时，
综上可得，
题型六：插入新数列混合求和
例题1．数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，且数列 的前 项和为
．
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
(2)抽去数列 中点第1项，第4项，第7项，…，第 项，余下的项顺序不变，组成一个新数列
，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1) ， ， (2)证明见解析
(1)由题意得 ，①
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，②
① ②得， ，
当 时， ，也适合上式，所以 ，所以 ，
两式相减得 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ．
(2)数列 为： ，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为
首项，8为公比的等比数列．
所以当 时，
所以 ，
所以 ，显然 是关于k的减函数，所以 ；所以当 时，
所以 ，
所以 ，显然 是关于k的减函数，所以 ；
综上所述， ．
例题2．已知公差为正数的等差数列 ， 与 的等差中项为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)从 中依次取出第 项、第 项、第 项、…、第 项，按照原来的顺序组成一个新数列 ，求数
列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
(1)设等差数列 的公差为 ，
与 的等差中项为 ， ，解得： ；
， ，
；
(2)由（1）得： ，即 ，
.
例题3．设数列 的前 项和为 ， ， ， .
(1)证明： 为等差数列；
(2)设 ，在 和 之间插入 个数，使这 个数构成公差为 的等差数列，求 的前 项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)证明：因为 时， ，则 ，
即 ， ，·
因为 ，·
则 ①，
所以 ②，
则① ②得 ，
即 ，·
所以 为等差数列.
(2)解：由（1）可得 的首项为 ，公差为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，则 ，
记 的前n项和为 ，
则 ①，
所以 ②，
则① ②得 ，·
所以 ，·
所以 .·
例题4．已知数列 的前 项和为 ，
(1)求 的通项公式：
(2)保持数列 中各项先后顺序不变，在 与 之间插入 个1，使它们和原数列的项构成
一个新的数列 ，记 的前 项和为 ，求 的值.
【答案】(1) (2)142(1)解：∵ 的前n项和为 ，
当n=1时， ，
当 时，
则
= ，
经验证当n=1时， 满足 .
故 ；
(2)因为 与 之间插入 个1，
所以 在 中对应的项数为
，
当k＝6时， ，当k＝7时， ，
所以 ， ，且 ．
因此
.
例题5．已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，求 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
(1)解：因为 ，当 时， ，
当 时， ，
也满足 ，所以，对任意的 ， .
(2)解；在 和 中插入 个相同的数 ，
构成一个新数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
其项数为 ，因为 ，即当 时， ，
因此， .
