文档内容
第 05 讲 空间向量及其应用 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：空间向量的线性运算
题型二：共线、共面向量定理的应用
题型三：空间向量的数量积及其应用
角度1：求空间向量的数量积
角度2：利用数量积求长度
角度3：利用数量积求夹角
角度4：利用向量解决平行和垂直问题
角度5：向量的投影和投影向量
题型四：利用空间向量证明平行与垂直
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：空间向量的有关概念
1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；
如空间中的位移速度、力等．
2、几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
知识点二：空间向量的有关定理1、共线向量定理：
对空间任意两个向量 ， 的充要条件是存在实数 ，使 ．
（1）共线向量定理推论：如果 为经过点 平行于已知非零向量 的直线,那么对于空间任一点 ,点 在
直线 上的充要条件是存在实数 ,使 ①，若在 上取 ，则①可以化作：
（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点 ，空间中三点 共线的充要条件是 ，
其中
2、共面向量定理
如果两个向量 不共线，那么向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使
（1）空间共面向量的表示
如图空间一点 位于平面 内的充要条件是存在有序实数对 ，使 ．
或者等价于：对空间任意一点 ，空间一点 位于平面 内（ 四点共面）的充要条件是存
在有序实数对 ，使 ，该式称为空间平面 的向量表示式，由此可知，空间
中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
（2）拓展
对于空间任意一点 ，四点 共面（其中 不共线）的充要条件是
（其中 ）．
3、空间向量基本定理如果向量三个向量 不共面，那么对空间任意向量 存在有序实数组 使得
知识点三：空间向量的数量积
1、空间两个向量的夹角
（1）定义：如图已知两个非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ， ，则么 叫做向
量 的夹角，记 .（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）
（2）范围： ．
特别地，（1）如果 ，那么向量 互相垂直，记作 ．
(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为 ，故
(或 ) ( 为非零向量)．
(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定 与任何向量 都是共线的，即 ．两非零向量的夹角
是唯一确定的．
（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）
若两个向量 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为 ，
(1)向量夹角的范围是0<< >< ，异面直线的夹角 的范围是0< < ，
(2)当两向量的夹角为锐角时， ；当两向量的夹角为 时，两异面直线垂直；当两向量的夹角
为钝角时， .
2、空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量 ， ，则 叫做 ， 的数量积，记作 ；即
．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
3、向量 的投影
3.1．如图(1)，在空间，向量 向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 共线的向量 ， 向量 称为向量
在向量 上的投影向量．类似地，可以将向量 向直线 投影(如图(2))．
3.2．如图(3)，向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别为
， ，得到 ，向量 称为向量 在平面 上的投影向量．这时，向量 ， 的夹角就是向
量 所在直线与平面 所成的角．
4、空间向量数量积的几何意义：向量 ， 的数量积等于 的长度 与 在 方向上的投影
的乘积或等于 的长度 与 在 方向上的投影 的乘积.
5、数量积的运算：
（1） ， .
（2） (交换律)．
（3） (分配律).
知识点四：空间向量的坐标表示及其应用
设 ， ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
数量积
共线（平行）
垂直
（ 均 为非零向量）
模
，即
夹角
知识点五：直线的方向向量和平面的法向量
1、直线的方向向量如图①, 是直线 的方向向量,在直线 上取 ,设 是直线 上的任意一点,则点 在直线 上的充要条
件是存在实数 ,使得 ，即
2、平面法向量的概念
如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称 为平面 的法向量；过点 且以 为法向量
的平面完全确定，可以表示为集合 ．
3、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面 的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由 列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取 )
得结论：得到平面的一个法向量.
知识点六：空间位置关系的向量表示
1、空间中直线、平面的平行
设直线 , 的方向向量分别为 ， ，平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
线线平行 ( )
⇔ ⇔
线面平行
⇔ ⇔
面面平行
⇔ ⇔
2、空间中直线、平面的垂直
设直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量，平面 的法向量为 ，则
线线垂直
⇔ ⇔
线面垂直
⇔ ⇔ ⇔
面面垂直
⇔ ⇔ ⇔
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二课时练习）若平面 ， 的一个法向量分别为 ， ，则(
)
A． B．
C． 与 相交但不垂直 D． 或 与 重合
【答案】A
由 ，所以 //
所以
故选：A
2．（2022·全国·高二课时练习）设平面 法向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ，则k
等于( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
由题可知： ，所以
故选：C
3．（2022·全国·高二单元测试）若直线l的方向向量 ，平面 的法向量 ，则直线l
与平面 的位置关系是__________________．
【答案】平行
由题可知： ，所以 ，所以直线l与平面 的位置关系是平行
故答案为：平行4．（2022·全国·高二课时练习）已知 ， 分别是直线 的一个方向向量．若 ，
则( )
A． B． C． D．
【答案】D
由题可知：
故选：D
5．（2022·全国·高二课时练习）若 是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向
量的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
由题可知： 是平面 的一个法向量，向量
故选：D
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：空间向量的线性运算
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体 中，给出下列各式：
① ．
② ．
③ ．
④ ．
其中运算结果为向量 的共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
对①， ；
对②， ；
对③， ；
对④， ，
∴以上4个算式运算的结果都是向量 ．
故选：D．
例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））如图，设 ， ， ，若 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题意得
= .
故选：A
题型归类练
1．（2022·全国·高二期末）如图所示，在平行六面体 中， ， ， ，点
是 的中点，点 是 上的点，且 ，则向量 可表示为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
解：因为在平行六面体 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是
上的点，且 ，
所以
，
故选：D.
2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，在平行六面体 中， ，若
，则 ___________.
【答案】2
解：因为
，
又 ，所以 ， ，
则 .
故答案为：2.
3．（2022·全国·高二开学考试）如图，在三棱锥P—ABC中， M是侧棱PC的中点，且
，则x＋y＋z的值为______．
【答案】0
在三棱锥P—ABC中， M是侧棱PC的中点，所以 .
又 ， .
所以 .
所以 .
故答案为0.
题型二：共线、共面向量定理的应用
典型例题
例题1．（2022·天津·南开中学高一期末）如图，在 中， ， 是线段 上一点，若
，则实数 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
由 可得： ，即 ，故 ,
因为B,P,D三点共线，所以 ，
故选：D
例题2．（2022·山西太原·高一期中）在 中，点D在BC上，且 ，过D的直线分别交直线
， 于点 ， ，记 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：依题意 ，
又 ，即 ， 即 ，
所以 ，因为 、 、 三点共线，所以 ，解得 ；
故选：C
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知在正方体 中， 为空间任意两点，如果有
，那么点 必在平面_________内.
【答案】
因为
， ，
所以 四点共面，即点 必在平面 内．
故答案为： ．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，有如下关系：
，则（ ）
A．四点 ， ， ， 必共面
B．四点 ， ， ， 必共面
C．四点 ， ， ， 必共面
D．五点 ， ， ， ， 必共面
【答案】B因为 ,
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以四点 、 、 、 共面．
故选：B
题型归类练
1．（2022·全国·高二）已知空间 、 、 、 四点共面，且其中任意三点均不共线，设 为空间中任意
一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由 、 、 、 四点共面，且其中任意三点均不共线
可得 ，解之得
故选：D
2．（2022·江苏·高二课时练习）A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若 ，
则P，A，B，C四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面
【答案】B
因为 ，则
即
即
由空间向量共面定理可知， 共面，则P，A，B，C四点一定共面
故选：B
3．（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足 ，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
∉【答案】A
因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以 ，即 ，
即 ，所以 与 共线．
又 ， 有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
故选：A.
4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期中）在 ABC中，点M是 上一点，且 ，P为 上一点，
△
向量 ，则 的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】B
因为 ，所以 ，
又 三点共线，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成
立．所以 的最小值为 ．
故选：B
题型三：空间向量的数量积及其应用
角度1：求空间向量的数量积
典型例题
例题1．（2022·全国·高二）已知向量 ，若 ，则实数 的值为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
解：因为 ，所以 .
故选：D
例题2．（2022·上海长宁·二模）已知 ，若 ，则 _________．
【答案】2
因为 ，故 ，即 ，故 ，故故答案为：2
例题3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥 中， ， ，
，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
解：因为三棱锥 中， ， ， ，
所以 ，
故选：A.
例题4．（2022·福建·莆田第二十五中学高二期中）如图，在平行六面体 中，
， ， ，则 （ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
故选：B
题型归类练1．（2022·广东·高三阶段练习）已知正四面体 的棱长为1，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为 ，所以 .
根据向量的减法法则，得 ，
所以
.
故选：C.
2．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥 中， 两两垂直，
为 的中点，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
由题意得 ，故
.
故选：D.
3．（2022·全国·高二单元测试）已知 是长方体外接球的一条直径，点 在长方体表面上运动，长方体
的棱长分别是1，1， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
设外接球的半径为 ，则 .
设 是球心，则 ，
.
故选：D
4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面 内有两点 ， ，平面 的一个法向量为
，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
解：因为 ， ，所以 ，
因为平面 的一个法向量为 ，所以 ，
则 ，解得 ，
故选：C.
5．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知向量 ，则 （ ）
A．0 B．4 C． D．-5
【答案】C
因为 ，
所以 .
故选：C
6．（2022·吉林·长春市第二十九中学高二阶段练习）已知
，则 =________.
【答案】
由已知 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
角度2：利用数量积求长度
典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，空间四边形 中， ，
， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解： ， ，
．
又 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以
，
所以 .
故选：A．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体 中，若点 是线段 的中点，
点 是底面 内的动点，且满足 ，则线段 的长的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
如图所示，建立空间直角坐标系，设 ， ， ， ，所以 ，由 可得 ，即 ，所以线段
AM的长的最小值为 ．
故选：B．
例题3．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体 的棱长为3， ，点 为
的中点，则 ___________.
【答案】
如图所示，以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系
，则 ，
因为 ，点 为 的中点，
所以 ，
所以 ， ，
故 ．故答案为： .
例题4．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系 中，已知 ， ，点 分
别在 轴， 轴上，且 ，那么 的最小值是______.
【答案】
设 ，0， ， ， ， ，
，0， ， ，1，- ，
， ，
，
，
即 ．
，
．（当 时取最小值）
故答案为：
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在平行六面体ABCD—ABC D 中，同一顶点为端点的三条棱
1 1 1 1
长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 的长为（ ）．
1
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】
∵ ，
∴
∴ ，即AC 的长为 .
1
故选：B2．（2022·河南平顶山·高二期末（理））在平行六面体 中， ，
， ，则 （ ）
A． B．5 C． D．3
【答案】B
解： ，
所以
，
所以 ，
故选：B.
3．（2022·江苏连云港·高二期中）已知空间中非零向量 ， ，且 ， ， ，则
的值为（ ）．
A． B．97 C． D．61
【答案】C
∵，
∴ ，
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体 中， ，
，则 （ ）
A．1 B． C．9 D．3
【答案】D
在平行六面体 中，
有 ， ，
由题知， ， ， ， ，
所以 ， ， 与 的夹角为 ，
与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，
所以
.
所以 .
故选：D.
5．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））在空间直角坐标系中，已知点A ，若点P
满足 ，则 _______．
【答案】解：设 ，所以 ， ，因为 ，所以
，所以 ，解得 ，即 ，所以
，所以 ；
故答案为：
6．（2022·浙江·玉环市玉城中学高二期中）若 ， 则 __________________
【答案】
，
，
.
故答案为： .
4．（2022·全国·高二）设空间向量 是一组单位正交基底，若空间向量 满足对任意的
的最小值是2，则 的最小值是_________．
【答案】
以 方向为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ，
设 则 ，
当 时 的最小值是 ，
取 则
又因为 是任意值，所以 的最小值是 .
取 则
又因为 是任意值，所以 的最小值是 .
故答案为： .
角度3：利用数量积求夹角典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 ，若 ，则
与 的夹角为______________.
【答案】
设 向量 ，
， ，设 与 的夹角为 ， ，
，故答案为 .
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知 、 、 ， 与 的夹角为
，则实数 ______．
【答案】
由题意得， ，
故 ，
解得 ，
故答案为：
例题3．（2022·江苏宿迁·高二期中）若向量 ， ，则向量 与 的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
设向量 与 的夹角为 ，且 ，
所以， ，
所以，
故选：D
题型归类练
1．（2022·全国·高二）已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C由 ，解得 ，
所以 ， ，所以 ，
因为 ，所以 .
故选：C
2．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）如图，在正方体 中，点P满足
，则直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为
3，
则 ,
则 ,故 ,
故直线 与直线 所成角的余弦值为 ，
故选：B
3．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知 ， ，则向
量 与 的夹角为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．0°
【答案】A
因为 ， ，
所以 ， ，
设向量 与 的夹角为 ，则
，
因为 ，所以 ，故向量 与 的夹角为 ，
故选：A.
4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系 中，若 ，
， 与 的夹角为 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． 或 D．17或
【答案】D
由题意，向量 ， ，
可得 ， ， ，
因为 与 的夹角为 ，可得 ，即 ，
整理得 ，解得 或 .
故选：D.
5．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知空间向量 ， ，且 ，则向
量 与 的夹角为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
由题设， ，则 ，
∴ ，则 ，
又 ，
∴ .
故选：C.
角度4：利用向量解决平行和垂直问题
典型例题
例题1．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量 ， 分别是直线 ， 的方向向量，且 ，
，若 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 ，解得 ， .
故选：C.
例题2．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量 ，若 ，则 的
值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
由题意可得知 ，则 ，因此 ，所以 ，
故选：C.
例题3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量 ， ， ，且向
量 与 互相垂直，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B，
因为向量 与 互相垂直，故 ，故 ，
故选：B
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，若 ，则实数 的值是
________.若 ，则实数 的值是________.
【答案】 6
， ，若 ，
则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得： .
故答案为：6；
题型归类练
1．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
因为向量 ， ，且 ，
所以 ，解得： .
故选：C
2．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知 ，若 ，则m的值为
（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
由题意可得 ，
故 ，则 ，
故选：A
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量 ， ， ，若 ，则实数
（ ）
A．－2 B．2 C．1 D．－1【答案】B
，因为 ，所以 ，所以
，所以 2.
故选：B
4．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））已知向量 ，且 与
互相垂直，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 与 互相垂直，
故 ，
故 ，即 ，
故 .
故选：D.
5．（2022·全国·高二课时练习）如果 ， ， 三点在同一直线上，那么
__________， __________．
【答案】 3 4
由题设， 且 ，而 ，
所以 ，可得 .
故答案为：3，4.
角度5：向量的投影和投影向量
典型例题
例题1．（2022·全国·高二）已知空间三点 ， ， ，则 在 上的投影
向量的模是______.
【答案】
由题， ，故 在 上的投影向量的模故答案为：
例题2．（2022·福建·莆田一中高二期末）已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为 ，0， ， ，2， ，
则向量 在向量 上的投影为 ，
所以向量 在向量 上的投影向量是 ．
故选： ．
题型归类练
1．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知 ，则 在 上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 在 上的投影向量为
故选：B
2．（2022·广东惠州·高二期末）已知 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
解：因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 在 上的投影向量为
故选：C
3．（2022·全国·高一）已知 为标准正交基底， ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．1 B．－1
C． D．－
【答案】A
因为 ， 为标准正交基底，
所以 在 方向上的投影为 ，
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：向量 ，
则 ， ， ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选： ．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：因为 ，所以 ，
所以向量 在向量 上的投影为设向量 在向量 上的投影向量为 ，则 且 ，
所以 ，所以 ，解得
所以
故选：B
6．（2022·全国·高二课时练习）已知向量 ， ，则 在 的方向上的数量投影为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意知： 在 的方向上的数量投影为 .
故选：C.
题型四：利用空间向量证明平行与垂直
典型例题
例题1．（2022·福建莆田·高二期末）如图，在四棱锥 中， 底面 且 ，
， ， ，点 为棱 的中点．
(1)证明： ；
【答案】(1)证明见解析
解法一：因为 ，所以 ．
如图，以A为原点，分别以 ， 为x轴，y轴的正方向，过点A作 ∥ ，则 ⊥平面 ，以
为 轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，4，2 ），
因为点M为棱PC的中点，所以M（1，3， ）．于是 ，
所以 ．
所以 ，即 ．
例题2．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图在边长是2的正方体 中， ， 分别为
， 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
解：据题意，建立如图空间直角坐标系.于是： ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
因为 ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ，即 ，
又∵ ， 平面 且 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴平面 平面 .
例题3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）在如图所示的五面体 中，面 是边长为2的
正方形， 面 ， ，且 ， 为 的中点， 为 中点.(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
证明：如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
，
所以 ，显然平面 的法向量可以为 ，
所以 ，即 ，又 平面 ，所以 平面 ；
例题4．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角
梯形，其中 ， ， ， ， 为棱 上的点，且 .
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明过程见解析；
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有 ，
， ， ，因为 ，
所以 ，而 平面 ，
所以 平面 ；
题型归类练
1．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））如图， 且 ， ，
且 ， 且 ， 平面ABCD， .
(1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： 平面CDE；
【答案】(1)证明见解析
因为 ， ， 平面ABCD，
而AD､ 平面ABCD，所以 ， ，
因此以D为坐标原点，分别以 ､ ､ 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.因为 且 ， 且 ， ，
所以 ， ， ， ， ， ， ， ，
.
设 为平面CDE的法向量， ， ，
则 ，不妨令 ，可得 ；
又 ，所以 .
又∵直线 平面CDE，∴ 平面CDE；
2．（2022·江苏省镇江第一中学高二期末）如图，三棱柱 中侧棱与底面垂直，且AB＝AC＝
2，AA＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC ，BC，AB， 的中点．
1 1
(1)求证：PN∥面ACC A；
1 1
【答案】(1)证明见解析
以点A为坐标原点，AB､AC､ 所在直线分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ．
取向量 为平面 的一个法向量， ，
∴ ，
∴ ．
又∵ 平面 ，
∴ 平面 ．
3．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）如图，已知直三棱柱 中， ，
，E，F分别为AC和 的中点，D为棱 上的一点．
(1)证明： ；
【答案】(1)证明过程见解析；
因为直三棱柱 中， ， ，
所以 两两垂直，
以B为坐标原点， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，
所以 ，故 ，所以 .
4．（2022·江西赣州·高二期中（理））如图，在四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形， ，
， ， ， ，平面 平面ABCD，且 ，E为BC的中点.
(1)证明：平面 平面PBD.
【答案】(1)证明见解析；
如图，以D为坐标原点，以 ， 的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系 ，则
， ， ， .
因为 ，E为BC的中点，所以 .
因为平面 平面ABCD且交于BC，所以 平面ABCD，令 .
（1）证明：因为 ， ， ，所以 ， ，所以 ， .
因为 ， 平面PAE，所以 平面PAE.
因为 平面PBD，所以平面 平面PAE；
5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）已知四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，
， ， 、 分别为 、 的中点.
(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析；
∵ 面 ， 面 ，∴
又 ， 面 ， ，
∴ 平面
即 平面 ，∴
又 平面 ，
∴以 为坐标原点，以 、 、 方向分别为 ， ， 轴正向建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
∴ ， ，∴ ，∴ ；
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（文））在正方体 中，E，F分别为 的中点，则（ ）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
解：在正方体 中，
且 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，则 ，
所以平面 与平面 不垂直，故B错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故C错误；
因为 与 不平行，
所以平面 与平面 不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面 的交线，
在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ，
则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角，
由勾股定理可知： ， ，
底面正方形 中， 为中点，则 ，
由勾股定理可得 ，从而有： ，
据此可得 ，即 ，
据此可得平面 平面 不成立，选项B错误；
对于选项C，取 的中点 ，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项C错误；
对于选项D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ，
由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项D错误；
故选：A.
2．（2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体 中，E为棱BC的中点，F为棱CD
的中点．（I）求证： 平面 ；
【答案】（I）证明见解析；
（I）以 为原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 , , , , , , ，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以 ， ，
所以 , , ,
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
3．（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
【答案】（1）证明见解析；因为三棱柱 是直三棱柱， 底面 ，
， ， ，又 ， 平面 ．所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
， ．
由题设 （ ）．
因为 ，
所以 ，所以 ．
