文档内容
第 08 讲 拓展一：空间几何体内接球与外
接球问题 (精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
高频考点一：空间几何体的内切球问题
高频考点二：空间几何体的外接球问题
模型1：长（正）方体模型——公式法
模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）
模型3：单面定球心法（定+算）
模型4：双面定球心法（两次单面定球心）
第一部分：典 型 例 题 剖 析高频考点一：空间几何体的内切球问题
建立模型
球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即： ，可求出 .
典型例题
例题1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）在三棱锥 中， 平面 ，且
，若球 在三棱锥 的内部且与四个面都相切（称球 为三棱锥 的内
切球），则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
又 ，
所以 平面 ，所以 ，
所以 均为直角三角形，
设球 的半径为r，则 ，
而 ， ，
所以 ，解得 ，
所以球 的表面积为 ，
故选：A.例题2．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，
其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的
表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.
【答案】
解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为 的中心，
因为 ，所以 内切圆的半径 ，
即内切球的半径 ，所以内切球的表面积 ，
又正三棱柱的高 ，
所以 ，所以 ，
所以 到球面上的点的距离最小值为 ；故答案为： ；
例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱 有外接圆柱 ，点 ， 分别在棱
和 上， .
(1)若 ，且三棱柱 有一个内切球，求三棱柱 的体积；
【答案】(1)
(1) ， 是圆柱的上下底面圆心，而且点 ， 分别在棱 和 上，由此可知 是 为斜边
的直角三角形. ,
设 的内切圆的半径为 ，则由等面积法，可知: ,
，故三棱柱 的内切球的半径也是 ，故三棱柱的高
，进而三棱柱 的体积 .
题型归类练
1．（2022·全国·高一）已知点O到直三棱柱 各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为 ， 的周长为4，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：设直三棱柱 的高为h，AB＝c，BC＝a，AC＝b，内切球O的半径为r，则h＝2r，
由题意可知球O的表面积为 ，解得r＝2，∴h＝4，
又△ABC的周长为4，即a＋b＋c＝4，
∴连接OA，OB，OC， 可将直三棱柱 分成5个棱锥，
即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，
两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，
∴由体积相等可得直三棱柱 的体积为 h＝ ahr＋ bhr＋ chr＋2× r，
即4 ＝ （a＋b＋c）hr＋ ，∴ ＝ ，
∴三棱锥 的体积为 h＝ ×4×4＝ ．
故选：B．
2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球
（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
【答案】
有题意可知， ，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为 的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以 ，
所以该圆锥的内切球的表面积为 .
故答案为：3．（2022·全国·高三专题练习（文））若正四棱锥 内接于球 ，且底面 过球心 ，则球
的半径与正四棱锥 内切球的半径之比为__________.
【答案】 ##
设外接球半径为R，由题意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R，
设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r，设正方形 的边长为 ，
因为底面 过球心 ，所以有 ，
该正四棱锥的各侧面的高为 ，
设该正四棱锥的表面积为 ，
由等体积法可知：
，
故答案为：
4．（2022·广西玉林·模拟预测（理））若正四棱锥 内接于球O，且底面 过球心O，球的
半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．
【答案】
因为正四棱锥 内接于球O，且底面 过球心O，球的半径为4，
所以 ，
所以 ，
所以正四棱锥 的表面积为 ，
正四棱锥 的体积为
设正四棱锥 内切球的半径为 ，则
，解得 ，
所以该四棱锥内切球的体积为 ，
故答案为：
高频考点二：空间几何体的外接球问题
模型1：长（正）方体模型——公式法
建立模型
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
（1）设长方体一个顶点出发的三条边长分别为 ， ， ，则外接球半径 ；
（2）设正方体边长为 ，则外接球半径 ；
典型例题
例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外
接球的表面积为______________．
【答案】
由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，
所以 ，所以
所以外接球的表面积 .
故答案为：
例题2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一期中）正方体 的棱长为2，则此正方体外接球
的表面积是______.
【答案】
因为正方体的体对角线长度等于长方体外接球的直径，又正方体 的棱长为2，
所以正方体外接球的直径为 ，外接球的半径为 ，
则该正方体外接球的表面积是 .
故答案为： .
题型归类练
1．（2022·全国·高一期末）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．【答案】B
设正方体的棱长为 ，则其外接球的半径为 ，内切球的半径为 ，
所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是 .
故选：B
2．（2021·河北·深州长江中学高三期中）已知某正方体外接球的表面积为 ，则该正方体的棱长为
______．
【答案】1
设正方体的棱长为 ，外接球的半径为 ，
根据正方体的对角线长等于外接球的直径，可得 ，
由 ，可得 ，即 ，解得 ．
故答案为：1．
3．（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．
【答案】
解：设正方体外接球的半径为 ，则
由题意可得 ，即 ，
所以外接球的表面积为 ，
故答案为：
模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）
建立模型
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
P P P
c c c
A b C
C C
a b
B A a B b A a B
图1 图2 图3
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，
AD=BC，AC=BD）典型例题
例题1．（2022·全国·高一）若三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，且
，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
侧棱 ， ， 两两互相垂直，且 ，
， ， 作为正方体的棱长，如图：
设外接球的半径为 ，
则正方体的对角线的长 ，
所以 ，
所以外接球的表面积为 .
故选：A
例题2．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）在三棱锥 中， ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________．
【答案】
由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示：
记该长方体的棱长为 ，则 ，即 ，所以 ，
．
故答案为： ；
题型归类练
1．（2022·辽宁·本溪高中高一阶段练习）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 ，则
此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】C
正三棱锥的外接球即是棱长为 的正方体的外接球，
所以外接球的直径 ，
所以 ,
外接球的表面积 ，
故选：C
2．（2022·安徽·高一阶段练习）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥
是一鳖臑，其中 ， ， ， ，且 ， ．则三棱
锥 外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
易得三棱锥 外接球的直径为 ，
则 ，故三棱锥 外接球的半径 ，
所以 ，
故选：B.3．（2022·河北·沧县中学高一期中）三棱锥 中，已知 两两垂直，且
，则三棱锥 的外接球的表面积为___________.
【答案】
以线段 为相邻的三条棱为长方体，连接 , , ,即为三棱锥 ，
∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，
∴则其外接球直径为长方体对角线的长，
设外接球的半径为 ，则 ,
解得 ,
则 .
故答案为: .
4．（2022·贵州·清华中学高三阶段练习（理））四棱锥 中，
，则经过A，B，C，D的外接球的表面积是__________．
【答案】
解：因为四棱锥 的对棱相等，所以将四棱锥 补成如图所示的长方体，
则经过A，B，C，D的外接球即为长方体的外接球，
所以球的直径为长方体的对角线的长，
设长方体的长、宽、高分别为 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以球的半径 ，
所以球的表面积为 ，
故答案为：
模型3：单面定球心法（定+算）
建立模型
单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥 中，选中底面 ，确定其外接
圆圆心 （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心
）；
②过外心 做（找）底面 的垂线，如图中 面 ,则球心一定在直线（注意不一定在线段
上） 上；
③计算求半径 :在直线 上任取一点 如图：则 ，利用公式 可计算
出球半径 .
典型例题
例题1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）在四面体 中， 都是边长为 的等
边三角形，且平面 平面 ，则该四面体外接球的表面积为_________.
【答案】依题意作上图，取BD的中点P，连接AP，CP，
取 的中心E， 的中心G，分别作平面ABD和平面BCD的垂线，
得交点H，则H点就是四面体ABCD外接球的球心，CH就是球的半径r，
，
，
外接球的面积为 ；
故答案为： .
例题2．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱 ，
则球表面积为___________.
【答案】
设三角形ABC和三角形 的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，
CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r， 可得 ，由
正弦定理得， ，
而在三角形OCD中，可知 ，
即 ，因此三棱柱外接球的表面积为 ．
故答案为：例题3．（2022·广西贺州·高一期末）已知 的三个顶点都在球 上， ， ，且三
棱锥 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．36
【答案】D
ABC中， ， ，则
△取 中点H，连接OH，则点H为△ABC所在小圆圆心， 平面ABC
则 ，解之得
则球O的半径
则球O的体积为
故选：D
例题4．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球 为三棱锥 的外接球，球 的体积为 ，
正三角形 的外接圆半径为 ，则三棱锥 的体积的最大值为______．
【答案】设 外接圆的圆心为 ，
因为正三角形 的外接圆半径为 ，即 ，
由正弦定理 ，得 ，
所以 ，
要使三棱锥 的体积最大，则 平面 ，且球心 在线段 上，
因为球 的体积为 ，所以球 的半径为 ．
在 中，由勾股定理得 ，
所以三棱锥 体积的最大值 ．
故答案为：
题型归类练
1．（2022·河北·衡水市第十三中学高一阶段练习）在正四棱锥 中， ， ，则平面
截四棱锥 外接球的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
如图，作 平面 ，垂足为 ，则 是正方形 外接圆的圆心，从而正四棱锥 外
接球的球心 在 上，
取棱 的中点 ，连接 ，作 ，垂足为 .
由题中数据可得 ，
设四棱锥 外接球的半径为 ，
则 ，
即 ，
解得 .由题意易证 ，
则 ，
故 .
故所求截面圆的面积是 .
故选：B
2．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知三棱锥 中，平面 平面 ，且
， ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A．64π B．128π C．40π D．80π
【答案】D
由题意得， 平面 ，将三棱锥补成三棱柱 ，如图，
则三棱柱 的外接球即为所求.
设外接球的球心为 ，则 的外心为 ，则 ，
又 ，则外接球的半径 ，
表面积 ，
故选：D
3．（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，且 ，．又点 ， ， 都在球 的球面上，且点 到平面 的距离为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
的外接圆半径
则球 的半径
则球 的体积为
故选：A
4．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知点 在同一个球的球面上， ，
， ，若四面体 的体积的最大值为 ，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由 ，可得 ，所以 为直角三角形，
其面积为 ，
所以直角 所在截面小圆的半径 ，
设点 到平面 的距离为 ，
因为四面体 体积取得最大值为 ，
所以 ，解得 ，
设四面体 的外接球半径为 ，球心 到截面的距离为 ，
当 到底面 距离最远时，即 时，四面体 的体积取得最大值，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以球的表面积为 .
故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）已知球 是正三棱锥 的外接球， ， ，点E在线段
上，且 ，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.
【答案】
解：如图，设 的中心为 ，球 的半径为 ，
连接 ， ， ， ，
则 ， ，
在 中， ，解得 ，
， ，
在 中， ，
，
过点 作圆 的截面，当截面与 垂直时，截面的面积最小，
此时截面圆的半径为 ，最小面积为 ，
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为 ．
所得截面圆面积的取值范围是 ，
故答案为： ．模型4：双面定球心法（两次单面定球心）
建立模型
如图：在三棱锥 中：
P
①选定底面 ，定 外接圆圆心
②选定面 ，定 外接圆圆心 O
2 O
A
③分别过 做面 的垂线，和 做面 的垂线，两垂线交点即为外接球球心
O
H 1
. B C
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ､ ､ ､ 都在球 的球面上， ， 是边长为
1的等边三角形， 与平面 所成角的正弦值为 ，若 ，且点 在平面 上的投影与
在 异侧，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题设，若 是 的中点，则 是△ 的中心，连接 ，如下图示：
由题设知： ， ，又 ，则 面 ，而 面 ，即面 面 ，
过 作 面 ，则 必在直线 上，易知： 为 与平面 所成角的平面角，
又 与平面 所成角的正弦值为 ， ，可得 .
过 作 交 于 ，易知： ，
而 ，即 ，又 ，故 为 的中点， ，
∴ ，即 是球心，故球 的半径为1，
∴球 的表面积为 .
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面四边形 中，
，现沿 进行翻折，使得 到达 的位置，连接 ，此时二面角
为150°，则四面体 外接球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：取BD的中点E，连接 ， ，因为
即 ，
所以 ， ， 即为二面角 的平面角，且 ，所以 外接
圆的圆心为 ，
设 外接圆的圆心为 ，则 ，过点 ， 分别作平面 ，平面 的垂线，交于点
，则 即为四面体 外接球的球心.
因为二面角 的平面角为 ，即 ，则 .
在 中， ，连接 ，则 即为外接球的半径 ，则 ，即 ，
故选：C.
题型归类练
1．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）一边长为4的正方形ABCD，M为AB的中点，将 ，
分别沿MD，MC折起，使MA，MB重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为（
）．
A． B． C． D．
【答案】A
如图所示，
由图可知在四面体A-CDM中，由正方形 为 的中点，可得MA⊥AD，MA⊥AC，AC∩AD=A，
故MA⊥平面ACD.
将图形旋转得到如图所示的三棱锥M-ACD，其中△ACD为等边三角形，过△ACD的中心O1作平面ACD
的垂线l1，过线段MC的中点O2作平面MAC的垂线l2，由球内截面的性质可得直线l1与l2相交，记
，则O即为三棱锥M一ACD外接球的球心.
设外接球的半径为R，连接OC，O1C，可得 .
在Rt OO1C中， ，
△
故该外接球的表面积 .
故选：A.
2．（2022·广东梅州·高一阶段练习）如图，在三棱锥 ， 是以AC为斜边的等腰直角三角形，
且 ， ，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
根据题意，作出图形，如图所示，因为 是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以 的外心在
中点，设为 ，设 的外心为 ， 中点为 ， ，因为 ，所以 必在
连线上，则 ，即 ，因为两平面交线为 ， 为平面 所在圆面中心，所以
， ，
又因为二面角 的大小为 ， ，所以 ，所以
，锥体 外接球半径 ，则三棱锥 的
外接球表面积为 ，
故选：B
