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6.1 平行四边形的性质与判定
题型一 梯形的定义
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】
5．【答案】
6．【答案】 平行 不平行
题型二 等腰梯形的性质
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】
4．【答案】
5．【答案】10
6．【答案】130
7．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分别过点 作 的垂线，垂足分别为点
，则 ，由等腰三角形性质可得 ，然后通过直角三角形性
质得出 ，最后由周长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：分别过点 作 的垂线，垂足分别为点 ，则 ，
∵梯形 是等腰梯形， ，∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴梯形 的周长 ．
8．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是根据梯形性质解决问题，根据梯形的定义，把一个下底是上底的2倍的梯形四等分
即可．
【详解】解：如下图所示，梯形 、梯形 、梯形 、梯形 即为所求作．
9．
【答案】梯形 的面积是25．
【分析】本题考查了等腰梯形的性质，解题关键是根据等腰梯形的性质得出全等，再求出高即可．
【详解】解：过点D作 的平行线交 的延长线于点E，过点D作 于H．
，
，
四边形ACED是平行四边形，
， ，
，
．
四边形 是等腰梯形， ，
，
，，
，
，
，
， ，
．
．
答：梯形 的面积是25．
题型三 添加一个条件成为平行四边形
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】E，F分别是 ， 的中点（答案不唯一）
5．【答案】 （答案不唯一）
6．【答案】 （答案不唯一）
7．【答案】 （答案不唯一）
8．【答案】 （答案不唯一）
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】 或 或
5．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定及作图能力，解题的关键是数形结合．
（1）由勾股定理的逆定理进行证明；
（2）根据由平行四边形的判定画图即可．
【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下：， ， ，
，
是直角三角形；
（2）如图所示， 即为所求．
6．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方
形的判定是解答本题的关键．
（1）根据平行四边形的判定进行画图即可；
（2）根据平行四边形的判定进行画图即可；
（3）根据平行四边形的判定进行画图即可．
【详解】（1）解：如图：平行四边形 即为所求．
（2）解：如图：平行四边形 即为所求．
（3）解：如图：平行四边形 即为所求．题型五 数图中平行四边形的个数
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】4
5．【答案】
题型六 判断能否构成平行四边形
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】D
题型一 利用平行四边形的性质求解
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】24
4．【答案】
5．【答案】18
6．【答案】20
7．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据三角形的三边关系定理得到 的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出 的
取值范围；
（2）由平行四边形的性质求得 ，再根据三角形的三边关系定理得到 的取值范围．
【详解】（1）解：在 中， ，
即 ．
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（2）解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ．
在 中， ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解，掌握以上知识点是解题
的关键．
题型二 利用平行四边形的性质证明
1．【答案】D
2．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与三角形全等的判定，掌握利用平行四边形的性质得到全等条件，
通过三角形全等证明线段相等是解题的关键．
要证明 ，可通过证明包含这两条线段的三角形全等来实现，先利用平行四边形的性质得到三角形
全等的条件，再结合已知条件，用 判定三角形全等，从而推出对应边相等．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
在 和 中：∴ ，
∴ ．
3．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证
明三角形全等是解题的关键．证明 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点 、 分别是 、 上的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
4．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的
性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得 ，进而可得 ，再根据对顶角相等可得
从而证明 ，再根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】证明： 四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
，
∴
．
∴5．
【答案】见解析
【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．又由平行四边形的性质得到
，证明 ，则 ，即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵点E是 的中点，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
6．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的
性质得到 ，由平行线的性质和对顶角相等推出 ， ，据此
证明 ，则可证明 ．【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
7．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行得到
，再由线段中点的定义得到 ，据此可证明 ，
得到 ，再由平行四边形的对边相等得到 ，即可得证结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点O是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
8．
【答案】见解析
【分析】由 ，得 ，由 是 的中点，得 ，即可通过 证明
，根据全等三角形的性质得到 ，结合 ，得到 ，则可证得四边形
是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得到结论．
【详解】证明： ，
．是 的中点，
．
在 和 中，
，
．
又 ，
，
四边形 是平行四边形，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌
握平行四边形的判定与性质，证明 是解题的关键．
题型三 平行四边形性质的其他应用
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】B
5．
【答案】(1)
(2) 平方米
【分析】本题考查多项式乘多项式，
（1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可；
（2）把相应的值代入（1）中运算即可；
解答的关键是掌握相应的运算法则和公式．
【详解】（1）解：由题意得：（平方米），
∴绿化的面积 为 平方米；
（2）当 ， 时，
（平方米），
∴此时绿化的面积为 平方米．
6．
【答案】见解析
【分析】方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等
分；
方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分；
方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分，据此即可画图．
【详解】解：方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形
四等分；
方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分；
方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分；
据此即可画图，
如图所示：
【点睛】此题主要考查图形的划分，关键是明确有关于平行四边形的特征和它的对角线的性质．
题型四 证明四边形是平行四边形
1．【答案】D
2．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
根据一组对边平行且相等判断四边形 是平行四边形即可．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
， ．
，
，即 ．
又 ，
∴四边形 为平行四边形．
3．
【答案】四边形ABCD是平行四边形．理由见解析
【分析】根据垂直利用勾股定理即可求得 的值，然后就可知道四边形的边长，即可判断四边形的形状；
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】 ， ， ， ，
，
即 ，
解得 ，
∴ ， ， ，
， ，
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
方法 ：通过平行四边形的性质得到 ，由垂直的定义得到 ，即可通过 证
明 ，通过全等三角形的性质得到 ，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边
形进行证明即可；方法 ：通过平行四边形的性质得到 ， ， ， ，两直
线平行内错角相等可得到 ，由垂直的定义得到 ，即可通过 证明
，通过全等三角形的性质得到 ，再通过线段的和差关系得到 ，最后根
据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可．
【详解】方法 ：证明：∵四边形 为平行四边形，
．
， ，
．
在 和 中，，
，
∴四边形 为平行四边形．
方法 ：∵四边形 为平行四边形，
， ， ， ，
．
， ，
．
在 和 中，
，
，
，即 ，
∴四边形 为平行四边形．
5．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握知识点是解题的关键．
先推导出 ， ，继而证明 ，得到 ，则四边形
是平行四边形，即可解答．
【详解】证明： ，
， ，
又 ，
，，
四边形 是平行四边形．
6．
【答案】四边形 为平行四边形．理由见解析.
【分析】先利用已知的边和角，通过 判定三角形全等，得到对应边相等；再结合题目中已有的边相等
条件，依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判断四边形 的形状．
【详解】解：四边形 为平行四边形．理由如下：
在 和 中：
，
．
，
四边形 为平行四边形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与平行四边形的判定，掌握利用 证明三角形全等得到对应边相
等，及两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理是解题的关键．
7．
【答案】见解析
【分析】先利用平行四边形 的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的
，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形 是平行四边
形．
【详解】证明： 四边形 是平行四边形，
，
， ．
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的对边平行性质，及利用等角的补角相等
推出对角相等，进而判定平行四边形是解题的关键．8．
【答案】见解析
【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出 ，进而
得出 ，同理可得 ，即可得出四边形 为平行四边形．
【详解】证明： ， 为等边三角形，
， ， ，
．
在 和 中，
，
．
又 为等边三角形，
，
．
同理可得 ，
四边形 是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，得出 是解题关键．
题型五 平行四边形的性质与判定综合运用
1．【答案】1
2．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含 角的直角三角形的
性质等知识．
（1）证明 ，则 ，又由 即可证明结论；
（2）过点C作 于点G，求出 ， 由勾股定理得到 ，证明，则 ，即可得到 的长．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ， ．
∵F是AC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形ADCE是平行四边形．
（2）解：过点C作 于点G，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
3．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键．
（1）根据 得出 ，则 ，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，进而证明四边形 是平行四边形，即可解答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
4．
【答案】8
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先证明四边形 是平行四边形，再由平行四边形
的性质求出 的长即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ，
四边形 是平行四边形，
∴ ，
四边形 是平行四边形，
， ，
四边形 的周长为 ．
5．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，证得 ；
（2）由（1）的结论和中点的性质可得 ， ，根据平行四边形的性质可得
，进而得到 ，由此可证 ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形可证．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
， ．
在 和 中，
．
（2）证明：由（1）得 ，
， ．
又 ， 分别是 ， 的中点，
， ，
．
∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，即 ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻
求角边的转化，从而求证结论．掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
6．
【答案】(1) 与 互相平分，理由见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）由四边形 为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可判定；
（2）首先连接 ， ， ， ，然后通过证明三角形全等，得到四边形 的两组对边分别相等，证得四边形 为平行四边形，则 与 相互平分．
【详解】（1）解：四点出发前， 与 互相平分．理由如下：
如图①，设对角线 与 相交于点 ．
四边形 是平行四边形，
， ，即 与 互相平分．
（2）解：（1）中的结论还成立．理由如下：
如图②，连接 ， ， ， ．
四边形 是平行四边形，
， ， ， ．
由题意，得 ， ，
， ．
在 和 中，
，
．
在 和 中，
，
，四边形 是平行四边形，
与 互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解决本
题的关键．
7．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形 为平行四边形是解题
的关键．
（1）根据 ，可证明 ，再证明 即可证明四边形 是平行四边形；
（2）由勾股定理求出 的长，进而求出 的长，再由平行四边形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
8．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
（2）利用平行四边形的性质求面积即可．本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的面积，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明： 为平行四边形，
， ．
，
．
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：当E为 中点时， 的面积 的面积 ．
，
的面积 的面积 ．
，
的面积 的面积 ，
的面积 的面积 ．
∴四边形 的面积 ．
9．
【答案】(1)见解析
(2) 与 互相平分
【分析】（1）根据中点的定义求出 ，根据平行线的性质求出 ，利用 证明
，根据全等三角形的性质求证即可；
（2）根据全等三角形的性质求出 ， ，则 ，再根据平行四边形的判定与性
质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
由（1）知， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ 与 互相平分，
故答案为： 与 互相平分．
10．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理；
（1）证明 ， 即可证明四边形 是平行四边形；
（2）证明 ，可得 ，在 中，根据勾股定理 即可解决
问题．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形；
（2） 四边形 是平行四边形，
，
， ，
， ，
，，
，
在 中， ．
11．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用．
（1）证明四边形 是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论；
（2）在大山外取一点O，连接 ，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意知 ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
（2）解：如图，在大山外取一点O，连接 ，
延长 到D，使 ，延长 到E，使 ，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两
点的距离．
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
12．
【答案】作图见解析
【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接 ， 交于点 ，过点
作 的平行线，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，四条平行线依次交于点 ， ， ， ，则 即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定
与性质解决问题．
【详解】解：连接 ， 交于点 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，过点 作 的
平行线，过点 作 的平行线，四条平行线依次交于点 ， ， ， ，如图所示：
则四边形 均为平行四边形，
，
，则 即为所求．
13．
【答案】说法正确，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点 作 ，交 于点
．只要证明四边形 是平行四边形且 即可．
【详解】解：正确．
理由：过点 作 ，交 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
题型六 全等三角形拼平行四边形问题
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】3
题型七 平行线间的距离
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】7或17
5．
【答案】图形见解析； 或
【分析】本题主要考查了平行线间的距离．分两种情况画出图形，分别进行解答即可．
【详解】解：当直线 在直线 ， 之外时，如图1，
直线 ， 之间的距离为 ；
当直线 在直线 ， 之间时，如图2，
直线 ， 之间的距离为 ．
综上，直线 ， 之间的距离是 或 ．
6．【答案】(1)点 到 的距离是
(2)点 到地面的距离为
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
（1）过点 作 于点 ，证明 ，得到 ，即可；
（2）根据 ，得到 ，过点 作 于点 ，得到 ，即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 ，垂足为F．
， ，
在 中， ．
又 ，
在 和 中，
．
．
由题意，知 ， ， ，
，
，即点 到 的距离是 ．
（2）解：如图所示，过点 作 ，垂足为 ．
由（1），知
由题意，知 ， ，
，即点 到地面的距离是 ．
7．
【答案】直线 ， 之间的距离是 或
【分析】本题考查了平行线间的距离．分两种情况画出图形，分别进行解答即可．
【详解】解：当直线 在直线 ， 之间时，如图1，
直线 ， 之间的距离为 ；
当直线 在直线 ， 外部时，如图2，
直线 ， 之间的距离为 ．
综上，直线 ， 之间的距离是 或 ．
8．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线
的距离解答即可．
【详解】解：因为在直角三角形 中， ， ， ， ，
所以点 到 的距离 ，
因为 ，
所以 与 的距离是 ．
9．
【答案】见解析【分析】先过 作 的高，利用 得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明 与
面积相等；最后减去它们的公共部分 的面积，即可得到 与 的面积相等．
【详解】证明：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
，
．
， ．
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共
部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键．
题型一 平行四边形综合问题
1．【答案】D
2．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先证明 ， 推出 ， 由 ，
推出 ，即可解决问题；
（2）如图 中， 由题意可知 ， 设 ，则 ，
推出 ， 计算出 的值即可；
（3）如图 中， 在 上截取 ， 则 ，证明四边形 是平行四边形即可解决问题．
【详解】（1）解： 是等边三角形，，
，
在 和 中，
，
，
，
E，
，
；
（2）如图 中，
是等腰三角形， ，
，
设 ，则 ，
，
，
（3）如图 中，
在 上截取 ， 则 ，在 和 中，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
∴
故答案为 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，会添加常用辅助线构造全等三角形．
3．
【答案】(1)见解析；
(2)①见解析；② ，证明见解析．
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定
与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）由平行四边形性质证明 可得 ，再结合 即可证明结论；
（2）①由（1）得 ，如图：延长 和 且交于点 ，由平行四边形的性质可得 ，由折
叠的性质可得 ，进而证明结论；②如图：过点 作 ，交 于点 ，证明四边形
是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可证明结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解：①证明：由（1）得 ，
如图：延长 和 且交于点 ，
四边形 是平行四边形，
，
．
由折叠可知 ，
，
，．
②解： ，证明如下：
如图：过点 作 ，交 于点 ，
．
由折叠可知 ．
，
，
，
，
．
由（1）可知 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
