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第六章 平行四边形
6.1 平行四边形的性质
基础篇
一、单选题
1．（2022春·八年级单元测试）下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个全等三角形
C．两个锐角三角形 D．两个直角三角形
【答案】B
【分析】根据平行四边形被一条对角线分成的两个三角形全等进行分析判断即可．
【详解】解：∵平行四边形被对角线分成的两个三角形是全等的，
∴两个三角形要组成平行四边形，则这两个三角形必须是全等的．
A选项中，因为两个等腰三角形不一定全等，所以不能选A；
B选项中，因为两个全等三角形一定能组平行四边形，所以可以选B；
C选项中，因为两个锐角三角形不一定全等，所以不能选C；
D选项中，因为两个直角三角形不一定全等，所以不能选D．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形，知道“能组成平行四边形的两个三角形必须是全等三角形”是解答本
题的关键．
2．（2022春·八年级单元测试）平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质，即可一一判定．
【详解】解：平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
但对角线不一定相等，
故平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握和运用平行四边形的性质是解决本题的关键．3．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可．
【详解】解：∵四边形 为平行四边形，、
∴ ，
∵ ，
∴ ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
4．（2023春·八年级单元测试）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对边相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角互补
【答案】D
【分析】直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．
【详解】解：平行四边形对边相等，故A正确，不合题意；
平行四边形的邻角互补，故B正确，不合题意；
平行四边形对角线互相平分，故C正确，不合题意；
平行四边形对角不一定互补，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）在 中，已知 ，则 （ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：四边形 是平行四边形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对角相等是解题的关键．
6．（2023·河北保定·统考二模）小明为了计算 的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不
能表示 的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的高的定义进行判断即可．
【详解】解： 从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边
形的高，
由图可知， 并不垂直于 点的对边 ，
不能表示 的高，
故选： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的高的定义，熟练掌握从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，
这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高是解答本题的关键．
二、填空题
7．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，在▱ 中，若 ，则 ________度．
【答案】56
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，即可得答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等的性质是解题关键．
8．（2022春·八年级单元测试）已知在平行四边形 中， ，则此平行四边形的
周长为______ ．
【答案】【分析】根据平行四边形的性质可得 ，即可求得结果．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴平行四边形的周长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的两
组对边分别相等．
9．（2023春·福建龙岩·八年级校考期中）平行四边形的周长为16，一边长为5，则另一条邻边长为
________．
【答案】3
【分析】根据平行四边形的对边相等，求出两邻边的和，再根据题意求解即可．
【详解】解： ，
．
，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
10．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，四边形 是平行四边形， 和 分别平分
和 ，交 于E，F， 与 相交于点P．若 ， ，则 的长为 _____．
【答案】2
【分析】根据平行四边形的性质得出 ，根据角平分线的定义和平行线的性质得出
， ，进而得出 ， ，即可得出答案
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·福建南平·八年级统考期中） 如图：在平行四边形 中， 的平分线 交 于
，若 ， ，求 的长．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，等角对等边确定 与 的关系，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质是解题
的关键．
12．（2022春·八年级单元测试）如图，已知平行四边形 的对角线 和 交于点 ，且
， ，求 的周长．
【答案】26
【分析】首先根据平行四边形的性质和对角线的和求得 的长，然后根据 的长求得 的长，从
而求得 的周长．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
的周长 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是了解平行四边形的对角线互相平分，难度不大．
提升篇
一、填空题
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在 ，点 是 上的一点，连接 ， 平分 ，
交 于中点 ，连接 ，若 ，则 ___________．【答案】
【分析】延长 交于点 ，判定 ，即可得出 ，再根据三线
合一即可得到 即可解答．
【详解】解：如图，延长 交于点 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵平行四边形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ 中， ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，
解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， ， ，P为 边上一动
点，以 为边作平行四边形 ，则对角线 长度的最小值是___________．
【答案】
【分析】如图，由平行四边形的性质可知O是 中点， 最短也就是 最短，过O作 的垂线 ，
根据勾股定理求出 ，进而可求出 的最小值．
【详解】如图，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 最短也就是 最短，
∴过O作 与 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ，
∵∴ ，
∴ 的最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，以及垂线段最短的性质，
解题的关键是判断出 最短的位置．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在 ，点F是 上的一点，连接 ， 平分 ，
交 于中点E，连接 ．若 ， ， ，则 ______．
【答案】4
【分析】延长 ，交于点 ，先根据平行四边形的性质、角平分线的定义可得 ，根据等
腰三角形的判定可得 ，再利用 定理证出 ，根据全等三角形的性质可得
，然后根据等腰三角形的三线合一可得 ，最后根据含30度角的直角三角
形的性质即可得．
【详解】解：如图，延长 ，交于点 ，
平分 ，且 ，
，
四边形 是平行四边形，
，，
，
，
为 的中点，
，
在 和 中， ，
，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
，
则在 中， ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含30度角
的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
4．（2023·安徽蚌埠·校考模拟预测）如图，P是 内一点，且 ， ，则阴影部分的
面积为______．
【答案】4
【分析】根据图形得出 ，求出 ，从而可得 ，再
代入求值即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积有关问题，根据图形得出 是
解题的关键．
5．（2023春·八年级单元测试）如图，平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ，过点 的直线
分别交 、 于点 、 ，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积是 ____．
【答案】
【分析】可证 ，从而可求 ，过点 作 于点 ， ，进而可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
( )，
，
，
过点 作 于点 ，，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握
相关的性质及判定方法是解题的关键．
二、解答题
6．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，E点是 边 上的中点，连结 并延长交 的延长
线于点F.求证： .
【答案】证明见解析
【分析】在 中， ，则 ，由点E是 上的中点，则 ，即可证明
，即可得到结论.
【详解】解：证明：在 中，
∴ .
∵E点是 边 上的中点，∴ .
在 和 中， ，
∴ ，
∴
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和
性质是解题的关键.
7．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，在平行四边形 中，E，F分别是边 ， 上的点，且
．
(1)判定 与 是否相等，并说明理由；
(2)连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明 即可得到结论；
（2）根据平行四边形对边平行求出 ，再根据等腰对等边求出 ，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
【点睛】本题考查了平行四边形的相关的性质，熟悉平行线的证明是解题的关键．
8．（2023春·吉林·八年级期中）如图，已知 的对角线 、 交于点O， 过点O且与
分别相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据平行四边形的性质利用 证明 ，即可得证；
（2）勾股定理求出 的长，即可得解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练平行四边形的性质，证
明是三角形全等，是解题的关键．
