文档内容
6.1 平行四边形的性质
课堂知识梳理
1.平行四边形的对边平行且相等。
2.平行四边形相邻的角互补，对角相等
3.平行四边形的对角线互相平分。
4.平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
5.常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，这条
直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形是中心对称图形 B．平行四边形是轴对称图形
C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形对角相等
【答案】B
【详解】解：平行四边形是中心对称图形，正确，故A不符合要求；
平行四边形是轴对称图形，错误，故B符合要求；
平行四边形的对角线互相平分，正确，故C不符合要求；
平行四边形对角相等，正确，故D不符合要求；
故选：B．
2．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）在▱ABCD中，∠A的度数:∠B的度数=2:3，
则∠D=（ ）
A．36° B．108° C．72° D．60°
【答案】B
【详解】解：由平行四边形的性质可得，∠A+∠B=180°，∠D=∠B，
∵∠A:∠B=2:3，
3
∴∠B= ×180°=108°，
5
∴∠D=108°，
故选：B．
3．（2023·湖南邵阳·校联考二模）如图，在
▱
ABCD中，AB=13，AD=5，AC⊥BC，
1则 ABCD的面积为（ ）
▱
65
A．30 B．60 C．65 D．
2
【答案】B
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得√AB2−BC2=√132−52=12，
∴▱ABCD的面积为BC×AC=5×12=60，
故选：B．
4．（2023春·北京海淀·八年级清华附中校考期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点
E，∠B=60°，则∠DAE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【详解】解：∵在▱ABCD中，∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE=90°−∠D=30°．
故选B．
5．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且
AB=7，△OCD的周长为19，则▱ABCD的两条对角线的和是（ ）
2A．12 B．13 C．26 D．24
【答案】D
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，
∴AB=CD=7，BD=2DO，AC=2OC，
∵△OCD的周长为19，
∴OD+OC=19−7=12，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=24，
故选：D．
6．（2023春·北京大兴·八年级统考期中）如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，BD的
垂直平分线交BD于点E，交AD于点F，连接BF，则△ABF的周长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【详解】解：∵EF是BD的垂直平分线
∴FD=FB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴△ABF的周长是AB+AF+FB=AB+AF+FD=AB+AD=AB+BC=3+5=8，
故选：B．
7．（2023春·浙江杭州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC．点E，F，D分别在
AB，AC，BC上，且AEDF是平行四边形．若△CFD和△DEB的周长分别为5和10，则
△ABC的周长是________．
3【答案】15
【详解】解：∵△CFD和△DEB的周长分别为5和10，
∴CF+CD+FD=5，DE+EB+DB=10，
∴CF+DE+CD+DB+FD+EB=15，
∵AEDF是平行四边形，
∴AE=DF，AF=DE，
∴CF+AF+CD+DB+AE+EB=15，
∴△ABC的周长是15，
故答案为：15．
8．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE和BF
分别平分∠DAB和∠CBA，交CD于E，F，AE与BF相交于点P．若AD=6，DC=10，
则EF的长为 _____．
【答案】2
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
∵AD=6，DC=10，
∴DE=AD=6，
∴EC=DC−DE=10−6=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC=6，
4∴∠CFB=∠FBA，
∵BF平分∠CBA，
∴∠CBF=∠FBA，
∴∠CFB=∠CBF，
∴BC=FC=6，
∴EF=FC−EC=6−4=2．
故答案为：2．
9．在平面直角坐标系中，点A(−2，0)，B(2，3)，C(0，4)，点D为平面直角坐标系
中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标______．
【答案】(4，7)或(0，−1)或(−4，1)
【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，CD平行且等于AB，可知点D的坐标为
(4，7)；
②AB为对角线时，AC平行且等于BD，可知点D的坐标为(0，−1)；
③AC为对角线时，AB平行且等于CD，可知点D的坐标为(−4，1)；
综上所述，点D的坐标可能是(4，7)或(0，−1)或(−4，1)，
故答案为：(4，7)或(0，−1)或(−4，1)．
10．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在▱ABCD中，E，F为对角线AC
所在直线上的两个点，且AE=CF，连接BE，DF．求证：BE=DF．
5【答案】证明见解析
【详解】解：∵AE=CF，
∴AE+AC=CF+AC，即CE=AF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠ACB=∠CAD，即∠ECB=∠FAD，
∴△ECB≌△FAD(SAS)，
∴BE=DF．
11．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，
AD=CE．求证：△ABC≌△DCE．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD，
∴∠B=∠DCE，
又∵AD=CE
∴BC=CE
在△ABC和△DCE中，
¿，
∴△ABC≌△DCE(SAS)．
培优第二阶——拓展培优练
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将四
边形ABCD分成阴影和空白部分，若阴影部分的面积8cm2，则四边形ABCD的面积为
_____cm2．
【答案】16
【详解】解：∵O是平行四边形两条对角线的交点，平行四边形ABCD是中心对称图形，
6∴ OEF≌ OHM，四边形OFBG≌四边形OMDN，四边形OGCH≌四边形ONAE，
∴S ABCD=2阴影部分的面积=2×8=16（cm2）．
△平行四边形△
故答案为：16．
13．在平面直角坐标系中，已知点A(5,0)，B(−1,−3)，C(2,−5)，以A，B，C为顶点
画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是___________（写出所有情况）
【答案】（2，2），（8，-2），（-4，-8）
【详解】解：如图，当四边形ACBD为平行四边形时，
D（2，2）；
当四边形ABCD为平行四边形时，
D（8，-2）；
当四边形ABDC为平行四边形时，
D（-4，-8）；
故答案为：（2，2），（8，-2），（-4，-8）．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=60°，AB=1，点D在BC边上，以AC
为对角线的平行四边形ADCE中，当DE的最小时，平行四边形ADCE面积为_________.
7√3
【答案】
2
【详解】解：
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=60°，AB=1
∴∠BCA=30°
∴AC=2AB=2，
∵四边形ADCE是平行四边形
1
∴CO= AC=1，DE=2OD
2
∴故当DE取最小值时，OD也取最小值，
根据“在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”
∴当OD⊥BC时，OD取最小值
∵∠BCA=30°
1 1
∴此时OD= CO=
2 2
√3
根据勾股定理可得：CD=√CO2−OD2=
2
1 √3
∴S = CD•OD=
ΔCDO 2 8
√3
∴平行四边形ADCE面积=4S = .
ΔCDO 2
√3
故答案为 .
2
15．如图，在 ▱ABCD 中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6，点 E、F 分别是边 AB、CD 上
的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为
8．
14 28
【答案】 或
3 5
【详解】设点A落在BC边上的A′点．
1
①如图1，当A′C= BC=2时，A′B=4，
3
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′M垂直于AB，交AB延长线于M点，
在Rt A′BM中，∠A′BM=60°，∴BM=2，A′M=2√3．
28
△
在Rt A′EM中，利用勾股定理可得：x2=（10-x）2+12，解得x= ．
5
△28
即AE= ；
5
1
②如图2，当A′B= BC=2时，
3
设AE=x，则A′E=x，BE=8-x．
过A′点作A′N垂直于AB，交AB延长线于N点，
在Rt A′BN中，∠A′BN=60°，∴BN=1，A′N=√3．
14
△
在Rt A′EN中，利用勾股定理可得：x2=（9-x）2+3，解得x= ．
3
△14
即AE= ；
3
14
所以AE的长为5.6或 ．
3
14
故答案为5.6或 ．
3
16．如图所示，平行四边形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O ，以AB、
1
AO 为邻边作平行四边形ABC O ,平行四边形ABC O 的对角线交于点O ，同样以AB、
1 1 1 1 1 2
9AO 为邻边作平行四边形ABC O ,……，依次类推，则平行四边形ABC O 的面积为
2 2 2 n n
_________________．
5
【答案】
2n−1
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
1
∴S = S ，
ΔABO 1 4 ▱ABCD
又∵S =2S ABO ，
▱ABC
1
O
1
Δ 1
1
∴S = S ，
▱ABC 1 O 1 21 ▱ABCD
同理可得
1 1 1 1
S = S = × ×S = S ，
▱ABC 2 O 2 2 ▱ABC 1 O 1 2 2 ▱ABCD 22 ▱ABCD
1 1 1 1
S = S = × ×S = S ，
▱ABC 3 O 3 2 ▱ABC 2 O 2 2 22 ▱ABCD 23 ▱ABCD
⋯，
1
以此类推有：S = S ，
▱ABC n O n 2n ▱ABCD
而S =10
▱ABCD
1 1 5
∴S = S = ×10= ，
▱ABC n O n 2n ▱ABCD 2n 2n−1
5
故答案为：
2n−1
17．在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=EF=CF，连接BE、DF．
10(1)如图1，求证：BE=DF．
(2)如图2，连接DE，BF，在不添加任何辅助线条件下，请直接写出图2中所有与四边形
BEDF面积相等的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△ABF,△BCE,△CDE,△ADF
【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD,AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△BAE≌△DCF(SAS)，
∴BE=DF；
（2）解：∵△BAE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∵∠AEB+∠AEB=∠CFD+∠CFD=180°
∴∠FEB=∠EFD，
∴BE∥FD，
∵BE=DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴S =2S =2S ，
▱BEDF △BEF △≝¿¿
∵AE=EF=CF，
∴S =2S ,S =2S ,S =2S ，
△ABF △BEF △BCE △BEF △ADF △≝¿,S =2S ¿
△CDE △≝¿¿
∴与四边形BEDF面积相等的三角形有：△ABF,△BCE,△CDE,△ADF．
18．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接
AE、AC、ED，AC与ED交于点O，AE=AB，求证：
(1)AC=DE．
(2)OE=OC
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
11∴∠B+∠BCD=180∘
∵AB=AE，
∴AE=CD，∠B=∠AEB，
∵∠AEB+∠AEC=180∘，
∴∠AEC=∠ECD，
∵¿，
∴△AEC≌△DCE，
∴AC=DE．
（2）由（1）得△AEC≌△DCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC．
19．如图，在▱ABCD中，点E为AD中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接
AF．
(1)如图1，求证：CD=DF；
(2)如图2，连接AC，请直接写出图中面积等于△AEF面积2倍的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2)△ADF，△ABF，△ABC，△ADC
【详解】（1）∵ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DFE，∠BAE=∠FDE，
∵E为AD中点，
∴AE=DE，
∴△AEB≅△≝¿
∴AB=DF，
∴CD=DF；
（2）如图，
12∵AE=DE,
∴S =S ，
△AEF △≝¿¿
∴S =S +S
△ADF △AEF △≝¿=2S ,¿
△AEF
∵△AEB≅△≝,
∴BE=FE,
∴S =S ,
△ABE △AFE
∴S =2S ；
△ABF △AEF
∵AB=DF,AB=CD
∴CD=DF,
∴S =S =S =2S ，
△ABC △ACD △ADF △AEF
∴等于△AEF面积2倍的三角形有△ADF，△ABF，△ABC，△ADC
20．探究：如图1，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC
于点F．
(1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等．
(2)直线EF是否将▱ABCD的面积分成二等份？试说明理由．
(3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜
园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把
地分开．
【答案】(1)证明见解析
(2)直线EF是将▱ABCD的面积分成二等份，理由见解析
(3)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，¿，
∴△OAE≅△OCF(ASA)，
13∴AE=CF，
同理可证：△ODE≅△OBF，
∴DE=BF，
∴AB+AE+EF+BF=CD+CF+EF+DE，
∴四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等．
（2）解：直线EF是将▱ABCD的面积分成二等份，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,OA=OC,OB=OD，
在△AOB和△COD中，¿，
∴△AOB≅△COD(SSS)，
∴S =S ，
△AOB △COD
由（1）已证：△OAE≅△OCF，△ODE≅△OBF，
∴S =S ，S =S ，
△OAE △OCF △ODE △OBF
∴S +S +S =S +S +S ，
△AOB △OAE △OBF △COD △OCF △ODE
∴四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等，
即直线EF将▱ABCD的面积分成二等份．
（3）解：连接AC,BD交于点O，作直线OP，则直线OP两侧的四边形面积相等，如图所
示：
培优第三阶——中考沙场点兵
21．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四
边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100° B．80° C．70° D．60°
【答案】B
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
14∴∠AEG=∠EGC，
∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，
∴∠GEF=30°，
∴∠GEA=80°，
∴∠EGC=80°．
故选：B．
22．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，CA⊥AB，若∠B=50°，
则∠CAD的度数是______．
【答案】40°/40度
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=50°，
∴∠ACB=90°−∠B=40°，
∴∠CAD=∠ACB=40°，
故答案为：40°．
23．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相
交于点O，AC+BD=22，则 BOC的周长为________
△
【答案】21
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴AO=OC= AC，BO=OD= BD，BC=AD=10,
2 2
∵AC+BD=22，
∴OC+BO=11，
∵BC=10，
∴ BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21．
△
15故答案为：21．
24．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A(−1,2)，
OC=4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B'坐标是______．
【答案】(−2,3)或(2,−3)
【详解】解：∵A(-1，2)， OC= 4，
∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3，
AB//x轴，BM= 3．
将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，
由旋转得：OM=OM =OM =2，
1 2
∠AOA =∠AOA =90°
1 2
BM=BM=BM=3，
1 1 2 2
AB⊥x轴，AB⊥x轴，
1 1 2 2
∴B 和B 的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)，
1 2
∴B'即是图中的B 和B，坐标就是， B' (-2， 3)， (2，-3)，
1 2
故答案为： (-2，3)或 (2， -3)．
25．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝2，BC＝3．按
1
以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧交于M，N
2
两点；②作直线MN．若直线MN恰好经过点A，则平行四边形ABCD的面积是 _____．
16【答案】4√2
【详解】解：如图，设MN交CD于点T．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
根据题意，由基本作图可知AT垂直平分线段CD，
∴CT＝TD＝1，AD＝AC＝3，
∴AT=√AC2−CT2=√32−12=2√2，
∴平行四边形面积S=CD⋅AT=2×2√2=4√2．
故答案为：4√2．
26．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点
F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
【答案】70°
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∵DF平分∠ADC，
1
∴∠CDF＝ ∠ADC＝70°，
2
∴∠AFD＝∠CDF＝70°，
∵DF∥BE，
17∴∠ABE＝∠AFD＝70°．
27．（2022·四川泸州·统考中考真题）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，
CD上的点，已知AE=CF．求证：DE=BF．
【答案】见解析
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB，
在△ADE和△CBF中，
¿，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴DE=BF．
18
