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6.1 平均数与方差
题型一 求一组数据的平均数
1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给
901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 分 B． 分 C． 分 D． 分
【答案】D
【分析】本题考查了求平均数．
先根据统计图得到评9分的评委人数，进而根据平均数的定义计算即可．
【详解】解：由统计图可知，评9分的人数为 （人），
则901班平均得分 （分）．
故选：D．
2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：h）：8，9，10，9，9，11，
7．则小丽该周每天的平均睡眠时间（ ）
A．9 B．9.1 C．9.2 D．9.3
【答案】A
【分析】本题主要考查平均数的计算，熟练掌握其算法是解题的关键．利用平均数的定义列式求解即可．
【详解】解：由题意得，
小丽该周每天的平均睡眠时间为： ．
故选：A．
3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）一组数据：3，4，4，6，8．这组数据的平均数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了平均数，掌握平均数的求法是解题的关键．
计算一组数据的平均数，只需将所有数据相加后除以数据的个数即可．
【详解】∵数据总和为 ，数据个数为5，
∴平均数为 ．
故选：C．
4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）某校足球队共有队员 人，其中 岁的有5人， 岁的有9人，
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学科网（北京）股份有限公司岁的有6人，则该校足球队队员的平均年龄是 岁．
【答案】
【分析】本题主要考查平均数，掌握平均数的定义是解题的关键．
根据平均数的计算公式进行计算即可．
【详解】解：该校足球队队员的平均年龄为： （岁）
故答案为： ．
5．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）一组数据2，2，3，4，6，7的平均数是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，解题的关键是掌握平均数公式．
通过计算所有数据的和除以数据的个数得到平均数．
【详解】解： ，
故答案为：4．
题型二 已知平均数求未知数据的值
1．（24-25六年级下·全国·单元测试）小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成
绩达到86分．这一次是第（ ）次考试．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了平均数，一元一次方程的应用，根据小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100
分，才能使平均成绩达到86分，列方程，即可作答．
【详解】解：设这一次是第 次考试，
∵小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分，才能使平均成绩达到86分．
∴
解得 ，
∴这一次是第8次考试，
故选：B．
2．（16-17八年级下·湖北·期末）如果一组数据3、4、x、5的平均数是4，那么x的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】本题考查平均数，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平均数计算公式列方程求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意得，
，
解得： ，
故选：D．
3．（25-26九年级上·重庆合川·期中）一组数据 的平均数是4，则 ．
【答案】3
【分析】此题考查了平均数的定义，根据平均数的定义，所有数据之和除以数据的个数等于平均数，据此
构建方程求解．
【详解】∵一组数据 的平均数是4，
∴
∴ ．
故答案为：3．
4．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）甲、乙两数的平均数是16，甲、乙、丙三数平均数是20，可算
出丙数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平均数的含义，根据平均数的含义列式计算即可．
【详解】解：由题意可得：
．
故答案为： ．
5．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）一组数据： ， ， ， ， ， ，已知这组数据的平均数是 ．
(1)求 ， ， 三个数的和；
(2)求 ， ， 的平均数．
【答案】(1) ， ， 三个数的和为 ；
(2) ， ， 的平均数为 ．
【分析】本题考查了算术平均数，正确掌握算术平均数的计算公式是解题的关键．
（ ）由题意得 ，然后求出 即可；
（ ）由（ ）得 ，然后通过算术平均数即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：由题意，得 ，
∴ ，
∴ ， ， 三个数的和为18；
（2）解：由（ ）得 ，
，
∴ ， ， 的平均数为 ．
题型三 利用平均数作决策
1．（2025七年级上·四川成都·专题练习）比较甲、乙两家公司的员工平均工资，甲公司更高，则某人应聘
到甲公司领到的工资更多( )
【答案】
【分析】本题主要考查平均数的含义和利用平均数作决策，平均工资高不代表每个员工的工资都更高，可
能存在极端值或工资分布不均的情况．
【详解】解：平均数是所有数据之和除以数据的个数，它反映的是整体水平，但不能保证每个个体的数值
都高于另一组．例如，甲公司可能存在少数高薪员工拉高平均数，而多数员工工资低于乙公司．因此，仅
凭平均工资更高，无法确定某人进入甲公司后的工资一定更高．
故答案为： ．
2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（平均数问题）王芳所在班级的数学平均成绩是84分，李明所
在班级的数学平均成绩是86分，所以李明的数学成绩一定比王芳的数学成绩高．( )
【答案】
【分析】本题考查了平均数定义，根据平均数反映一组数据的平均情况，不能准确判断其中某一个数的大
小，即可解题．
【详解】解：平均成绩反映的是总体水平的集中趋势，不能体现个人的成绩．
题目中王芳和李明的分数并不知道，不能进行比较．则题目说法错误．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期
间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下：
甲：85 88 84 85 83
乙：83 87 84 86 90
(1)分别计算这两组数据的平均数．
(2)现要选派一人参加操作技能比赛，从（1）的结果看，你认为选派哪名工人参加合适？
【答案】(1)甲85，乙86
(2)乙
【分析】本题主要考查了平均数：平均数表示一组数据的平均程度．
（1）根据平均数的公式计算，即可求解；
（2）根据 ，即可求解．
【详解】（1）解： ， ．
（2）解：因为 ，
所以选派乙参加合适．
4．（24-25八年级上·江西吉安·期末）张华与王强两人的期末6科考试成绩如下表：
政 英 物
语文 数学 化学
治 语 理
张华 88 84 91 96 76 81
王强 83 95 89 93 89 67
(1)求两人的学习成绩的平均数；
(2)现要从中选一人参加除政治外其他五科竞赛，应选谁去？说明理由．
【答案】(1)张华 分，王强 分
(2)选王强去，理由见解析
【分析】本题考查平均数的计算与应用，解题关键是熟练运用平均数公式，通过计算对比数据做决策．
（1）根据平均数的定义，平均数等于所有数据之和除以数据的个数．分别将张华和王强的6科成绩相加，
再除以6，即可得到两人的平均成绩．
（2）依据平均数的计算方法，先筛选出除政治外的五科成绩，分别计算张华和王强这五科成绩的总和，
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学科网（北京）股份有限公司再除以5得到各自的平均分，通过比较平均分来决定选谁参加竞赛，平均分高的更适合．
【详解】（1）解：张华∶ (分)
王强： (分)
（2）解：选王强去，理由如下：
张华其他五科的平均分： 85.6(分)
王强其他五科的平均分∶ (分)
因为 ，
所以应选王强去．
题型四 求加权平均数
1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）国庆节期间某校组织了“爱我中华”手抄报创意比赛，比赛按照如
图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知八（3）班的“主题内容”、“排版设计”、“文字书
写”三项得分分别是9分，8分，9分，则该班的最终得分为（ ）
A． 分 B． 分 C． 分 D． 分
【答案】B
【分析】本题主要考查了扇形统计图、加权平均数等知识点，理解加权平均数的意义是解题的关键．
根据加权平均数，结合扇形统计图得出 ，然后求解即可．
【详解】解：由扇形统计图可知，该班的最终得分 分．
所以该班的最终得分为 分．
故选B．
2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某超市销售 、 、 三种不同型号的笔记本，它们的单价分别为
16元，20元，30元，某天该超市的笔记本销售数量情况如图所示，这天该超市销售笔记本的平均单价为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．20元 B．21元 C．22元 D．23元
【答案】B
【分析】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式
计算可得结果．
【详解】解：由题意可得：
（元）．
故选：B．
3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）某校规定学生的学期数学成绩满分为 分，其中研究性学习成绩
占 ，期末卷面成绩占 ，小明的两项成绩依次是 分、 分，则小明这学期的数学成绩是
分．
【答案】
【分析】本题考查加权平均数的定义，熟练掌握加权均平均数的计算公式是解题的关键，根据加权平均数
的计算公式，将两项成绩分别乘以对应的权重后相加，即可得到学期数学成绩．
【详解】解：∵小明的研究性学习成绩为 分，权重 ；期末卷面成绩为 分，权重 ，
∴学期数学成绩为： ，
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）某校组织信息科技知识竞赛，包括三个内容：算法与数据结构、编
程语言、实践应用，考核的满分均为 分，竞赛总分按每个内容的重要性作为权重计分．已知三个内容
的重要性之比依次为 ，每个内容小宇的得分依次为 ，那么他的竞赛总分是 ．
【答案】 分
【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三个内容的权重比及得分，
应用加权平均数公式求解．
【详解】解：三个内容的权重比为 ，总权重为 ，
∴竞赛总分为 （分）．
故答案为： 分．
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学科网（北京）股份有限公司5．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）某校规定学生学期的体育成绩由三部分组成：平时体育活动表现、
体育理论测试、体育技能测试，三项成绩按 的比例计入总成绩．小颖的上述三项成绩依次是 分、
分、 分，则小颖的体育成绩是 分．
【答案】
【分析】本题考查加权平均数的计算，根据三项成绩的比例 ，计算加权平均数。
【详解】解： 平时体育活动表现、体育理论测试、体育技能测试的比例为 ，总份数为 ，
小颖的体育成绩是 ，
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·山东烟台·期中）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的
原始分均为100分．前3名选手的得分如下：
序号 1 2 3
笔试成绩/分 90 92 84
面试成绩/分 85 88 86
根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分），现
得知1号选手的综合成绩为87分．
(1)求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；
(2)求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次．
【答案】(1)笔试成绩占 ，面试成绩占
(2)2号选手综合成绩89.6分，3号选手综合成绩85.2分，名次为：第一名2号，第二名1号，第三名3号
【分析】本题考查了加权平均数和一元一次方程的应用，熟知加权平均数的计算公式是解题的关键．
（1）设笔试成绩占百分比为 ，则面试成绩占比为 ，根据题意列出方程，求解即可；
（2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出其余两名选手的综合成绩，即可得出答案.
【详解】（1）解：设笔试成绩占百分比为 ，则面试成绩占比为 ，
由题意，得 ，
，
∴笔试成绩占 ，面试成绩占 ；
（2）解：2号选手的综合成绩： ，
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学科网（北京）股份有限公司3号选手的综合成绩： ，
∴三位选手按综合成绩排名为：第一名：2号，第二名：1号，第三名：3号.
题型五 已知加权平均数求未知数据的值
1．（2024八年级下·全国·专题练习）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示：
环数
人数
若该小组的平均成绩为 环，则成绩为 环的人数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了加权平均数的求法，设成绩为 环的人数为 ，则根据平均数的计算公式即可求得
的值，熟练掌握加权平均数是解题的关键．
【详解】解：设成绩为 环的人数是x，根据题意得：
，
解得： ，
则成绩为 环的人数是 ，
故选： ．
2．（21-22九年级上·全国·课后作业）王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一
亩地的良种西瓜，第一年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下
10个成熟的西瓜，称重如下∶
西瓜质量/千克 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3
西瓜个数/个 1 2 3 2 1 1
根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是 千克．
【答案】3125
【分析】根据表格，算出加权平均数，然后再估计这亩地的西瓜质量即可.
【详解】解: （千克），
（千克）．
故答案为：3125
【点睛】本题考查加权平均数的应用，根据公式解题是关键．
3．（20-21八年级下·重庆巴南·期末）已知某班共有学生50人，其中男生30人．若该班学生的平均身高
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学科网（北京）股份有限公司是 ，女生的平均身高是 ，则该班男生的平均身高是 ，这里的 ．
【答案】175
【分析】设30名男生的平均身高为acm，根据平均数的定义，列出方程即可解决问题．
【详解】解：某班共有50名学生，其中30名男生，20名女生，平均身高为168cm；
设30名男生的平均身高为acm，
则有： =168，
解得a=175（cm）．
故答案为：175．
【点睛】本题考查的是加权平均数的应用．本题易出现的错误是对 ，168这两个平均数的理解不正确．
4．（20-21八年级下·北京朝阳·期末）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，
公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大．
【答案】面试
【分析】设此次招聘中面试的权重为 ，从而可得笔试的权重为 ，根据加权平均数的计算公式求出
的值，由此即可得出答案．
【详解】解：设此次招聘中面试的权重为 ，则笔试的权重为 ，
由题意得： ，
解得 ，
，
则此次招聘中面试的权重较大，
故答案为：面试．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟记公式是解题关键．
题型六 利用加权平均数作决策
1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）某互联网公司正在招聘一名产品经理，经过初筛后，甲、乙、丙、
丁四名候选人进入最终考核环节，考核分为三个部分：
（1）笔试（占比 ）：考察产品知识、逻辑分析能力．
（2）面试（占比 ）：考察沟通能力、团队协作、职业规划．
（3）项目实战（占比 ）：要求候选人在2小时内完成一个简单的产品需求文档（ ），考察实操
能力．四位候选人的各项成续如下表所示（满分100分）：
项目 考核成绩
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学科网（北京）股份有限公司甲 乙 丙 丁
笔试 87 90 88 86
面试 90 88 92 94
项目实战 83 92 85 90
请计算四位候选人的最终得分，按照公司要求；项目实战成绩必须达到85分以上（包括85分）才能进入
录用名单，那么最终录用的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
首先检查项目实战成绩是否达到85分，甲不符合条件；然后计算乙、丙、丁的加权平均分（笔试 、
面试 、项目实战 ），比较得分高低．
【详解】解：∵项目实战成绩达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单，
∴甲的项目实战成绩是83分， ，不符合；
乙、丙、丁的项目实战成绩均符合．
计算最终得分：
乙： 分，
丙： 分，
丁： 分，
∵丁得分最高，
∴录用丁．
故选D．
2．（25-26七年级上·福建泉州·期中）某校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位
候选人进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表：
甲 乙 丙 丁
语言表达能 9
96 80 91
力 2
舞台仪态表 8
80 96 84
现 4
若总成绩的计算方法是：语言表达能力 舞台仪态表现 ，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的
同学是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算公式是解决问题的关键．根据总成绩 的计
算公式，分别计算甲、乙、丙、丁四位候选人的总成绩，再比较大小，选出总成绩最高的同学．
【详解】解：甲的总成绩： 分，
乙的总成绩： 分，
丙的总成绩： 分，
丁的总成绩： 分，
∵ ，甲的总成绩最高．
故选：A．
3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）为准备参加中小学生机器人竞赛，学校对甲、乙两支机器人制作小
队所创作的机器人分别从创意、设计、编程与制作三方面进行量化，各项量化满分10分，根据量化结果择
优推荐．两支小队所创作的机器人三项量化得分（单位：分）如下表所示：
量化得分
量化项目
甲
乙队
队
创意 9 7
设计 8 9
编程与制作 7 9
根据本次中小学生机器人竞赛的主题要求，将创意、设计、编程与制作三项量化得分按5：3：2的比例确
定每队的平均分，并根据平均分择优推荐， 队将被推荐参赛．
【答案】甲
【分析】本题主要考查了加权平均数的求法，掌握其计算公式是解题的关键；根据加权平均数的计算方法，
分别求出甲、乙两队的平均分，比较后得分高的队被推荐.
【详解】甲队的加权平均分为：
；
乙队的加权平均分为：
；
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴甲队将被推荐参赛.
4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）某美食平台对商家的评分包含四项，分别是口味、服务、性价比和
环境．以下是 两个商家四项得分的情况：
商 服
口味 性价比 环境
家 务
A 4.5 4.7 4.2 4.8
B 4.6 4.8 4.5 4.1
如果某顾客将以上四项得分按 计算，那么他会选择商家 （填“A”或“B”）
【答案】B
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的概念，按照给定的权重比例计算商家A和B的综合得
分，并比较大小．
【详解】解：商家A的加权总分： ；
商家B的加权总分： ；
比较加权和， ，因此顾客会选择商家B，
故答案为： ．
5．（20-21八年级上·山东泰安·期中）某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔
试，他们的成绩如表：
候选人 甲 乙
面试 85 90
测试成绩（百分
制）
笔试 90 80
如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，面试成绩和笔试成绩按照6：4的比例
确定个人的成绩，平均成绩高者将被录取，公司将录取 ．
【答案】甲
【分析】本题考查了加权平均数的计算公式，根据题意先算出甲、乙两位候选人的加权平均数，再进行比
较，即可得出答案．
【详解】解：甲的平均成绩为： （分），
乙的平均成绩为： （分），
因为甲的平均分数最高，
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学科网（北京）股份有限公司所以甲将被录取．
故答案为：甲．
6．（24-25九年级下·福建龙岩·月考）某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能
三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各方面得分如下表：
序号项目 甲 乙 丙
笔试成绩/分 82 81 84
面试成绩/分 79 90 80
体能成绩/分 91 72 76
(1)根据三方面得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
(2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按 的比例计入
总分，总分最高者将被录用．根据规定，请你说明谁将被录用．
【答案】(1)三名应聘者的排名顺序为甲、乙、丙
(2)丙将被录用
【分析】本题考查了平均数的计算以及加权平均数的实际应用，解题的关键是明确平均数与加权平均数的
计算公式，并结合题目给定的条件（如分数下限要求）进行准确计算与判断。
（1）根据平均数公式“平均数 所有数据之和 数据个数”，分别计算甲、乙、丙三人三项成绩的总和，
再除以3得到平均分，最后比较平均分大小确定排名；
（2）首先筛选出笔试 分、面试 分、体能 分的应聘者，排除不符合条件的人员；再根据“加
权总分 笔试成绩 面试成绩 体能成绩 ”，分别计算剩余应聘者的总分，比较总分大小
确定录用者。
【详解】（1）解：计算甲的平均分： （分）
计算乙的平均分： （分）
计算丙的平均分： （分）
比较大小：
答：三名应聘者的排名顺序为甲、乙、丙。
（2）解：甲：笔试 ，面试 ＜ ，不符合规定，排除；
乙：笔试 ，面试 ，体能 ，符合规定；
丙：笔试 ，面试 ，体能 ，符合规定。
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学科网（北京）股份有限公司乙的总分：
（分）
丙的总分：
（分）
比较总分：
答：丙将被录用。
题型七 求众数
1．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在倡导“全民阅读”的环境下，越来越多的学生选择去图书馆借阅
图书，小红根据去年4~10月本班同学去图书馆借阅图书的人数，绘制了如图所示的折线统计图，则这些人
数的众数是（ ）
A．46人 B．42人 C．32人 D．27人
【答案】C
【分析】本题考查众数，折线统计图．根据众数的定义解答即可．
【详解】解：在这一组数据中32是出现次数最多的，
故众数是32．
故选C．
2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、
智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．9 B．10 C．8 D．8.4
【答案】A
【分析】本题考查众数的定义，理解他们的含义是本题关键．根据众数是出现次数最多的数求解即可．
【详解】解：小明同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，
出现次数最多的数是9，所以众数为9，
故选：A．
3．（2025·甘肃定西·模拟预测）数据5，8，4，5，3的众数和平均数分别是（ ）
A．8，5 B．5，4 C．5，5 D．4，5
【答案】C
【分析】本题考查众数、平均数，掌握概念正确进行计算是解题关键．
根据众数的定义，找出数据中出现次数最多的数；根据平均数的计算公式，求出所有数据的平均值．
【详解】解：∵ 数据5, 8, 4, 5, 3中，5出现了2次，次数最多，
∴ 众数为5；
∵ 数据之和为 ，数据个数为5，
∴ 平均数为 ；
故选：C．
4．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）在学习正数和负数时，研博老师在黑板上写了7个数：3，
，0，8，a，5， ，若这组数据的平均数是3，则这组数据的众数是（ ）
A．8 B．3 C．5 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查平均数及众数的概念，根据平均数及众数的概念即可求解．
【详解】解：根据题意得：这组数据的平均数是3，
，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则这组数为3， ，0，8，8，5， ，出现次数最多的是8；
故这组数据的众数是8．
故选：A．
5．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）某校九年级8个班级向“希望工程”捐献图书，捐书情况如下：
班
一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 八班
级
册
50 96 100 90 90 120 500 90
数
则捐书册数的众数是 ．
【答案】90
【分析】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据即为众数．
【详解】解：捐书册数中50出现1次，96出现1次，100出现1次，90出现3次，120出现1次，500出现
1次，
90出现的次数最多，故众数为90．
故答案为：90．
题型八 已知众数求未知数据的值
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（ ）
A．12 B．11 C．11.5 D．19
【答案】A
【分析】此题考查了众数的定义，众数是数据中出现次数最多的数，注意众数可以不止一个．
根据众数的定义求解即可．
【详解】解： 数据11，12，12，19，11，x的众数是12，
．
故选：A．
2．（2025·河南·模拟预测）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则
数据x是 ．
【答案】1或2
【分析】根据众数的定义，结合正整数的性质解答即可．
本题考查了众数，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，
∴ ，
18 / 43
学科网（北京）股份有限公司由x为正整数,
故数据x是1或2．
故答案为：1或2．
3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一组数据1，2，3，x，5，这组数据的众数是3，则x的
值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了众数的定义，“一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数”，据此即可求
解﹒
【详解】解：一组数据1，2，3，x，5，这组数据的众数是3，则x的值为3﹒
故答案为：3﹒
4．（16-17八年级下·湖北·期末）一组数据2、3、x、4的众数与平均数相等，则x＝
【答案】3
【分析】此题考查了众数和平均数，掌握相关知识是解决问题的关键．分类讨论众数分别为2，3，4时，
计算平均数是否与众数相等即可．
【详解】解：当这组数的众数是2时， ，
此时平均数是： ，
故此情况不成立；
当这组数的众数是3时， ，
此时平均数是： ，
故此情况成立；
当这组数的众数是4时， ，
此时平均数是： ，
故此情况不成立．
故答案为：3．
题型九 利用众数作决策
1．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期中）若要表示同学们最喜欢的动画片，应该选取（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．不能确定
【答案】C
【分析】此题考查众数的意义，正确理解概念是解题的关键．
19 / 43
学科网（北京）股份有限公司由于动画片是分类数据，众数表示出现次数最多的类别，因此能反映最受欢迎的动画片．
【详解】 表示最喜欢的动画片需要找出被最多同学选择的类别，
应使用众数，即出现频率最高的选项；
平均数和中位数用于数值计算，不能直接用于类别数据．
故选：C．
2．（23-24八年级下·重庆江津·期末）江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如
下：
码号 4
38 39 40 42 43
（码） 1
件数 1
2 4 7 5 1
（双） 8
你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（ ）
A．39 B．40 C．41 D．42
【答案】C
【分析】本题主要考查统计中的众数概念．掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据成为解题的关键．
根据进货量应多进众数对应的码号，据此即可解答．
【详解】解：∵ 41码的销售件数为18双，高于其他码号的件数（38码2双、39码4双、40码7双、42
码5双、43码1双），
41码是众数，应多进41码的鞋子．
∴故选C．
3．（2025·江苏盐城·中考真题）在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪
种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】D
【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键．
根据题意，结合众数的意义，即可求解．
【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数，
故选：D．
4．（25-26九年级上·全国·单元测试）某小组计划在本周的一个下午借用 、 、 三个艺术教室其中的
一个进行元旦节目的彩排，他们去教学处查看了上一周 、 、 三个艺术教室每天下午的使用次数（一
节课记为一次）情况，列出如下统计表：
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学科网（北京）股份有限公司日期
星期
次数 星期一 星期三 星期四 星期五
二
教室
A教室 4 1 1 2 0
B教室 3 4 0 3 2
C教室 1 2 1 4 3
通过调查，本次彩排安排在星期 的下午找到空教室的可能性最大.
【答案】三
【分析】本题主要考查了归纳对比的方法，解决本题的关键是准确算出教室使用的和．
通过计算每天三个教室的使用总次数，比较得出星期三的总次数最小，因此空教室可能性最大．
【详解】星期一总次数： 次；星期二总次数： 次；星期三总次数： 次；星
期四总次数： 次；星期五总次数： 次；比较各天总次数，星期三总次数最小，故空教
室可能性最大；
故答案为三．
5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售
情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是 ．
【答案】众数
【分析】本题主要考查根据合适的统计量作决策，理解众数的意义，是解题的关键．
根据众数的意义，即可得到答案．
【详解】根据表格数据，可得：41码是众数，
故增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是众数，
故答案为：众数．
6．（24-25八年级下·浙江台州·期末）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，销售量如表：根据表
中的数据，可建议鞋店进货时，多进尺码为 的女鞋．
尺码 22 23 24 25
销售量/双 1 5 12 6 3 2 1
21 / 43
学科网（北京）股份有限公司【答案】23
【分析】本题主要考查统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．一组数
据中出现次数最多的数据叫做众数．
根据众数的定义即可求解．
【详解】解：观察数据可知，23出现的次数最多，故鞋店多进一些同一尺码的鞋，该尺码为 ，
故答案为： ．
题型一 利用已知平均数求相关数据的平均数
1．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）数 ， ， 的平均值是333，则数 ， ，
的平均值是（ ）
A．444 B．333 C．555 D．111
【答案】A
【分析】此题考查了平均数的定义，首先根据题意得到 ，求出 ，然后根
据平均数的定义求解即可．
【详解】解：∵ ， ， 的平均值是333，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故选：A．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若 与 的平均数为6，则 与 的平均数为 ．
【答案】8
22 / 43
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了平均数，熟记平均数的计算公式是解题关键．
先根据平均数的计算公式可得 ，再根据平均数的计算公式即可得．
【详解】解： 与 的平均数是6，
，即 ，
∴ 与 的平均数是 ．
故答案为：8．
3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）已知一组数据 的平均数是3，那么另一组数据 ，
， ， ， 的平均数是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的定义是解题的关键．由题意得 ，再
根据平均数的定义计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴数据 ， ， ， ， 的平均数是12．
故答案为：12．
4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知一组正数a，b，c，d的平均数为5，则 ， ，
， 的平均数为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了算术平均数的计算，熟练掌握算术平均数的计算是解题的关键．先根据平均数的计算
方法求出 ，再代入 ， ， ， 的平均数的式子中计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 一组正数a，b，c，d的平均数为5，
，
，
则 ， ， ， 的平均数为
．
故答案为：2．
5．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）若一组数据 的平均数为 ，则另一组数据
的平均数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平均数，根据平均数的变化规律，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型二 出错情况下的平均数问题
1．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）长沙市抽样调查了 位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一
位，是 元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这 位蓝领的平均月收入比实际平均月
收入高出了 元，则输入计算机的那个错误数据是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“
个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差 元， 据此求
出错误数据 ．
【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为： ．
故答案为： ．
题型三 求方差
1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）求一组数据方差的算式为：
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学科网（北京）股份有限公司．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．n的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
【答案】C
【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选
项的正误即可．
【详解】解：选项A、算式中差的平方项数为5，对应数据个数 ，正确；
选项B、平均数 ，正确；
选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误；
选项D、原方差 ，
加入两个7后的的方差 ，
加入两个7后，方差由 减小为 ，正确；
综上，错误的说法是C．
故选：C．
2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）将一组数据1，2，3，4，5增加一个数3，则新的一组数据的（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大
【答案】C
【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．
根据平均数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，从而做出判断．
【详解】解：∵原数据的平均数为 ，
∴方差为 ；
∵新数据的平均数为 ，
25 / 43
学科网（北京）股份有限公司∴方差为
∴新数据与原数据相比平均数不变，方差变小．
故选：C．
3．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）数据 的方差等于 ．
【答案】
2
【分析】本题考查了数据方差的计算，解决本题的关键是先计算平均值，再代入公式求解．
计算数据的方差，需先求平均值，再求各数据与平均值的差的平方，最后求这些平方的平均值．
【详解】解：数据 的平均值为 ，
各数据与平均值的差分别为 ，平方后为 ，
这些平方的平均值为 ．
故答案为：2．
4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）一组数据4、5、6、7、8的方差为 ，另一组数据0、5、0、7、12
的方差为 ，那么 （填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】<
【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差公式是解题的关键；通过计算两组数据的方差进行比较即可．
【详解】解：对于第一组数据4、5、6、7、8，平均数为 ，
方差为 ；
对于第二组数据0、5、0、7、12，平均数为 ，方差为
；
由于 ，故 ；
故答案为：＜．
26 / 43
学科网（北京）股份有限公司5．（25-26九年级上·浙江·期中）一组数据 的方差为5，若将每个数据都加上2，则新数据的
方差为 ．
【答案】5
【分析】此题主要考查了方差得求解，设原数据的平均数为 ，由方差公式得
，表示新数据的各个数，计算新的平均数，代入方差公式求解即
可．
【详解】解：∵一组数据 、 、 的方差是 ，
∴设原数据的平均数为 ，
由方差公式得 ，
由题意得，该组数据每一个数据都加上2后得到的新数据是： ， ， ．
∴新数据组的平均数为
∴新数据组的方方差为：
．
故答案为：5．
6．（25-26八年级上·全国·单元测试）一组数据为 ， ， ， ， ，求这组数据的方差．
【答案】
【分析】本题考查了方差的计算，方差是各数据值离差的平方和的平均数，熟练掌握计算公式是解答本题
的关键．对于n个数 ，算术平均数的计算公式是： ，方差的计算公式为：
．
先求平均数，再求方差即可．
27 / 43
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
题型四 已知方差求未知数据的值
1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）某组数据的方差
，则该组数据的总和是（ ）
A．8 B．20 C．40 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方差的定义，解题的关键是对方差公式的理解．
根据方差的求解公式可知这组数的平均数以及这组数的个数，据此即可作答．
【详解】解：∵数据的方差 ，
∴该组数据共有8个，平均数为5，
∴该组数据的总和是 ．
故选：C
2．（2025八年级上·全国·专题练习）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方
差相等，则x的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了方差的性质，利用方差的性质：一组连续整数的方差相同。第一组数据若要方差与第
二组（连续整数）相等，则其也需为连续整数，从而确定x的值．
【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值，
又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等，
∴第一组数据也应为连续整数，
当 时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数，
当 时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数，
x的值为1或6．
∴故选：C．
3．（25-26九年级上·福建·阶段练习）小明用 ，计算一组数据的
28 / 43
学科网（北京）股份有限公司方差，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了方差计算公式，一组数据 的平均数为 ，那么它的方差为
，据此可得 这组数据的平均数，进而可得答案．
【详解】解：由题意得， 这10个数据的平均数为3，
∴ ，
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·河北唐山·期中）嘉嘉用公式 计算
一组数据的方差，那么这组数据的平均数是 ．
【答案】2
【分析】方差的计算公式中，各数据与平均数的差的平方的平均值即为方差，在给定的公式中，各数据均
减去2后进行平方运算，表明平均数为2.
【详解】由方差定义公式 可知，公式中减去的值 即为数据的平均数.
本题中公式为 ，因此平均数 .
故答案为：2．
5．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一组数据的方差
，则 ．
【答案】25
【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设 个数据 的平均数为 ，则方差
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之
也成立．
根据方差公式中各项偏差均以9为基准，可知该组数据的平均数为9，从而利用平均数的定义求解．
29 / 43
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由方差公式 可知，
该组数据的平均数为9，
因此，有 ，
整理得 ，
即 ，
所以 ．
故答案为：25．
题型五 根据方程判断稳定性
1．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某校举办了一次知识竞赛，为了评价甲、乙、丙、丁四个班学生的
竞赛成绩，先分别从四个班各随机抽取了 名学生的成绩．每个班成绩的平均分都是 分，方差分别为
， ， ， ．那么这四个班的竞赛成绩较稳定的是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
【答案】D
【分析】本题考查了根据方差判断稳定性．方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，成绩越稳定．比较
四个班的方差，丁班方差最小，因此最稳定．
【详解】解： 方差反映数据的离散程度，方差越小，成绩越稳定；
给定方差：甲班 ，乙班 ，丙班 ，丁班 ；
，
丁班方差最小，成绩最稳定．
故选：D．
2．（25-26九年级上·全国·课后作业）某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参
赛，每人都进行20次射击，他们的平均成绩相同，方差分别是 ，
则成绩最稳定的选手是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题主要考查了方差的性质
由于四人的平均成绩相同，因此只需比较方差的大小，方差越小，表示成绩越稳定．
30 / 43
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∵ ，
∴乙的方差最小，成绩最稳定．
故选：B．
3．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是甲、乙两名同学的5次篮球训练中练习投篮成绩的折线统
计图，下列判断正确的是（ ）
A．甲的成绩的中位数比乙的成绩的中位数大 B．甲的成绩的众数是9个
C．甲的成绩的平均数比乙的成绩的平均数大 D．甲的成绩比乙的成绩稳定
【答案】D
【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，折线统计图，根据折线统计
图以及中位数，平均数和众数的定义来判断A、B、C，根据方差与稳定性之间的关系可判断D．
【详解】解：A、由统计图可知，甲的中位数为8个，乙的中位数为8个，故甲的中位数与乙的中位数相
同，原说法错误，不符合题意；
B、由统计图可知，甲的众数是8个，原说法错误，不符合题意；
C、甲的平均数为 个，乙的平均数为 个，故甲的平均数与乙的平均数
相同，原说法错误，不符合题意；
D、由统计图可知甲成绩的波动比乙成绩的波动小，故甲的成绩比乙的成绩稳定，原说法正确，符合题意；
故选：D．
4．（25-26八年级上·全国·单元测试）某校九年级进行了 次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁 名同学 次
数学成绩的平均分都是 分，方差分别是 ， ， ， ，则这 名同学 次数
学成绩最稳定的是
【答案】甲
【分析】本题考查方差的意义，运用数据分析思想，根据方差越小数据越稳定的性质判断；解题关键是理
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学科网（北京）股份有限公司解方差与数据稳定性的关系；易错点是对 “方差越小越稳定” 的结论记反．
根据方差的意义，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定；比较四名同学成绩的方差大小，即可得出结
论．
【详解】解：四名同学成绩的方差分别是 ， ， ， ，
因为 ，
所以甲同学的成绩最稳定．
故答案为：甲．
5．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期中）某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所
示是甲、乙两路段部分台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位： ）
(1)根据图中数据计算： ______ ， ______ ， ______， ______．
(2)根据图中信息请你估计哪条路走起来更舒服？为什么？
【答案】(1)15，15， ，
(2)甲路段的台阶走起来更舒服一些，见解析
【分析】本题主要考查了求平均数，求方差，用方差做判断．
（1）先求出甲、乙路段高度的平均数，进而求出甲、乙路段高度的方差，
（2）比较甲、乙路段高度的方差即可得到结论．
【详解】（1）解： （ ）．
（ ）．
．
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学科网（北京）股份有限公司．
故答案为：15，15， ， ．
（2）解：∵ ，
∴甲路段台阶高度的数据分布比较集中，偏离平均数较小即波动较小，比较稳定，
∴甲路段的台阶走起来更舒服一些．
题型六 利用方差作决策
1．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）为备战运动会，某区（县）对甲、乙、丙三名射击运动员进行射击
测试，他们射击测试成绩的平均数 （单位：环）及方差 （单位：环）如表所示．根据表中数据，要从
中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
甲 乙 丙
【答案】丙
【分析】本题主要考查了平均数和方差，利用平均数和方差作出决策，解题的关键是掌握平均数和方差的
意义．
根据平均数和方差的意义，平均数高表示成绩好，方差小表示发挥稳定．
【详解】解：甲和丙的平均数均为9.6环，高于乙的平均数8.9环，因此从甲和丙中选择；
丙的方差为 ，小于甲的方差 ，因此丙的成绩更稳定．
故答案为：丙．
2．（25-26八年级上·山东东营·期中）学校为选拔数学竞赛选手，对甲、乙两名同学进行了4次模拟测试．
已知两人成绩的方差分别为： ， ，且两人4次测试成绩如下：甲：78，82，79，81，乙：
80，81，79，80，根据平均数和方差，应选 同学参赛．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
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学科网（北京）股份有限公司【分析】此题考查了方差的意义．通过计算平均成绩，甲和乙均为80，平均成绩相同；比较方差，乙的方
差较小，成绩更稳定，因此选乙参赛．
【详解】解：甲的平均成绩为 ；
乙的平均成绩为 ．
两人平均成绩相同．
已知 ， ， ，
因此乙的成绩更稳定，应选乙同学参赛．
故答案为：乙．
3．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的
同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的 名司机月收入（单位：
千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入/千元 中位数 众数 方差
甲公司 6 6
乙公司 4
(1)填空： _____， ______；
(2)求出乙公司的平均月收入 以及方差 ；（ ）
(3)小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选择哪家公司？请说明
理由．
【答案】(1) ，6
(2) ，
34 / 43
学科网（北京）股份有限公司(3)选择甲，理由见解析
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图信息关联．旨在考查学生的数据处理能力．
（1）众数是一组数据中出现次数最多的数值．中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个
数据（或最中间两个数据的平均数）．据此即可求解；
（2）根据平均数和方差的求解公式即可求解；
（3）因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司．
【详解】（1）解：由扇形统计图和条形统计图可知：
；
（2）解：乙公司平均数： （千元）；
乙公司方差： ；
（3）解：建议选择甲．
理由：因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司．
4．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）为检测一批橡胶制品的弹性，现抽取15条皮筋的抗拉伸程度的数据
（单位：牛）：5，4，4，4，5，7，3，3，5，5，6，6，3，6，6．
(1)这批橡胶制品的抗拉伸程度的平均数为 牛．
(2)若生产产品的抗拉伸程度的波动方差大于 ，这家工厂就应对机器进行检修，现在这家工厂是否应检
修生产设备？通过计算说明．
【答案】(1)
(2)应检修生产设备，计算见解析
【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，用方差做决策，熟知平均数和方差计算公式是解题的关键．
（1）根据平均数的定义求解即可；
（2）求出这组数据的方差即可得到结论．
【详解】（1）解： 牛，
∴这批橡胶制品的抗拉伸程度的平均数为 牛；
（2）解： ，
∴这家工厂应检修生产设备．
5．（2024·安徽·模拟预测）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次
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学科网（北京）股份有限公司测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一 第四
第二次 第三次 第五次 第六次
次 次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
计算方差的公式： ．
(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环；
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
(3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
【答案】(1)9；9；
(2) = ， =
(3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由见解析
【分析】本题考查求平均数，方差，利用方差作决策．
（1）数据总和除以数据个数求出平均数即可；
（2）利用方差公式计算方差即可；
（3）利用方差作决策即可．
【详解】（1）解：甲： ，
乙： ；
故答案为：9；9；
（2）解：
；
；
（3）解：推荐甲参加全国比赛更合适，
理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；
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学科网（北京）股份有限公司但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
6．（2025·广东广州·模拟预测）为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织
七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取
10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理如下：
七、八年级测试成绩频数统计表
七年级 3 4 3
八年级 1 7 2
七、八年级测试成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 85 90 36.4
八年级 84 84 84 18.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少
人？
(2)根据以上的数据分析，任选两个角度评价七、八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平．
【答案】(1)320人
(2)八年级的学生交通法规知识掌握的总体水平较好，理由见解析
【分析】本题考查频数分布表，用样本估计总体，中位数，众数，方差的意义和计算方法，理解各个概念
的内涵和计算方法是解题的关键．
（1）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（2）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【详解】（1）解： （人）．
答：这两个年级测试成绩达到优秀的学生总人数一共是320人；
（2）解：七八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八
年级的学生交通法规知识掌握的总体水平较好．
题型七 求离差平方和
1．（2025八年级上·全国·专题练习）一组数据 ，则这组数据的离差平方和为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．0.5 B．0.6 C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了离差平方和的计算方法，理解离差平方和的计算方法是解答关键．
先求出这组数据的平均数，再用离差平方和公式求解．
【详解】解：这组数据的平均数为
则这组数据的离差平方和： ．
故选：D．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）一组数据 的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是
（ ）
A．10 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平均数，离差平方和；先根据平均数的公式计算出 ，再结合离差平方和计算求
解即可．
【详解】解：∵一组数据 的平均数是5，
∴ ，
解得 ，
∴离差平方和： ，
故选：A．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的离差平方和是
，方差是 ，标准差是 ．
【答案】 10 2
【分析】本题主要考查离差平方和、方差和标准差的计算，先计算平均数，再计算离差平方和（数据与平
均数差的平方和）、方差（离差平方和的算术平均数）和标准差（方差的算术平方根）即可．
【详解】解：这组数据的平均数为 ，
离差平方和为 ；
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学科网（北京）股份有限公司方差为 ；
标准差为 ；
故答案为：10；2； ．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）两组数据 ， ， 与 ， ， ， 的平均数都是 ，若将这两组
数据合并成一组数据，则这组新数据的离差平方和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的知识点是平均数的定义和离差平方和的计算．要先根据平均数的定义求出 和
的值，再根据离差平方和的定义计算合并后新数据的离差平方和．
【详解】解：∵两组数据 ， ， 与 ， ， ， 的平均数都是 ，
∴ ，
解得 ，
故这两组数据合并成一组数据： ，
计算每个数据与平均数8的离差平方：
，
，
，
，
，
，
，
离差平方和： ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
5．（25-26八年级上·全国·单元测试）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：
分）如下：7，8，7，9，8，9．这六个分数的离差平方和是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查离差平方和，要计算这六个分数的离差平方和，首先需要求出这组数据的平均数，
再根据离差平方和的定义（各数据与平均数差的平方和）进行计算．
【详解】解：这六个分数的平均数为： ，
离差平方和
．
故答案为：4．
题型八 离差平方和的应用
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（ ）
A．使每组数据量相等
B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C．减少计算复杂度
D．保证组间均值相等
【答案】B
【分析】本题主要考查了离差的实际应用，解题的关键是掌握离差的意义．
根据分组的要求和离差的意义，“在总离差平方和一定的情况下，组内离差平方和越小，则组间离差平方
和越大，即组间数据差异越大”，进行判断即可．
【详解】解：根据离差的意义可得，使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大，
故选：B．
2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速
率（单位： ）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达
到最小”法，则需先将数据由 到 排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成 种情
况．
【答案】 小 大 7
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查组内离差平方和的定义，根据组内离差平方和的定义解答即可．
【详解】解：按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由小到大排序，再将这8株植物分成两
组时，共可以分成 种情况．
故答案为：小，大，7．
3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15，18，
15，24，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩分成两组．
【答案】
【分析】本题考查组内离差平方和，根据题意将4个数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情
况的组内离差平方和，比较即可．熟练掌握离差平方和公式是解题的关键．
【详解】解：将4个数据从小到大排序：15，15，18，24．
把4个数据分成两组，共有3种情况：
第一种情况：第一组1个数据 ，组内离差平方和为0；
第二组3个数据 ，平均数是 ，
组内离差平方和为 ，
故第一种情况的组内离差平方和为 ；
第二种情况：第一组2个数据 ，平均数是 ，组内离差平方和为0；
第二组2个数据 ，平均数是 ，组内离差平方和为 ，
故第二种情况的组内离差平方和为 ；
第三种情况：第一组3个数据 ，平均数是 ，组内离差平方和为
；
第二组1个数据 ，组内离差平方和为0，
故第三种情况的组内离差平方和为 ；
因为 ，
所以第三种情况的组内离差平方和最小，
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学科网（北京）股份有限公司所以将竞赛成绩分成的两组是 ．
题型一 与平均数有关的数字规律
1．（25-26九年级上·重庆长寿·开学考试）在整式 ， 之间插入它们的平均数： ，记作第一次
操作，在 与 之间和 与 之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推．
①第二次操作后，从左往右第四个整式为 ；
②第三次操作后，从左往右第2个整式为： ；
③经过四次操作后，若 ，则所有整式的值之和为15；
④经过7次操作后，将得到128个整式．
以上四个结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了平均数、整式的加减、数字规律等知识点，根据操作方式找出变化规律是解题的
关键．
①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第四个整式即可判断；②求出第二次操作
后的第二整式，即可判断②；③代入 ，求出经过4次操作后所得数据，并求和判断即可；④根据操作
方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过7次操作后所得整式个数即可判断．
【详解】解：①第一次操作后： ，
∵ ，
∴第二次操作后： ，即第二次操作后，从左往右第四个整式为 ，
故①正确，符合题意；
∵ ，
∴第三次操作后： ，即第三次操作后，从左往右第2个整式为 ，故②正确，
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学科网（北京）股份有限公司符合题意；
若 ，初始和为2，
第一次操作后：和3；
第二次操作后：和为 ；
第三次操作后数为： ，
则第三次操作后和为 ，
第四次操作后数为： ，
则第四次操作后： ，即和为17，故③不符
合题意；
第1次操作后有3个整式，第2次操作后有5个整式，第3次操作后有9个整式，第4次操作后有17个整
式，由此发现第n次操作后有 个整式，
∴第7次操作后得到 个整式，故④不符合题意．
综上，①②正确，即正确的有2个．
故选：B．
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