文档内容
第六章 数据的分析
6.1，离差平方和，方差，标准差导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1.了解刻画数据离散程度的三个量——离差平方和、方差和标准差，能借助计算器求出
一组数据的标准差.
2.经历探索表示数据离散程度的过程，体会刻画数据离散程度的意义.
3.经历用方差刻画数据离散程度的过程，发展数据分析观念
学习重点：了解离差平方和、方差、标准差的意义.
学习难点：方差的含义
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预习自测
知识链接
回顾已学过的几个数据分析的统计量
1、一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的 。
2、一组数据按从小到大（从大到小）顺序排列中间位置的数叫 ；如果这组数据有偶数个则
中间两个的平均数是这组数据的 。
3、一般地，对于 n 个数 x ，x ，…，x ，我们把 ( x +x +…+x )÷n 叫做这 n 个数的
，简称 。计算公式 。
4、一般地,如果在n个数中,x 出现f 次,x 出现f 次,…… x 出现f 次，那么这n个数的加权平均
数为（写计算公式） 。
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教学过程
一、问题引入
在本章一开始的射击问题中，甲、丁每次射击的成绩如下图，它们的平均成绩都是 8环，两人的射
击表现一样吗？你如何对两位选手进行评价？在实际生活中，除了关注数据的集中趋势外，往往还需要关注数据的离散程度，即它们相对于集中
趋势的偏离情况。
在统计学中数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画
二、合作交流、新知探究
探究1：离差平方和，方差、标准差.
1、离差平方和：各数据与平均数之差的平方和。即
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是 .
离差平方和是 .
2．方差：一组数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差，这个量是用
来衡量这组数据的波动大小的．即，一组数据x1，x2，…，xn中，平均数为x，方差为
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是 .
方差是 .
3．标准差：一组数据的方差的算术平方根叫标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重
要的量．
例如：甲的射击成绩是（单位环）6、7、7、7、8、8、8、8、8、9、9、9、10。
平均数是 .
标准差是 .
【强调】
计算标准差的步骤
（1）计算这组数据的平均数.
（2）计算这组数据的方差.
（3）计算这组数据的标准差.
探究2：
探究方差对数据稳定性的影响
1、丁的射击成绩是（单位环）6、6、6、6、7、7、9、9、10、10、10、10。
平均数是 .方差是 .
比较甲、丁的射击成绩平均数都是 ，甲的方差是 ，丁的方差是 .
【强调】：方差越小，数据越稳定
2、做一做：某日,A、B两地的气温情况如下图
不计算，说一说两地气温特点。
过计算A、B两地气温的方差，验证说法的合理性。（可以用计算机计算）
探究3 离差平方和最小值
引入：10个苹果的直径如下图
如果把10个苹果分成2组，使它们的“个头”差距不大，该这样分？
例题：按照“组内离差平方和最小”的分组方法，把10个苹果分成2组。
分析：将10个苹果从小到大排列： .
10个苹果分成2组有9种方法：第一种 （ ）个和（ ）个；第二种（ ）个和（ ）个；
第三种（ ）个和（ ）个；第四种（ ）个和（ ）个；第五种（ ）个和（ ）
个；第六种（ ）个和（ ）个；第七种（ ）个和（ ）个；第八种（ ）个和（
）个；第九种（ ）个和（ ）个。
分别计算9种情况的离差平方和（第一组离差平方和+第二组离差平方和）填写下表
分组情况 组内离差平方和
第一种1个和9个
第二种2个和8个
第三种3个和7个第四种4个和6个
第五种5个和5个
第六种6个和4个
第七种7个和3个
第八种8个和2个
第九种9个和1个
计算结果表明将10个苹果分成2组离差平方和最小值是（ ），
第一组：（填苹果重量） .
第二组：（填苹果重量） .
【强调】：组内离差平方和最小分组方法：
（1）组内数据相差不大，
（2）组与组之间数据相差明显。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1、一组数据－1，2，5，8、9、10的的平均数是（ ）、离差平方和是（ ），方差是（
），标准差是（ ）.除不尽的保留2位小数。
2.计算方差 中,数字“10”表示 ，数字
“5”表示 这组数据的 ．
3.体育课上,某班两名同学分别进行了5次短跑训练,要判断哪一名同学的成绩比较稳定,通常需要比
较两名同学成绩的( )
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
4.某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10,10,12,x,8.已知5.这组数据的平均数是10,那么这
组数据的方差是 ．
5.已知一组数据－3，x，－2，3，1，6的中位数为1，则其方差为 ．
6．一组数据有n个数，方差为s2.若将每个数据都乘2，所得到的一组新的数据的方差是_______．
7.在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差
依次是( A )
A．18，18，1 B．18，17.5，3
C．18，18，3 D．18，17.5，1
能力提升：
8.某科普小组有5名成员，身高分别为(单位：cm )：165，163，165，167，165.增加
1 名身高为 165cm 的成员后，现在科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是(
)
A.平均数不变，方差不变 B.平均数不变，方差变大C.平均数不变，方差变小 D.平均数变小，方差不变
拓展迁移：
9. 一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下：
s2 24
甲
已经算得两个组的平均分都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛
中成绩谁优谁次，并说明理由
成绩 50 60 70 80 90 100
人 甲 2 5 10 13 14 6
四、总结 数/ 反思、拓展升华
人
乙 4 4 16 2 12 12
【课堂总 结】
1、离差平方和：各数据与平均数之差的平方和。数据分组离差平方和的最小值遵循原则①组内数据
相差不大，②组与组数据差距明显
2、方差：一组数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数；方差越小，数据越稳定。
3、标准差：一组数据的方差的算术平方根，计算标准差的步骤：①计算离差平方和，②计算方差，
③求方差的平方根。
五、【作业布置】
基础达标：
1. 人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
则成绩较为稳定的班级是（ ）
A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
2．已知数据1，2，2，4，6，这组数据的方差是多少？
可先求出这组数据的平均数为 .再根据方差计算公式
求出方差为 。
3.甲、乙两人进行射击测试,每人10次射击成绩的平均数都是8.5环,方差分别是： ＝2，＝1.5 ,则射击成绩较稳定的是 ．(填“甲”或“乙”)
4．数据0，1，2，4，3的 标准差为 .
5．一组数据6,4,a,3,2的平均数是5,这组数据的方差为( )
A．8 B．5 C．2 D．3
6、甲乙二人参加某体育训练，近期5次测试成绩得分情况如下图所示
分别求出两人得分的平均数与方差．
能力提升：
7. 甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成
绩较稳定．
拓展迁移：
8．甲乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
甲队：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179
乙队：178，177，179，176，178，180，180，178，176，178哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
课堂作业参考答案：
1、 5.5, 93.5，15.58， 3.95
2、 数据个数， 平均数。
3、 B
4、 16
5、 9
6、 4s2
7、A
8、C
9、解：
(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些
＝172， ＝256，∵ ＜ ，∴甲组成绩比乙组好；
(2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数分别都是 80分，其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的
有33人，乙组有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好；
(3)从成绩统计表看，甲组成绩高于90分(包括90分)的人数20人，乙组24人且满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好。
课外作业参考答案：
1、B
2、 3; 3.2
3、乙
4、
5、A
6、解析：此题数据较简单，由图容易看出：甲的五次成绩分别为：10分，13分，12分，14分，16
分，乙的五次成绩依次为：13分，14分，12分，12分，14分． 容易求得二人平均成绩都是13分，
s 2 4 ，
甲
从折线的走势就可看出甲的方差比乙的方差大．
7、解：（1）a=（3+6+4+8+7+8+7+8+10+9）÷10=7， b=7， c=8；
（2）甲队方差=[（5﹣7） ×1+（6﹣7） ×2+（7﹣7） ×4+（8﹣7） ×2+（9﹣7）
×1]÷10==1.2，
∵甲队方差＜乙队方差，
∴甲队员的射击成绩较稳定．
8解：甲队的平均身高是：
（179×3+177×3+178×4）÷10=178（cm）；
乙队的平均身高是：
（179+178×4+180×2+176×2+177）÷10=178（cm）
甲仪仗队更为整齐，理由如下：
= ×[3（177－178） +4（178－178） +3（179－178） ]=0.6；
= ×[2（176－178） +（177－178） +4（178－178） +（179－178）+2（180
－178） ]=1.8；
∵0.6＜1.8，
∴甲仪仗队更为整齐．
