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3.3 轴对称与坐标变换
题型一 求点关于直线的对称点坐标
1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，点 关于 轴的对称点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】判断点所在的象限、坐标系中的对称
【分析】此题主要考查了关于 轴、 轴对称的点的坐标规律，根据关于 轴对称的点，纵坐标相同，横
坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答即可．
【详解】解：∵点 关于 轴的对称点是 ，点 在第四象限，
∴ 关于 轴的对称点在第四象限．
故选：D．2.如图是三色鹭在水面照镜子的画面，点 和点 关于水面所在直线 对称．若将水面看作平行于
轴且过点 的直线，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称
【分析】本题考查图形与坐标，熟记平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解决问题的关键．
设点 的坐标为 ，由题意得到 ，求解即可得到答案．
【详解】解：设点 的坐标为 ，
点 和点 关于水面所在直线 对称，将水面看作平行于 轴且过点 的直线，
，
解得 ，
点 的坐标为 ，
故选：B．
3.在平面直角坐标系 中，已知点 ，则点A关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相
反数即可解答．【详解】解：点 关于x轴对称的点的坐标是 ．
故选：A．
4.在平面直角坐标系中，已知线段 的两个端点分别是 ，将线段 沿y轴翻折得到线段
，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、折叠问题
【分析】本题考查直角坐标系中点的对称问题．根据线段 沿y轴翻折得到线段 ，可得点
与点 关于y轴对称，由关于y轴对称的点的特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到结果．
【详解】解：∵线段 沿y轴翻折得到线段 ，
∴点 与点 关于y轴对称，
∴ ．
故选：D．
5.已知点A的坐标为 ，则点A关于直线 对称的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与图形变换—轴对称，根据轴对称的性质求解即可，熟练掌握轴对称的性质是解
此题的关键．
【详解】解：∵点A的坐标为 ，
∴点A关于直线 轴对称的点为 ，即 ，
故选：D．
6．（24-25八年级上·湖北随州·期中）点 关于x轴对称的点的坐标是 ．【答案】
【知识点】坐标系中的对称
【分析】本题考查了轴对称，在坐标系中，两个点关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反
数，据此即可得到答案．
【详解】解：点 关于x轴对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
7．（2024·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点 关于x轴对称的点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标的特征，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标
互为相反数解答即可．
【详解】解：点 关于x轴对称的点 的坐标是 ，
故答案为： ．
题型二 在坐标系中确定两点的对称轴
8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在正方形网格中， 均为格点，若以其中一点为坐标原点，
以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标
轴对称，则坐标原点应选（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【知识点】坐标系中的对称【分析】本题考查了平面直角坐标系，以每个点作为原点建立直角坐标系判断是否满足题意即可．
【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标
轴对称，如图所示：
故选：B．
9.平面内点 与 的对称轴是（ ）
A．x轴 B．y轴 C．直线 D．直线
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了坐标关于x轴对称的规律，由坐标关于x轴对称的规律得横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【详解】解：∵点 和点 横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴两点关于x轴对称．
故选：A．
题型三 判断两点的对称关系
10.“小马虎”在做作业时，将点A横纵坐标的顺序颠倒了，误写为 ，“小糊涂”也不细心，将点B
的坐标写成其关于y轴对称的点的坐标，误写为 ，则A，B两点原来的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于原点对称 C．关于y轴对称 D．重合
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称
【分析】本题主要考查了点的坐标以及轴对称的性质，根据题意，通过逆向推理分别求出点A和点B的原
始坐标，然后比较它们的坐标即可确定两点的位置关系．根据题意确定出A、B两点坐标，进而可得答案．
【详解】解：由题意，得点A坐标应为 ，点B的坐标应为 ，
所以A，B两点原来的位置关系是重合．
故选：D．
11.如图，在直角坐标系中，点 的横坐标不变，纵坐标乘 ，得到 点，则 与 的关系是（ ）
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称
C．关于原点对称 D．将 点向 轴负方向平移一个单位
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了坐标与轴对称，根据关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解，
掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点 的横坐标不变，纵坐标乘 ，得到 点，
∴点 与点 横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点 与点 关于 轴对称，
故选： ．
题型四 根据对称性求坐标中的参数
12.已知 与 关于 对称， 的平方根是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求一个数的平方根、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了平方根及关于 轴对称的点的坐标，解题的关键是根据 轴对称的对称性求出
．先根据 轴对称的对称性求出 ，再求出 再运用求平方根的方法求解．
【详解】 与 关于 对称，
，
，
则 的平方根是 ．
故选：A．
13.已知 和 关于 轴对称，则 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式
计算即可．
【详解】解：∵点 和 关于x轴对称，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：A．
14.在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】坐标系中的对称
【分析】根据关于 轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求得 ， 的值，代入式子即可解
答．本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握“关于 轴对称的点的横坐标相同，纵坐
标互为相反数”是解题的关键．【详解】解：在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，
， ，
．
故答案为： ．
15.填空：
（1）若点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为 ；
（2）若点 与点 关于 轴对称，则 ， ；
（3）若点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为 ；
（4）若点 与点 关于 轴对称，则 ， ．
【答案】 5 2
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查坐标与轴对称．
（1）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果；
（2）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果；
（3）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得出结果；
（4）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得出结果．
【详解】解：（1）若点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）若点 与点 关于 轴对称，
则 ， ，
∴ ，
故答案为： ；5；
（3）若点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为 ；（4）若点 与点 关于 轴对称，则 ， ，
故答案为：2； ．
题型五 作对称图形
16．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为 ，
， ，过点 作x轴的垂线l．
(1)作出 关于x轴对称的 ，并写出 各顶点的坐标；
(2)作出 关于直线l对称的 ，并写出 各顶点的坐标．
【答案】(1)详见解析， ， ，
(2)详见解析， ， ，
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了在平面直角坐标系内作轴对称图形，点的坐标；掌握轴对称图形的作法是解题的关键．
（1）按要求作出 关于x轴对称的 ，写出坐标，即可求解；
（2）按要求作出 关于直线l对称的 ，写出坐标，即可求解．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作，， ， ；
（2）解：如图， 即为所求作，
， ， ．
17.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 与点 关于 轴对称．
(1)写出点 的坐标，并在图中画出点 ；
(2)画出 关y轴对称的 ；
(3)在 轴上存在一点 ，使得 ，求点 的坐标；
(4)已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点 ，使得 与 全等，写出所有点 的坐标（点 与点 不重合）．
【答案】(1)点 的坐标为 ，图见解析
(2)见解析
(3)点 的坐标为
(4)点 的坐标为
【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称
【分析】本题考查了作图---轴对称变换，三角形面积，灵活运用对称是解答关键．
（1）根据对称来画出图形即可；
（2）根据对称画出图形即可；
（3）利用同底等高画出图形即可；
（4）根据对称画出图形即可．
【详解】（1）解：点 的坐标为 ，点 ， 如答图所示．
（2）解：如答图， 即为所求．
（3）解： ，
∴点 到 的距离与点 到 的距离相等，
即点 的纵坐标为4或0．
又∵点 在 轴上，
∴如答图，点 的坐标为 ．
（4）解：如答图，点 的坐标为 ．18.如图， 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为 ， ， ，直线 经过
点 且与 轴平行．
(1)请在坐标系中画出 关于 轴对称的图形．
(2)请在坐标系中画出 关于直线 对称的图形．
(3)若点 是 内一点，则点 关于直线 对称的坐标是 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解、坐标系中的对称【分析】本题考查了轴对称作图，在平面直角坐标系中找到一个点关于特定直线的对称点，数形结合是解
答本题的关键．
（1）先确定出点 ， ， 关于 轴的对称点，然后连线即可得出 ；
（2）先确定出点 ， ， 关于直线 的对称点，然后连线即可得出 ；
（3）根据轴对称的性质，可得点 与点 的对称点纵坐标相同，再由轴对称的性质可得点 的对称点横坐
标．
【详解】（1）解：如图， 即为所求．
（2）解：如图， 即为所求．
（3）解：点 关于直线 对称点的纵坐标为 ，横坐标为 ，
∴点 关于直线 对称的坐标是 ．
故答案为： ．题型一 根据对称坐标求代数式
1．（25-26八年级上·全国·期中）已知点 和 关于x轴对称，则 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．无法确定
【答案】B
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标系中的对称
【分析】本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式
计算即可．
【详解】解：∵点 和 关于x轴对称，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：B．
2.如图，直线 经过点 且垂直于 轴，若点 与点 关于直线 对称，则 的值为
．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称
【分析】本题考查图形与坐标，熟记平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解决问题的关键．由点 与点 关于直线 对称，作出图形，得到 求解即可得到答案．
【详解】解：点 与点 关于直线 对称，如图所示：
，
解得 ，
，
故答案为： ．
题型二 利用对称性探究坐标规律
3.如图，矩形 的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点 同时出发，沿矩形 的
边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运
动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】此题考查了点的变化规律．由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一
次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路
程比为 ，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 ，物体甲行的路程为 ，物体乙行的路程为，在 边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 ，物体甲行的路程为 ，物体乙行的路程为
，在 边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为 ，物体甲行的路程为 ，物体乙行的路程为
，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵ ，
故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是第一次相遇的点，
物体甲行的路程为 ，物体乙行的路程为 ，如图，
此时相遇点的坐标为： ，
故选：B．
4．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，直角坐标系中长方形 的四个顶点坐标分别为 ，
， ， ，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，
同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1
次相遇时的点为 ，第二次相遇时的点为 ，第三次相遇时的点为 ，……，则点 的坐标为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，长方形的性质，根据点坐标可得长方形的周长，设
运动时间为t，由行程问题的数量关系可得 ，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可
求解．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴长方形的周长为 ，
设运动时间为t，
∴ ，
解得 ，
∴当 时，点P、Q第一次相遇，则点P路程为 ，即在x的正半轴上，
∴点 ；
当 时，点P、Q第二次相遇，则点P路程为 ，即在x的负半轴上，
∴点 ；
当 时，点P、Q第三次相遇，则点P路程为 ，即到达点D，
∴点 ；
当 时，点P、Q第四次相遇，则点P路程为 ，即在x的负半轴上，
∴点 ；当 时，点P、Q第五次相遇，则路程为 ，即到达点A，
∴点 ；
当 时，点P、Q第六次相遇，则路程为 ，即在x的正半轴上，
∴点 ；
∴五次相遇一循环，
∴ ，
∴点 ，
故选：C．
题型三 动点问题——利用对称线段求最短距离
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点P是y轴上的一个动点，则 的最小
值为 ．
【答案】
【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， ，由轴对称
的性质可得， ， ，从而可得当点 、 、 在同一直线上时， 的值最小，为
，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， ，，
由轴对称的性质可得， ， ，
∴ ，
∴当点 、 、 在同一直线上时， 的值最小，为 ，
由勾股定理可得： ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
6.如图，在平面直角坐标系中，点 在y轴正半轴上，点 在x轴负半轴上，且 ，点M
的坐标为 为线段 上一动点，P为线段 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】垂线段最短、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】本题考查了坐标与几何图形，垂线段最短，解题的关键在于利用等面积法求解．根据N为线段
上一动点，P为线段 上一动点，过点M作 于点P，交 于点N，此时 的最小值
为 ，连接 ，根据 求解，即可解题．
【详解】解：过点M作 于点P，交 于点N，此时 的最小值为 ，连接 ，， ， ，
，
，
，
即 的最小值为4，
故答案为：4．
7.如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为 ．
(1)在图中作出 关于x轴的对称图形 ；
(2)直接写出点C关于y轴的对称点 的坐标：_______；
(3)在y轴上找一点P，使得 周长最小．（保留作图痕迹）
【答案】(1)图象见解析
(2)
(3)见解析
【知识点】画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题)、坐标系中的对称、坐标系中的动点问题（不含函
数）
【分析】本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．（1）根据轴对称的性质作出点 关于 轴的对称点 ，再顺次连接即可；
（2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数；
（3）作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 即为所求．
【详解】（1）解： 关于x轴对称对应点分别为 ，
如图所示：
；
（2）解： 关于y轴对称点为 ，
故答案为： ；
（3）解：如图，作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，则 即为所求：
理由如下：
由对称可知 ，
的周长为 ，当且仅当 三点共线时，等号成立，
∴当P为 与y轴的交点时， 的周长最小．8.如图，方格纸中每个小方格的边长都是1，点 、 、 ．
(1)作 关于y轴对称的 ；
(2)请直接写出 、 、 的坐标：
___________； ___________； ___________；
(3)在x轴上找出点P，使 最小，在图中描出满足条件的点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的
坐标．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，
(3)图见解析，
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点 ， ， 的即可；
（2）根据坐标系写出 、 、 的坐标即可；
（3）作点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，连接 即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，（2）解：由坐标系得： 、 、 的坐标分别为 ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（3）解：如图点P即为所求， ．
9.如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，
(1)若 与 关于 轴对称，则 三个顶点坐标分别为 ， ， ；
(2)在 轴上是否存在点 ，使得 ，如果存在，求出点 的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)在 轴上找一点 ，使 的值最小，请直接写出点 的坐标是 ．
【答案】(1) ， ，
(2)存在， 或(3)
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、两点之间线段最短、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三
角形面积
【分析】（1）根据关于 轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数来求解；
（2）先求出 的面积，再设出 点坐标，根据三角形面积公式列出方程求解；
（3）利用轴对称的性质，作点 关于 轴的对称点 ，连接 与 轴的交点即为 点．
【详解】（1）解： 如图所示，
∵关于 轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数， ， ， ，
∴ ， ， ．
故答案依次为： ； ； ．
（2）解：设 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 或 ．
（3）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，此时 的值最小， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积计算以及最短路径问题，熟练掌握
相关的坐标特征、面积公式和轴对称性质是解题的关键．
题型一 动点问题——利用对称线段求最短距离
1.如图，在平面直角坐标系中， 是等腰直角三角形，点 ，点 ， ，连接
， ， ，当 最小时， 的值为 ．
【答案】
【知识点】求一次函数解析式、最短路径问题、等腰三角形的性质和判定、坐标与图形变化——轴对称
【分析】根据题意可知 ，点 可以看成是点 向右平移2个单位，向下平移1个单位，将 向右
平移2个单位，向下平移1个单位，得 ，连接 ， ，得 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，则 ，得 ，而 ，当点 在
上时，取等号，此时 有最小值，利用待定系数法求得直线 的解析式为 ，将
代入求解即可．
【详解】解：∵ 是等腰直角三角形，点 ，则 ， ，
∴ ，则
∴ ，即 ，
∵点 ， ，
∴点 可以看成是点 向右平移2个单位，向下平移1个单位，
将 向右平移2个单位，向下平移1个单位，得 ，连接 ， ，
∴ ，
∵ ，则 在直线 上，
作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，则 ，
∴ ，
而 ，当点 在 上时，取等号，此时 有最小值，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，可得： ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
将 代入可得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形与坐标，路径最短问题，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，
平移，轴对称等知识点，推到得出 ，当点 在 上时，取等号，此时
有最小值，是解决问题的关键．
2.如图，在平面直角坐标系 中，已知每个小正方形的边长都是1， 的三个顶点都在格点上．
(1)直接写出 ， ， 的坐标： ________， ________， ________；
(2)并画出 关于 轴的对称图形 （不写画法）；
(3)求 的面积；
(4)在 轴上求作一点 ，连接 ， ，若点 满足 有最小值，请你在 轴上作出点 的位置，并
直接写出点 的坐标为（______，______）．
【答案】(1) ；
(2)图见解析；
(3) 的面积为 ；(4)图见解析， ．
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形
面积
【分析】本题考查了网格-坐标与轴对称，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据各点在坐标系中的位置可得坐标；
（2）分别作出各点关于 轴的对称点 ，依次连接 ，则 即为所求；
（3）直接利用割补法求解即可；
（4）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则点 即为所求．
【详解】（1）解：由图可知，点 的坐标为： ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求，
（3）解：由网格知识可得：
；
（4）解：点 的位置如图：由图可知，点 ，
故答案为： ．
题型二 坐标与图形
3.如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 的四个顶点都在坐标轴上，且 ，
， ， ．
(1)直接写出A、B、C三点的坐标；
(2)点E在线段 上，点F在线段 的延长线上，且 ，点P从点A出发以每秒1个单位的速度
向终点O运动，若点P的运动时间为t秒 ，四边形 的面积为S，请用含字母t的式子表示
S；
(3)在（2）的条件下，求t为何值时， 与 是形状大小完全相同的两个三角形，并直接写出此时
点F坐标．
【答案】(1) ， ，(2)
(3) 或
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等三角形综合问题、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】本题考查的是坐标与图形及全等三角形判定与性质，
（1）设 ，根据 求出a值，即可求出结论；
（2）先求出 ，再根据 求出结论即可；
（3）分两种情况： 时，或 时分别求出结论即可．
【详解】（1）解： ，
，
设 ，
，
，
，
，
，
，
， ， ；
（2）解：如图，
， ，
，
，
，，
；
（3）解：①若 ， ，
，
，
与 是形状大小完全相同的两个三角形，
， ，
，
，
，
，
，
；
②若 ， ，
，
与 是形状大小完全相同的两个三角形，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述， 或3时， 与 是形状大小完全相同的两个三角形，此时点F的坐标为 或4．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，线段 平
移到线段 ， 且点 在 轴上．
(1) _______，点 的坐标为_______；
(2)如图2，过点 作直线 轴，直线 上有一动点 ，以每秒2个单位长度从点 向 方向运动，
运动时间为 秒，连接 与线段 交于点 ，连接 ，当 为何值时 ；
(3)如图3，点 是射线 上的一点， 向 轴正方向移动，在直线 上取两点 、 （点 在点
左侧），满足 ， ．当 运动到某一位置时，四边形 的面积有最大值，请直接写出
面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【知识点】坐标系中的平移、坐标系中的动点问题（不含函数）
【分析】（1）根据题意点 在 轴上，解出 值，利用点 坐标得到 平移向上平移1个单位，向右平
移2个单位到线段 ，进而求出点 的坐标；
（2）连接 ，通过割补法计算出 的面积，通过等式的性质得到， ，进而求 值；
（3）通过平移 至 ，将四边形 面积转化为求 面积，当 时，可得 面
积面积最大，进而得到四边形 面积最大值．【详解】（1） 且点 在 轴上，
，
，
从 平移到 ，即 平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段 ，
，
即 ，
故答案为： ；
（2）解：过点 作 ，过点 作 的垂线交于点 ，连接 ，
， ， ， ，
，
，
，
，
即 ，
根据题意 ，
，
；（3）四边形 面积最大值为 ，理由如下：
平移 至 ，交 延长线于 ，过点 作 ，
则 ， ，
，
当四边形 面积最大时， 的面积也是最大，
当 时， 的面积最大，
最大值为 ，
四边形 面积最大值为 ．
【点睛】本题考查坐标系中的平移的性质及坐标系中计算三角形、四边形面积综合，根据平移的性质准确
得到坐标是解题的关键．
