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专题十六 《统计与统计案例》讲义
16.2 统计案例
题型一 . 一元线性回归模型
1．某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数x（百个）与相
应加工总时长y（小时）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性
^
回归方程为y=0.7x+0.05，则下列结论错误的是（ ）
x 2 3 4 5
y 1.5 2 m 3.5
A．加工总时长与生产零件数呈正相关
B．该回归直线一定过点（3.5，2.5）
C．零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时
D．m的值是2.85
^
【解答】解：由题意，线性回归方程为y=0.7x+0.05，
对于A：∵b＝0.7＞0，∴加工总时长与生产零件数呈正相关；
对于B：当x＝3.5时，可得y＝0.7×3.5+0.05＝2.5，即该回归直线一定过点（3.5，2.5）
对于C：由b＝0.7，∴零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时，
2+3+4+5 1.5+2+m+3.5
对于D：回归方程过平均中心，x= =3.5，y= =2.5．
4 4
解得：m＝3
故选：D．
2．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随
机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回
10 10 ̂(cid:5)
̂(cid:5) ̂(cid:5) ̂(cid:5)
归直线方程为 y=bx+a ．已知∑ x
i
=225，∑ y
i
=1600，b=4．该班某学生的
i=1 i=1
脚长为23，据此估计其身高为（ ）
A．160 B．162 C．166 D．170
10 10 ̂(cid:5)
【解答】解：因为∑ x =225，∑ y =1600，b=4，
i i
i=1 i=1225 1600
则x= =22.5，y= =160，
10 10
̂(cid:5) ̂(cid:5)
所以 a= y−bx=160−4×22.5=70 ，
̂(cid:5)
所以线性回归方程为 y=4x+70，
̂(cid:5)
当x＝23时， y=4×23+70＝162，
所以该班某学生的脚长为23，估计其身高为162厘米．
故选：B．
3．（2020•新课标Ⅰ）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：
℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x，y）（i＝
i i
1，2，…，20）得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度
x的回归方程类型的是（ ）
A．y＝a+bx B．y＝a+bx2 C．y＝a+bex D．y＝a+blnx
【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，
y）在一段对数函数的曲线附近，
结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．
故选：D．
4．（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿
元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归
模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型
̂(cid:5)
①： y=−30.4+13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，
̂(cid:5)
2，…，7）建立模型②： y=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
̂(cid:5)
【解答】解：（1）根据模型①： y=− 30.4+13.5t，
̂(cid:5)
计算t＝19时， y=−30.4+13.5×19＝226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；
̂(cid:5)
根据模型②： y=99+17.5t，
̂(cid:5)
计算t＝9时， y=99+17.5×9＝256.5；
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）解法1：模型②得到的预测值更可靠，因为从总体数据看，该地区从2000年到
2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，从2000年到2009年间递增的幅度较小些，
从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以利用模型②的预测值更可靠些．
解法2，模型②对应的7个点分布宽度小于模型①对应的17个点的分布宽度，则|r |＞|
2
r |，所以模型②较好；
1
解法3，选择与2018邻近的三个年份（2014，2015，2016）计算模型②对应的残差绝
对值之和＝2.5+5+1.5＝9，模型①对应的残差绝对值之和＝12+23.5+21＝56.5；且9＜56.5，所以模型②较好；
所以利用模型②的预测值更可靠些．
5．（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿
吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化
处理量．
附注：
7 7 √ 7
参考数据：∑ y
i
＝9.32，∑ t
i
y
i
＝40.17， ∑ (y
i
−y) 2=0.55，√7≈2.646．
i=1 i=1 i=1
n
∑ (t −t)(y −y)
i i
= i=1
参考公式：相关系数r ，
√ n n
∑ (t −t) 2∑ (y −y) 2
i i
i=1 i=1
̂(cid:5) ̂(cid:5) ̂(cid:5)
回归方程 y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
n
∑ (t −t)(y −y)
̂(cid:5) i i
b= i=1 n ， ̂ a (cid:5) = y− ̂ b (cid:5) t ．
∑ (t −t) 2
i
i=1
【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵ r7 7
∑ (t −t)(y −y) ∑ t y −7t y
i i i i
40.17−4×9.32 2.89
= i=1 = i=1 ≈ ≈ ≈
√ 7 7 √ 7 7 2√7⋅0.55 2.9106
∑ (t −t) 2∑ (y −y) 2 ∑ (t −t) 2∑ (y −y) 2
i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
0.99，
∵0.99＞0.75，
故y与t之间存在较强的正相关关系；
n 7
∑ (t −t)(y −y) ∑ t y −7t y
̂(cid:5) i i i i 2.89
（2）b= i=1 = i=1 ≈ ≈0.10，
n 7 28
∑ (t −t) 2 ∑ t2−7t2
i i
i=1 i=1
̂(cid:5) ̂(cid:5)
a= y−bt≈
1.33﹣0.10×4≈0.93，
̂(cid:5)
∴y关于t的回归方程 y=0.10t+0.93，
2016年对应的t值为9，
̂(cid:5)
故 y=0.10×9+0.93＝1.83，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨．
6．（2018秋•岳麓区校级月考）越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一
个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如
下表：
周数x 6 5 4 3 2 1
正常值y 55 63 72 80 90 99
（1）作出散点图：
̂(cid:5) ̂(cid:5) ̂(cid:5)
（2）根据上表数据用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a （精确到
0.01）；
（3）根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12
～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理
疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？n
∑ x y −nx y
̂(cid:5) i i 6 6
其中b= i=1 n ，∑ x i y i ＝1.452，∑ x❑ i 2=91， ̂ a (cid:5) = y− ̂ b (cid:5) x ．
∑ x2−nx2 i=1 i=1
i
i=1
【解答】解：（1）
1
（2）x= （6+5+4+3+2+1）＝3.5，
6
1
y= （55+63+72+80+90+99）＝76.5，x y=267.75，
6
̂(cid:5) 1452−6×267.75 ̂(cid:5)
b= ≈−8.83， a=76.5+8.83×3.5≈107.41，
91−6×3.52
∴线性回归方程为y＝﹣8.83x+107.41；
100
（3）x＝2时，y＝﹣8.83×2+107.41≈89.74，∵ ≈1.11＜1.12，为轻度焦虑，故该
89.74
学生不需要进行心理疏导．
7．（2020秋•昌江区校级期中）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年
宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对
近8年的年宣传费x 和年销售量y（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的
i i
散点图及一些统计量的值．
x y w 8 8 8 8
∑ （x−x）2 ∑ （w−w）2 ∑ （x−x）（y ∑ （w−w）
i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
−y） （y−y）
i
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.88
1
表中w =√x，w= ∑ w．
i i 8 i
i=1
附：对于一组数据（u ，v ），（u ，v ），…，（u ，v ），其回归直线v＝ + 的斜
1 1 2 2 n n
α βμ
n
∑ (u −u)(v −v)
̂(cid:5) i i
率和截距的最小二乘估计分别为β= i=1 n ， ̂ α (cid:5) =v− ̂ β (cid:5) u ．
∑ (u −u) 2
i
i=1
（1）根据散点图判断y＝a+bx和y＝c+d√x哪一个适宜作为销售量y关于年宣传费x的
回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z＝0.2y﹣x，根据（2）的结果回答下列
问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
【解答】解：（1）由散点图可以判断，y＝c+d√x适宜作为年销售量y关于年宣传费x
的回归方程类型；
108.6
（2）令w=√x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d= =68，
1.6
c= y−dw=563﹣68×6.8＝100.6，
∴y关于w的线性回归方程为y＝100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为y＝100.6+68√x；
（3）①由（2）知，当x＝49时，年销售量y的预报值y＝100.6+68√49=576.6，
年利润z的预报值z＝576.6×0.2﹣49＝66.32；
②根据（2）的结果可知，年利润z的预报值z＝0.2（100.6+68√x）﹣x＝﹣x+13.6√x+
20.12，13.6
当√x= = 6.8时，即x＝46.24时年利润的预报值最大．
2
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题型二 . 独立性检验
1．某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型Hln1流感的预防作用，把1000名注射
了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人的半年的感冒记录作比较，提出假设 H ：
0
“这种疫苗不能起到预防甲型Hln1流感的作用”，并计算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，则
下列说法正确的是（ ）
A．这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的有效率为1%
B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型Hln1
C．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用”
D．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用”
【解答】解：∵并计算出P（Χ2≥6.635）≈0.01，
这说明假设不合理的程度约为99%，
即这种疫苗不能起到预防甲型Hln1流感的作用不合理的程度约为99%，
∴有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型Hln1流感的作用”
故选：D．
2．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量 K2的观
测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（ ）
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.025
k 2.706 3.841 5.024
A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【解答】解：∵计算得到统计量值K2的观测值k≈4.892＞3.841，
参照题目中的数值表，得到正确的结论是：
在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”．
故选：C．
3．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位
学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如下所示的列联表．经计算 K2的观
测值k≈4.762，则可以推断出（ ）满意 不满意
男 30 20
女 40 10
P 0.100 0.050 0.010
（k2≥k
）
k 2.706 3.841 6.635
3
A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
5
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
C．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
4 3
【解答】解：由统计表格知：女生对食堂的满意率为： ；男生对食堂的满意率为 ；
5 5
3
故A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 ，A正确；
5
对于B，应为该校女生比男生对食堂服务更满意；B错误；
由题意算得，k2＝4.762＞3.841，参照附表，可得：
有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异；
故C正确，D错误．
故选：AC．
4．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100
个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A表示事件“旧养殖法的箱产量低于
50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有
关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到
0.01）．
附：
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
n(ad−bc) 2
K2= ．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养
殖法的箱产量不低于50kg”，
由P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C），
则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5＝0.62，
故P（B）的估计值0.62，
新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5＝0.66，
故P（C）的估计值为，
则事件A的概率估计值为P（A）＝P（B）P（C）＝0.62×0.66＝0.4092；
∴A发生的概率为0.4092；
（2）2×2列联表：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计
旧养殖法 62 38 100
新养殖法 34 66 100
总计 96 104 200
200(62×66−38×34) 2
则K2= ≈15.705，
100×100×96×104
由15.705＞6.635，
∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：
（0.004+0.020+0.044）×5＝0.34，
箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5＝0.68＞0.5，0.5−0.34
故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35（kg），
0.068
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．
5．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产
方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．
第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务
的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过
m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
n(ad−bc) 2
附：K2= ，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
79+81
排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m= =80；
2
由此填写列联表如下；
超过m 不超过m 总计第一种生产方式 15 5 20
第二种生产方式 5 15 20
总计 20 20 40
（3）根据（2）中的列联表，计算
n(ad−bc) 2 40×(15×15−5×5) 2
K2= = =10＞6.635，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 20×20×20×20
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
6．韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民调结果显示，受“闺蜜门”时
间影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在
[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支
持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在
调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方
图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．
（1）依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数
（2）请依上述支持率完成下表：
年龄分布 [30，40）和[40， [50，60）和[60， 合计
50） 70）
是否支持
支持 1 5 2 5 4 0
不支持 48 5 27 5 76 0
合计 50 0 30 0 80 0
根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？
附表：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
n(ad−bc) 2
（参考公式：K2= ，其中n＝a+b+c+d 参考数据：125×33＝
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
15×275，125×97＝25×485）【解答】解：（1）设年龄在[50，60）的人数为x，则最后三组人数之和为3x，
所以四组总人数为4x＝800，得x＝200，
则频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有200人，
[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；
（2）由题意年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为6+9＝15，[50，60）和[60，
70）的人数为12+13＝25．
填表如下
年龄 [30，40）和[40， [50，60）和[60， 合计
分布 50） 70）
是否支持
支持 15 25 40
不支持 485 275 760
合计 500 300 800
800×(15×275−25×485) 2
所以K2= ≈11.228＞10.828，
40×760×300×500
∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．
题型三 . 统计案例综合
1．“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文
明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情
况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：cm），经统计，树苗的高度均在
区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），
[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．据当地柏树苗生长规律，高度不
低于27cm的为优质树苗．
（1）求图中a的值；
（2）已知所抽取的这120株树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
试验区 试验区 合计优质树苗 1 0 20 3 0
非优质树苗 60 3 0 9 0
合计 7 0 5 0 12 0
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关
系，并说明理由；
（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X，求X
的分布列和数学期望EX．
n(ad−bc) 2
附：参考公式与参考数据：K2= ，其中n＝a+b+c+d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P 0.010 0.005 0.001
（K2≥k ）
0
k 6.635 7.879 10.828
0
【解答】解：（1）根据频率直方图数据，有2（a×2+2a+0.10×2+0.20）＝1，
解得a＝0.025．
（2）根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有120×（0.10×2+0.025×2）＝30，
列联表如下：
A试验区 B试验区 合计
优质树苗 10 20 30
非优质树苗 60 30 90
合计 70 50 120
120(10×30−20×60) 2 72
可得K2= = ＜10.3＜10.828，
70×50×30×90 7
所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系．
30 1
（3）用样本估计总体，由题意，这批树苗为优质树苗的概率为 = ．
120 4
1
X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意知X服从二项分布X～B（4， ），
41 3
∴P（X＝k）=Ck
( )
k
( )
4−k
，（k＝0，1，2，3，4），
4 4 4
3 81 1 3 27
即：P（X＝0）=( ) 4= ，P（X＝1）=C1 ( )( ) 3= ，
4 256 4 4 4 64
1 3 27 1 3 3
P（X＝2）=C2 ( ) 2 ( ) 2= ，P（X＝3）=C3 ( ) 3 ( )= ，
4 4 4 128 4 4 4 64
1 1
P（X＝4）=( ) 4= ．
4 256
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P 81 27 27 3 1
256 64 128 64 256
1
∴数学期望为E（X）＝4× =1．
4
2．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功
将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入
太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的
A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料
更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投
入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
̂(cid:5)
当0＜x≤17时，建立了 y与x的两个回归模型：模型①： y=4.1x+10.9，模型②：
̂(cid:5) ̂(cid:5) ̂(cid:5)
y=21.3√x−14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为 y=−0.7x+a ．
（1）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①，②的相关指数R2的大小，
并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对 A型材料进行应用改造的投入为17亿元
时的直接收益；
回归模型 模型① 模型②
回归方程 ̂(cid:5) ̂(cid:5)
y=4.1x+10.9 y=21.3√x− 14.47 ̂(cid:5) 79.13 20.2
∑ (y −y ) 2
i i
i=1
（2）为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，
以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17
亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．
n ̂(cid:5)
∑ (y −y❑) 2
i i
附：刻画回归效果的指数R2＝1− i=1 ，且当R2越大时，回归方程的拟合
n
∑ (y −y) 2
i
i=1
效果越好．√17≈4.1．
̂(cid:5) ̂(cid:5) ̂(cid:5) ̂(cid:5) ̂(cid:5)
用最小二乘法求线性同归方程 y=bx+a 的截距： a= y−bx ．
15+22+27+40+48+54+60
【解答】解：（1）对于模型①，对应的y= =38，
7
7
所以=∑ (y −y) 2=（15﹣38）2+（22﹣38）2+（27﹣38）2+（40﹣38）2+（48﹣38）
i
i=1
2+（54﹣38）2+（60﹣38）2＝1810，
7 ̂(cid:5)
∑ (y −y) 2
i
79.13
所以相关指数R❑ 2=1− i=1 =1− ≈0.9563，
1 7 1810
∑ (y −y) 2
i
i=1
20.2
同理，模型②的相关指数R❑ 2=1− ≈0.9889，
2 1810
因为0.9889＞0.9563，
所以模型②拟合精度更高；
故对型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为＝21.3√17−14.4≈72.93；
21+22+23+24+25
（ 2 ） 当 x ＞ 17 时 ， 后 五 组 的 x= =23 ，
5
68.5+68+67.5+66+65
y= = 67，
5
̂(cid:5)
由最小二乘法可得 a=67﹣（﹣0.7）×23＝83.1，
故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：﹣0.7×20+83.1+5＝74.1＞72.93，
故投入l7亿元比投入20亿元时收益小．
3．中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．经验表明，某种绿茶
用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究
小组通过测量，得到了下面表格中的数据（室温是20℃）．
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
水温y/℃ 85 79 74 71 65
ln（y﹣20） 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8
（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶
水温度降到室温（即20℃）就不能再降的事实，决定选择函数模型y＝kcx+20（x≥0）
来刻画．
①令z＝ln（y﹣20），求出z关于x的线性回归方程；
②利用①的结论，求出y＝kcx+20（x≥0，c＞0）中的k与c．
（2）你认为该品种绿茶用85℃的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
400
参考数据：log 0.6≈4.8，e−0.1≈0.9，e4.2≈66.7， ≈0.6．
0.9 667
n
∑ (x −x)(z −z)
̂(cid:5) i i
参考公式： ̂ z (cid:5) = ̂ b (cid:5) x+ ̂ a (cid:5) ，b= i=1 n ， ̂ a (cid:5) =z− ̂ b (cid:5) x ．
∑ (x −x) 2
i
i=1
【解答】解：（1）①由已知得出x与z的关系，如下表：
泡制时间x/min 0 1 2 3 4
z 4.2 4.1 4.0 3.9 3.8
设 线 性 回 归 方 程 ̂ z (cid:5) = ̂ b (cid:5) x+ ̂ a (cid:5) ， 由 题 意 得 x=
0+1+2+3+4
=2，
5
4.2+4.1+4.0+3.9+3.8
z= =4，
5
5
∴ ，
∑ (x −x)(z −z)=(−2)×0.2+(−1)×0.1+1×(−0.1)+2×(−0.2)=−1
i i
i=15
，
∑ (x −x) 2=(−2) 2+(−1) 2+12+22=10
i
i=1
5
∑ (x −x)(z −z)
̂(cid:5) i i −1
则b= i=1 5 = 10 =−0.1，（4分） ̂ a (cid:5) =z− ̂ b (cid:5) x=4+0.1×2=4.2 ，
∑ (x −x) 2
i
i=1
̂(cid:5)
则z关于x的线性回归方程为 z=−0.1x+4.2 ．
②由y＝kcx+20（x≥0），得y﹣20＝kcx（x≥0），
两边取对数得，ln（y﹣20）＝lnk+xlnc，（7分）
利用①的结论得：lnc＝﹣0.1，lnk＝4.2，
∴c＝e﹣0.1≈0.9，k＝e4.2≈66.7．
（2）由（1）得，y＝66.7×0.9x+20（x≥0），
令y＝60，得x＝log 0.6≈4.8．
0.9
∴该品种绿茶用85℃的水泡制4.8min后饮用，口感最佳．
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课后作业 . 统计案例
1．下列说法正确的是（ ）
A．在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
̂(cid:5) ̂(cid:5) ̂(cid:5)
B．线性回归方程对应的直线 y=bx+a 至少经过其样本数据点（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，
y
2
），⋯，（x
n
，y
n
）中的一个点
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，相关指数R2为0.95的模型比相关指数R2为0.78的模型拟合的效果
差
【解答】解：对于A：在统计学中，独立性检测是检验两个分类变量是否有关系的一种
统计方法，故A错误；
̂(cid:5) ̂(cid:5) ̂(cid:5)
对于B：线性回归方程对应的直线 y=bx+a 可能不经过其样本数据点（x 1 ，y 1 ），
（x
2
，y
2
），⋯，（x
n
，y
n
）中的一个点，故B错误；
对于C：在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，
故C正确；对于D：在回归分析中，相关指数R2为0.95的模型比相关指数R2为0.78的模型拟合的
效果好，故D错误．
故选：C．
2．为了调查患胃病是否与生活不规律有关，在患胃病与生活不规律这两个分类变量的计算
中，下列说法正确的是（ ）
A．k越大，“患胃病与生活不规律没有关系”的可信程度越大．
B．k越大，“患胃病与生活不规律有关系”的可信程度越小．
C．若计算得K2≈3.918，经查临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，则在100个生活不规
律的人中必有95人患胃病．
D．从统计量中得知有95%的把握认为患胃病与生活不规律有关，是指有5%的可能性
使得推断出现错误．
【解答】解：在独立性检验中，k越大，“患胃病与生活不规律有关系”的可信程度越
大，所以A错误、B错误；
计算得K2≈3.918时，经查临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，不是指在100个生活不
规律的人中必有95人患胃病，所以C错误；
从统计量中得知有95%的把握认为患胃病与生活不规律有关，是指有5%的可能性使得
推断出现错误，所以D正确．
故选：D．
3．对某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）进行线性回归分析，根
据样本数据（x，y）（i＝1，2，3，……，12），计算得到相关系数r＝0.9962，用最
i i
̂(cid:5)
小二乘法近似得到回归直线方程为 y=0.85x﹣85.71，则以下结论中正确的是（ ）
A．x与y正相关
B．x与y具有较强的线性相关关系，得到的回归直线方程有价值
C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重为50.29kg
【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关
系，A正确；
根据样本数据计算得到相关系数r＝0.9962接近1，则样本数据与回归直线方程有较强的
相关性，因此B正确；
由线性回归方程中系数的意义可得回归直线的估计值知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确；
当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此D错误．
故选：ABC．
4．为研究女高中生身高与体重之间的关系，一调查机构从某中学中随机选取 8名女高中生，
其身高x（cm）和体重y（kg）数据如表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高x/cm 164 160 158 172 162 162 174 166
体重y/kg 60 46 43 48 48 50 61 52
该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现，女高中生的身高与体重之间有较强的
线性相关关系．
̂(cid:5) ̂(cid:5)
（1）调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为 y=0.7x+a ．请你据此预一名身高
为176cm的女高中生的体重；
（2）调查员乙仔细观察散点图发现，这8名同学中，编号为1和4的两名同学对应的点
与其他同学对应的点偏差太大，于是提出这样的数据应剔除，请你按照这名调查人员的
想法重新计算线性回归方程，并据此预报一名身高为176cm的女高中生的体重；
（3）请你分析一下，甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠？说明理由．
附：对于一组数据（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ），…，（x ，y ），其回归直线
1 1 2 2 3 3 n n
n
∑ (x −x)(y −y)
̂(cid:5) i i
̂ y (cid:5) = ̂ b (cid:5) x+ ̂ a (cid:5) 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：b= i=1 n ，
∑ (x −x) 2
i
i=1
̂(cid:5) ̂(cid:5)
a= y−bx ．
【解答】解：（1）经计算x=165，y=51，
̂(cid:5)
于是 a=51−0.7×165=−64.5 ，
̂(cid:5)
则该组数据的线性回归方程为 y=0.7x−64.5 ，
̂(cid:5)
当x＝176时， y=0.7×176−64.5=58.7 ，于是，一名身高为176cm的女高中生的体重58.7；
（2）按照调查人员乙的想法，剩下的数据如下表所示：
编号 2 3 5 6 7 8
身高x/cm 160 158 162 164 174 166
体重y/kg 46 43 48 50 61 52
经计算x=164，y=50，
6
∑ (x −x)(y −y)
̂(cid:5) i i
则b= i=1 6 = 1.1，则 ̂ a (cid:5) =50−1.1×164=−130.4 ，
∑ (x −x) 2
i
i=1
̂(cid:5)
则该组数据的线性回归方程为 y=1.1x−130.4 ，
̂(cid:5)
当x＝176时， y=1.1×176−130.4=63.2 ，
于是，一名身高为176cm的女大学生的体重约为63.2kg．
（3）乙的模型得到的预测值更可靠，
理由如下，①从散点图可以看出，第一组数据和第四组数据确实偏差较大，为更准确
的刻画变化趋势，有必要把这两组数据除掉；
②从计算结果来看，相对于第七组数据174cm的女大学生体重，甲对身高176的女大
学生的预测值明显偏低，再利用乙同学的回归方程得到的预测值增幅较合理．
5．为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了
25名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：
平均每天使用手机＞3小 平均每天使用手机≤3 合计
时 小时
男生 15 10 25
女生 3 7 10
合计 18 17 35
（Ⅰ）根据列联表判断，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关；
（Ⅱ）在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的10名男生中，有6人使用国产手
机，从这10名男生中任意选取3人，求这3人中使用国产手机的人数X的分布列和数学
期望．
p 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025（K2≥k ）
0
k 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
0
n(ad−bc) 2
参考公式：K2= （n＝a+b+c+d）
(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 由 列 联 表 得 ： k2
n(nd−bc) 2 35×(15×7−10×3) 2 175
= = = ≈2.57，
(a+c)(b+d)(a+b)(c+d) 18×17×25×10 68
由于2.57＜2.706，所以没有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关．
（Ⅱ）X可取值0，1，2，3
C3
1
P（X＝0）= 4 = ，
C3 30
10
C2C1
3
P（X＝1）= 4 6= ，
C3 10
10
C1C2
1
P（X＝2）= 4 6= ，
C3 2
10
C3
1
P（X＝3）= 6 = ，
C3 6
10
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 1 3 1 1
30 10 2 6
这3人中使用国产手机的人数X的数学期望为
1 3 1 1 9
E（X）=0× +1× +2× +3× = ．
30 10 2 6 5
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