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7.1 为什么要证明
题型一 代数观察归纳
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）当n是正整数时， 一定是（ ）．
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数
与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果．
【详解】当n是偶数时， 是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时 一定是奇
数，
当n是奇数时， 是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时 一定是奇数，
故选A．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ，
…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测 的个位数字是 ．
【答案】4
【分析】根据题意，得出 的个位数字的变化规律即可解决问题.
【详解】解：由题意可得：
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学科网（北京）股份有限公司所以 的个位数字按 循环.
又因为
所以 的个位数字是4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了数字变化规律及尾数特征，解题的关键是根据题意得到个位数字按照 循环.
3．（2025·安徽滁州·二模）观察下列各式．
第一个等式： ；
第二个等式： ；
第三个等式： ；
第四个等式： ；
…
根据以上规律，解决下列问题．
(1)第五个等式：____________________．
(2)猜想第 个等式：____________________（用含 的代数式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，详见解析
【分析】本题考查整数的运算，数字类规律探究．
（1）根据题干给定的等式，作答即可；
（2）根据给定的等式，得到规律，利用整数的运算法则进行计算，证明即可．
【详解】（1）解：由题意，第五个等式为： ；
故答案为： ；
（2）由题意，第 个等式为： ；
证明：∵左边 ，
右边 ，
∴左边 右边，
∴等式成立．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
4．（2019·山东菏泽·三模）观察下列关于自然数的式子： ， ， ，……，根据上
述规律，则第2019个式子的值为 ．
【答案】8075
【分析】由①②③三个等式可得，减数是从1开始连续奇数的平方，被减数是从1开始连续自然数的平方
的4倍，由此规律得出答案即可．
【详解】解：∵4×12−12
4×22−32 ①
4×32−52 ②
… ③
4n2−（2n−1）2＝4n−1，
∴所以第2019个式子的值是：4×2019−1＝8075．
故答案为：8075．
【点睛】此题考查数字的变化规律以及完全平方公式的计算，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问
题．
5．（19-20七年级上·湖北武汉·期中）在一列数：1，2，1，-1，．．．，其规律是：从第二个数起，每个
数都是其前后两个数之和，根据此规律，则第2019个数是 ．
【答案】1
【分析】根据要求依次写成这列数，直到出现规律的数字，由此得到这列数的排列规律，再利用规律得到
答案即可．
【详解】由题意这列数依次是：1，2，1，-1，-2，-1，1，2，1， ，
由此可知：这列数是由1，2，1，-1，-2，-1这六个数循环得到的，
∵ ，
∴第2019个数是1，
故答案为：1
【点睛】此题考查数字的排列规律的探究，根据数字的排列得到排列的规律并运用解题的关键．
6．（20-21七年级上·山东青岛·阶段练习）观察下列各数，按照某种规律在横线上填上一个适当的数． ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ， ， ；第n个数为
【答案】
【分析】观察分子是连续自然数，分母是2的次方，指数为分子加1，奇数位置为负，偶数位置为正，由
此规律得出答案即可．
【详解】解：由各数可知， ， ， ， ， ，
∴第6个数为： ，第n个数为： ．
故答案为： ； ．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
7．（18-19八年级下·福建漳州·期中）对于正数 ，规定 ，例如 ，
，计算：
．
【答案】2019
【分析】根据定义式 发现规律：首尾两两相加等于1，最后再进行计算即可.
【详解】∵ ， ，
1，
∴
1， 1，
∵
∴
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学科网（北京）股份有限公司= =2019，
故答案为：2019.
【点睛】此题考查数字类变化题，观察所给式子发现变化得到计算规律是解题的关键.
题型二 几何观察归纳
1．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）下列说法：①连接A，B两点的线段叫做A，B之间的距离； ②
若 ，则 是 的平分线；③从n边形一个顶点引对角线可以分成 个三角形；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的
个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】本题考查了平面图形的基本概念或定理，判断命题的对错关键是熟练掌握教材中的定义，根据相
关概念和定理逐个分析判断即可．
【详解】解：①连接两点的线段长度叫两点的距离，故①错误；
②若 在 内部，则 是 的平分线，若 在 外部，则 不是 的平分线，
故②错误；
③从n边形一个顶点引对角线可以分成 个三角形，故③错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤错误；
正确的个数为0个，
故选：A．
2．（2023·山西朔州·一模）如图，将一根细长的绳子沿中间对折，再沿对折后的绳子的中间对折1次，这
样连续对折n次，最后用剪刀沿对折n次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成 段．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段，有 ；将一根绳子对折2次，从中间剪
断，绳子变成5段，有 ；依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成
段．
【详解】∵将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段，有 ；
将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段，有 ；
∴将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成 段．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪
些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
3．（2021·湖南常德·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形
有 个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有 个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有
个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为 ．(用含n的
代数式表示)
【答案】2n2+2n
【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为S=4n+2n×(n-1)，
n
得出结论即可．
【详解】解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数
第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数
第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数
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学科网（北京）股份有限公司第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数
…
由此发现规律是：
第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数
故答案为：2n2+2n．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．
4．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图
形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排
列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．
【答案】
【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下面的近
似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案．
【详解】第①个图形中星星的颗数 ；
第②个图形中星星的颗数 ；
第③个图形中星星的颗数 ；
第④个图形中星星的颗数 ；
……
∴第n个图形中星星的颗数
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学科网（北京）股份有限公司∴当 时， ，
∴第⑨个图形中的星星颗数为 颗，
故答案为：
【点睛】本题考查了图形变化规律，正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键．
5．（2016·云南·一模）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根
小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…依此规律，拼成第n个图案需要小木棒 .
【答案】
【详解】拼搭第1个图案需4=1×（1+3）根小木棒，
拼搭第2个图案需10=2×（2+3）根小木棒，
拼搭第3个图案需18=3×（3+3）根小木棒，
拼搭第4个图案需28=4×（4+3）根小木棒，
…
拼搭第n个图案需小木棒n（n+3）=n2+3n根．
故答案为：n2+3n
题型一 逻辑推理
1．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的
供词如下：
甲：“乙、戊作案了”；
乙：“甲、丁作案了”；
丙：“乙、己作案了”；
丁：“甲、丙作案了”；
戊：“甲、己作案了”．
已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊
【答案】D
【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出
只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案．
【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字．
两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次．
在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次，
因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，
当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾；
当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾；
当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾；
当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意．
只能是甲与戊合伙作案．
故选：D．
2．（2025·山东济宁·二模）某班级到劳动实践基地参加活动，基地指导老师让同学排成一列纵队后，按照
从前到后的顺序四人一组，根据李明和张雪的对话
给出以下四个结论：
①如果李明和赵伟同一组，那么张雪和王凯也同一组；②如果李明和赵伟不同一组，那么张雪和王凯也不
同一组；③如果张雪和王凯同一组，那么李明和赵伟也同一组；④如果张雪和王凯不同一组，那么李明和
赵伟也不同一组．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键．
设中间隔着的人用 代替，令右为前，左为后，则排序为： ， ， ，王凯， ，张雪， ，赵伟， ，
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学科网（北京）股份有限公司，李明， ， ， ，然后再根据选项分析即可．
【详解】解：依题意，设中间隔着的人用 代替，令右为前，左为后，则排序为：
， ， ，王凯， ，张雪， ，赵伟， ， ，李明， ， ，
对于①，如果李明和赵伟同一组，满足四人一组，则有（赵伟， ， ，李明）这样排列，那么（王凯，
，张雪， ）为一组，故①正确；
对于②，如果李明和赵伟不同一组，那么可以排列（李明， ， ， ），（ ，赵伟， ， ），则（ ，
王凯， ，张雪），故张雪和王凯可能在同一组，故②错误；
对于③，如果张雪和王凯同一组，那么可以排列（ ，王凯， ，张雪），则（ ，赵伟， ， ），故李
明和赵伟可能不在同一组，故③错误；
对于④，如果张雪和王凯不同一组，可以排列（ ， ， ，王凯），（ ，张雪， ，赵伟），（ ， ，
李明， ），符合题意李明和赵伟也不同一组；
或者可以排列（ ， ，王凯， ），（张雪， ，赵伟， ），（ ，李明， ， ），符合题意李明和
赵伟也不同一组，故④正确，
故选：C．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人
需完成各自对应的挑战任务．比赛规则如下：
①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的挑
战完成时间为准(例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分钟)；
②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点(返程也需完成对应的挑战任务，耗时
与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟)；
③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返；
④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束．
某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间(单位：分钟)分别为1，2，3，5，则该组队员
完成比赛所需的最短时间为( )
A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟
【答案】A
【分析】本题考查了推理，有理数的计算，通常在这种问题中，最优策略是让最快的两个人(甲和乙)多次
往返，以减少返程时间．具体策略先让最快的两人(甲和乙)一起出发，然后让最快的(甲)返回．然后让最慢
的两人(丙和丁)一起出发，让次快的(乙)返回．最后让最快的两人(甲和乙)一起出发．结合题意求得最短时
间，即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间(单位：分钟)分别为1，2，3，5，
要使得该组队员完成比赛所需的最短时间，
∴让最快的两个人(甲和乙)多次往返，以减少返程时间，
第一次出发：甲(1)和乙(2)一起出发．耗时： 分钟．
第一次返程：甲(1)返回．总时间：2 + 1 = 3分钟
第二次出发：丙(3)和丁(5)一起出发．耗时： 分钟．
总时间： 分钟
第二次返程：乙(2)返回．耗时：2分钟．
总时间： 分钟
第三次出发：甲(1)和乙(2)一起出发．耗时： 分钟．
总时间： 分钟
总计： 分钟．
故选：A．
4．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的
落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密
码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的
手机密码： ．
7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
①7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；
②9、5、8、3四个数字都不正确；
③0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．
④【答案】2401
【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可．
【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确，
即密码中没有9、5、8、3四个数字；
由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确，
即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确；
由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位；
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学科网（北京）股份有限公司若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位；
由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位．
则数字0在第三位，
即正确的密码是2401，
故答案为：2401．
5．（2025七年级下·重庆·专题练习） 四位同学参加比赛并包揽了前四名．其他同学向他们询
问各自的名次．
A说：“ 是第一名，我是第三名”．
说：“我是第一名， 是第四名”．
说：“ 是第二名，我是第三名？”
是他们中最诚实的一位，从不说谎，他听了其他三位的发言后说：“你们三个都说对了一半．”根据这
些信息，请你推断出获得第一名的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了逻辑推理，解题的关键是根据“你们三个都说对了一半”这一条件进行假设推理．
通过假设A说的话的前半部分或后半部分正确，结合其他条件进行推理，判断是否符合“
【详解】三人都说对了一半“的情况，从而得出第一名是谁，
解：假设A说的前半句 是第一名是正确的，那么A是第三名是错误的，
那么 说他是第一名是错误的， 是第四名是正确的，
那么 说的 是第二名是错误的，而 是第三名也是错误的，故假设不成立；
那么假设A说的A是第三名是正确的，C是第一名错误的，
那么 说的他是第三名是错误的， 是第二名是正确的，
那么 说的 是第四名是错误的， 是第一名是正确的，
则第一名是 ．
故答案为： ．
6．（24-25七年级下·北京海淀·期末）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生
除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应
参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下：
运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数
篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17
足球 12 游泳 4 实心球
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学科网（北京）股份有限公司排球 2
表中的 ；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的
四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有
人．
【答案】 13 13
【分析】本题考查了逻辑推理．根据题意推理求解即可．
【详解】解：由题意得某班所有男生的人数为 人，
选择1分钟跳绳的人数为17人，
∴选择实心球的人数为 人；
已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，
而选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，
∴对应的组合可能为：篮球，1分钟跳绳；篮球，实心球；足球，1分钟跳绳；足球，实心球；
在选择篮球的16人中，已经确定2人选择游泳，
因此剩余的14人需要选择健身长拳；
而在选择1分钟跳绳的17人中，选择排球而非篮球的人有2人；选择游泳而非健身长拳的人有2人；因此
选择1分钟跳绳的剩余的 人；
要使选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合的人数最多，则在已经确定选择篮球、健身长拳的14人中，尽
可能多的选择跳绳，
而1分钟跳绳的名额剩余13人，
∴在上述14人中有13人选择1分钟跳绳即为所求，
∴选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有13人，
故答案为：13；13．
7．（24-25八年级下·北京昌平·期末）某校在3月14日国际数学节来临之际举办趣味数学活动．活动共有
A，B，C，D，E五个数学游戏项目，每个游戏项目的游戏时间和规定参与人数固定（不满足规定参与人数，
游戏无法开始），如下表所示．
游戏项目 A B C D E
游戏时间（min） 3 6 6 4 3
规定参与人数（人） 2 3 2 1 1
（1）若只有1位同学，则他可以参与的游戏项目的总时间为 min；
（2）若有3位同学，他们希望能够体验全部游戏项目（每个游戏项目至少有人参与过一次），则体验全部
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学科网（北京）股份有限公司游戏项目的最短时间为 min．
【答案】 7 15
【分析】本题考查推理与论证，解题的关键看懂表格信息，结合题意，仔细分析，解决问题．
（1）找出规定参与人数为1人的游戏项目，再求它们的游戏时间和；
（2）先分析出要体验全部游戏项目，所需时间包括A，B，C，3个项目的时间，即不少于
min，再列出一种时间为15 min的方案即可．
【详解】（1）由题知，若只有1位同学，则他可以参与的游戏项目为D，E，所求总时间为
min．
（2）由表知，游戏项目A，B，C，D，E规定参与人数分别为2人，3人，2人，1人，1人，
若要体验全部游戏项目，则所需时间包括A，B，C，3个项目的时间，即不少于 min，
又先安排3人参与游戏项目B，6 min后，安排2人参加A，另1人同时参加E，3 min后，安排2人参加
C，另1人同时参加D，6 min后可体验全部游戏项目，所需时间为15 min，
故所求最短时间为 15 min．
故答案为：7；15．
题型二 归纳与推理
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）你的眼睛可信吗？
(1)比较图①中线段a和b的大小；
(2)图②中由粗线围成的四边形是正方形吗？
【答案】(1)
(2)由粗线围成的四边形是正方形
【分析】此题考查了比较线段的长度，正方形的定义，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据度量法比较即可；
（2）根据正方形的定义判断即可．
【详解】（1）解：通过度量可得， ；
（2）解：根据正方形的定义可得，由粗线围成的四边形是正方形．
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学科网（北京）股份有限公司2．（25-26八年级上·全国·课前预习）图中的线段a和b哪一条长？请与同伴交流，并用直尺检验你的结
论．
【答案】题图 ，题图 中的线段 与 一样长，题图 中的线段 比 长．
【分析】本题考查了比较线段的长短，根据度量比较法即可比较线段的长短，掌握比较线段的长短的方法
度量比较法和重合比较法是解题的关键．
【详解】解：通过度量比较法可得，
题图 ，题图 中的线段 与 一样长，
题图 中的线段 比 长．
3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）观察下列各式，解答问题：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
…
(1)请按照以上规律写出第6个等式： ；
(2)请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成
立，请举反例．
【答案】(1)
(2) ；该等式一定成立，理由见解析
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题；
（2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可解决问题．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：因为 ；
；
；
；
；
…，
所以第n个等式可表示为： ；
当 时，
第6个等式为： ；
故答案为： ；
（2）由（1）知，
第n个等式可表示为： ；
该等式一定成立，理由如下：
左边 右边，
所以此等式一定成立．
4．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知 .
(1)计算：当 时， ___________， ___________；
当 时， ___________， ___________；
当 时， __________， __________．
(2)猜想：无论 为任何非负实数， __________ 始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）．
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
【答案】(1) ； ； ，
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键．
（1）把的值分别代入计算即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据（1）所得结果即可判断求解；
（3）分别求出 ，再利用作差法比较出 的大小，进而即可求证．
【详解】（1）解：当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时，
故答案为： ； ； ， ；
（2）猜想：无论 为任何非负实数， 始终成立，
故答案为： ．
（3）因为 ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
5．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）同学们，大家一定很熟悉月历吧！如图：是某月的月历．
(1)带阴影的方框中的4个数，对角两数之和有什么关系？
(2)不改变阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)对角两数之和相等
(2)移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等。证明见解析
【分析】本题考查了月历中数字的排列规律及用字母表示数的运算，解题的关键是通过观察月历中相邻数
字的关系（横向差1，纵向差 7），用字母表示方框中的数，进而通过整式运算验证规律．
（1）计算阴影方框中两组对角数字的和，对比结果得出关系；
（2）移动方框后重复计算，猜想结论；设方框中左上角数字为字母，分别表示出其他三个数，通过整式
运算证明对角之和相等．
【详解】（1）解：以阴影方框 、 、 、 为例，
对角两数之和分别为： ， ；
以阴影方框 、 、 、 为例，
对角两数之和分别为： ， ．
答：带阴影的方框中，对角两数之和相等．
（2）解：结论：不改变方框大小，移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等．
证明：设方框中左上角的数为
∵月历中同一行相邻两数相差1，同一列相邻两数相差7，
∴方框中其他三个数分别为 （右上角）、 （左下角）、 （右下角）．
则左上角与右下角两数之和为：
右上角与左下角两数之和为： ．
∵
∴方框中对角两数之和相等．
答：移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等．
6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
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学科网（北京）股份有限公司……
(1)请直接写出第5个等式：______（不用化简）；
(2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（ 为正整数），并证明等式成立；
(3)利用（2）的结论计算： ．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、规律型数字的变化美，解决本题的关键是根据示例发现规律写
出式子．
（1）根据示例，可得第5个等式： 不用化简 ；
（2） ；
（3）利用（2）的结论，将数据代入计算即可．
【详解】（1）解：第5个等式是： 不用化简 ，
故答案为： ；
（2）第n个等式 为正整数 为： ，
证明：因为n为正整数，
所以有：
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（3）
．
题型一 观察、归纳与推理综合
1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）阅读下列解题过程：
；
．
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请直接写出式子 ．
(2)利用上面所提供的解法，请化简 的值．
(3)请利用上面的规律，比较 与 的大小．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查的知识点是二次根式的分母有理化以及利用倒数法比较二次根式的大小．
（ ）通过观察题目中的解题过程可以看出：相邻的两个数算术平方根的和的倒数等于它们算术平方根的
差；
（ ）根据规律，先化简成二次根式的加减运算，再进行计算就可以了；
（ ）通过求两个二次根式差的倒数，将比较两个二次根式差的大小转化为比较它们倒数的大小，进而得
出原二次根式差的大小关系，体现了利用倒数法比较二次根式大小的思路．
【详解】（1）解：
；
故答案为： ；
（2）根据（ ）中得出规律 化简，
；
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学科网（北京）股份有限公司（3） ，
，
∵ ，
∴根据两个正数，倒数大的反而小，
∴ ．
2．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费
金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次
任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取
5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取 个整数，这a个整数之和共有多少
种不同的结果？
模型探究：
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
1，
所取的2个整数 1，2 2，3
3
2个整数之和 3 4 5
如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以
共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 6 7
如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是
7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________
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学科网（北京）股份有限公司种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
________种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不
同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取 个整数，这a个整数之和共有
________种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共
有________种不同的优惠金额．
【答案】探究一：（3）7；（4） 探究二：（1）4；（2） 探究三： 归纳结论：
问题解决：
【分析】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键．
探究一：（3）根据探究一的（1）和（2）可得结果；
（4）结合（3）即可得到结果；
探究二：（1）根据探究一的方法即可得结果；
（2）结合以上（1），总结规律，即可得结果；
探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果；
归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果；
问题解决：根据以上结论即可得到答案．
【详解】解：探究一：
（3）
所取
的2
1，2 1，3 1，4 1，5 2，3 2，4 2，5 3，4 3，5 4，5
个整
数
2个 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9
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学科网（北京）股份有限公司整数
之和
根据表格可得 共有7种不同的结果，
故答案为：7；
（4）由以上知，取两个整数最小值为 ，最大值为 ，
在最小值和最大值之间的数值都有可能，所以为 ，
故答案为： ；
探究二：
（1）所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 （种），
故答案为： ；
（2）所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 种，
故答案为： ；
探究三：
所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 种，
故答案为： ；
归纳总结：
所出现情况的和的最小值为 ，最大值为
，
则共可以出现情况为 种，
故答案为： ；
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学科网（北京）股份有限公司问题解决：
所出现情况的和的最小值为 ，最大值为 ，
则共可以出现情况为 （种），
故答案为： ．
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