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7.1 为什么要证明
题型一 代数观察归纳
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）当n是正整数时， 一定是（ ）．
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ，
…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测 的个位数字是 ．
3．（2025·安徽滁州·二模）观察下列各式．
第一个等式： ；
第二个等式： ；
第三个等式： ；
第四个等式： ；
…
根据以上规律，解决下列问题．
(1)第五个等式：____________________．
(2)猜想第 个等式：____________________（用含 的代数式表示），并证明．
4．（2019·山东菏泽·三模）观察下列关于自然数的式子： ， ， ，……，根据上
述规律，则第2019个式子的值为 ．
【答案】8075
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学科网（北京）股份有限公司5．（19-20七年级上·湖北武汉·期中）在一列数：1，2，1，-1，．．．，其规律是：从第二个数起，每个
数都是其前后两个数之和，根据此规律，则第2019个数是 ．
6．（20-21七年级上·山东青岛·阶段练习）观察下列各数，按照某种规律在横线上填上一个适当的数． ，
， ， ， ， ；第n个数为
7．（18-19八年级下·福建漳州·期中）对于正数 ，规定 ，例如 ，
，计算：
．
题型二 几何观察归纳
1．（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）下列说法：①连接A，B两点的线段叫做A，B之间的距离； ②
若 ，则 是 的平分线；③从n边形一个顶点引对角线可以分成 个三角形；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的
个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2023·山西朔州·一模）如图，将一根细长的绳子沿中间对折，再沿对折后的绳子的中间对折1次，这
样连续对折n次，最后用剪刀沿对折n次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成 段．
3．（2021·湖南常德·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形
有 个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有 个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有
个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为 ．(用含n的
代数式表示)
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学科网（北京）股份有限公司4．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图
形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排
列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．
5．（2016·云南·一模）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根
小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…依此规律，拼成第n个图案需要小木棒 .
题型一 逻辑推理
1．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的
供词如下：
甲：“乙、戊作案了”；
乙：“甲、丁作案了”；
丙：“乙、己作案了”；
丁：“甲、丙作案了”；
戊：“甲、己作案了”．
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学科网（北京）股份有限公司已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是
（ ）
A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊
2．（2025·山东济宁·二模）某班级到劳动实践基地参加活动，基地指导老师让同学排成一列纵队后，按照
从前到后的顺序四人一组，根据李明和张雪的对话
给出以下四个结论：
①如果李明和赵伟同一组，那么张雪和王凯也同一组；②如果李明和赵伟不同一组，那么张雪和王凯也不
同一组；③如果张雪和王凯同一组，那么李明和赵伟也同一组；④如果张雪和王凯不同一组，那么李明和
赵伟也不同一组．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①②③
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人
需完成各自对应的挑战任务．比赛规则如下：
①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的挑
战完成时间为准(例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分钟)；
②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点(返程也需完成对应的挑战任务，耗时
与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟)；
③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返；
④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束．
某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间(单位：分钟)分别为1，2，3，5，则该组队员
完成比赛所需的最短时间为( )
A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟
4．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的
落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密
码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的
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学科网（北京）股份有限公司手机密码： ．
7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
①7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；
②9、5、8、3四个数字都不正确；
③0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．
④5．（2025七年级下·重庆·专题练习） 四位同学参加比赛并包揽了前四名．其他同学向他们询
问各自的名次．
A说：“ 是第一名，我是第三名”．
说：“我是第一名， 是第四名”．
说：“ 是第二名，我是第三名？”
是他们中最诚实的一位，从不说谎，他听了其他三位的发言后说：“你们三个都说对了一半．”根据这
些信息，请你推断出获得第一名的是 ．
6．（24-25七年级下·北京海淀·期末）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生
除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应
参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下：
运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数
篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17
足球 12 游泳 4 实心球
排球 2
表中的 ；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的
四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有
人．
7．（24-25八年级下·北京昌平·期末）某校在3月14日国际数学节来临之际举办趣味数学活动．活动共有
A，B，C，D，E五个数学游戏项目，每个游戏项目的游戏时间和规定参与人数固定（不满足规定参与人数，
游戏无法开始），如下表所示．
游戏项目 A B C D E
游戏时间（min） 3 6 6 4 3
规定参与人数（人） 2 3 2 1 1
（1）若只有1位同学，则他可以参与的游戏项目的总时间为 min；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若有3位同学，他们希望能够体验全部游戏项目（每个游戏项目至少有人参与过一次），则体验全部
游戏项目的最短时间为 min．
题型二 归纳与推理
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）你的眼睛可信吗？
(1)比较图①中线段a和b的大小；
(2)图②中由粗线围成的四边形是正方形吗？
2．（25-26八年级上·全国·课前预习）图中的线段a和b哪一条长？请与同伴交流，并用直尺检验你的结
论．
3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）观察下列各式，解答问题：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；
…
(1)请按照以上规律写出第6个等式： ；
(2)请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成
立，请举反例．
4．（25-26八年级上·全国·阶段练习）已知 .
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学科网（北京）股份有限公司(1)计算：当 时， ___________， ___________；
当 时， ___________， ___________；
当 时， __________， __________．
(2)猜想：无论 为任何非负实数， __________ 始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）．
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
5．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）同学们，大家一定很熟悉月历吧！如图：是某月的月历．
(1)带阴影的方框中的4个数，对角两数之和有什么关系？
(2)不改变阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？
6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
(1)请直接写出第5个等式：______（不用化简）；
(2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（ 为正整数），并证明等式成立；
(3)利用（2）的结论计算： ．
题型一 观察、归纳与推理综合
1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）阅读下列解题过程：
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学科网（北京）股份有限公司；
．
请回答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请直接写出式子 ．
(2)利用上面所提供的解法，请化简 的值．
(3)请利用上面的规律，比较 与 的大小．
2．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费
金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次
任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取
5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取 个整数，这a个整数之和共有多少
种不同的结果？
模型探究：
探究一：
（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
1，
所取的2个整数 1，2 2，3
3
2个整数之和 3 4 5
如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以
共有3种不同的结果．
（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 6 7
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学科网（北京）股份有限公司如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是
7，所以共有5种不同的结果．
（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果．
（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________
种不同的结果．
探究二：
（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
________种不同的结果．
探究三：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不
同的结果．
归纳结论：
从1，2，3，…，n（n为整数，且 ）这n个整数中任取 个整数，这a个整数之和共有
________种不同的结果．
问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共
有________种不同的优惠金额．
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