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2.2 平方根与立方根
题型一 无理数的判断与实数的分类
1．在实数 ， ， ， ， 中，无理数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．把下列各数的序号填入它们属于的集合内：
① ；② ；③7；④0；⑤ ；⑥ ；⑦ 0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；
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学科网（北京）股份有限公司⑧ ；⑨ ．
题型二 求一个数的算术平方根/平方根
4．下列说法：
①任何数都有算术平方根；
② 的算术平方根是 ；
③ 是9的平方根
④ 的算术平方根是 ；
其中，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5． 的算术平方根是 ．
题型三 算术平方根及其非负性
6． 所表述的意义是（ ）
A．25的平方根 B．25的算术平方根 C． 的平方根 D． 的算术平方根
7．若实数 有算术平方根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若 与 互为相反数，则 ．
9．已知 ，则 的值为 ．
10．（24-25八年级上·湖南常德·期末）已知： ， ， 满足 ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)请判断以 ， ， 为边构成的 的形状，并说明理由．
题型四 求一个数的立方根
11．已知 与 互为相反数，则 与 的积的立方根为 ．
12．下列计算正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
13．下列说法正确的是（ ）
A． 的平方根是9 B．立方根等于它本身的数有两个，0和1
C． 是49的算术平方根 D．4是16的一个平方根
14．已知 的算术平方根是 的立方根是2，求 的平方根．
题型五 根据平方根或立方根解方程
15．求下列各式中 的值：
(1) ； (2) ．
16．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知 是 121 的平方根，求 x，y的值．
17．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）求下列各式中 的值：
(1) (2)
题型六 估算无理数的大小
18．估计 的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
19．司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度
之比为 ，若 介于两个连续整数 和 之间，则 的值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．2 B．3 C．4 D．5
20．一个正方形的面积是 ，通过估算，它的边长在整数 与 之间，则 ．
21．满足 的所有整数x的和是 ．
题型七 已知平方根/立方根求数或代数式
22．已知 的立方根是2， 的算术平方根是3，求 的平方根．
23．已知 的算术平方根是 ， 的立方根是2，求 的平方根．
24．已知 的平方根是 ， 的立方根是1，求 的值．
25．已知正数 的平方根是 和 ， 的立方根为 ， 是 的整数部分．
(1)求 ， ， ， 的值；
(2)求 的算术平方根．
26．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 是 的
整数部分．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求 的平方根．
题型一 估算无理数的大小
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学科网（北京）股份有限公司1．实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示 的是
（ ）．
A．点 B．点 C．点 D．点
2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）黄金分割数 是一个具有特殊美学意义和广泛应用的无理数，它
的近似值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
小明以①的形式求 的近似值的过程如下．
例如求 的近似值．
因为 ，所以 ，
因为 ，
即 ．
因为 比较小，将 忽略不计，
所以 ，
所以 ，即 ，
则 可以设成以下两种形式：
得 ，故 ．
① ，其中 ；
② ，其中 ．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求 的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
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学科网（北京）股份有限公司（2）你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更高，请说明理由．
题型二 与算术平方根/立方根有关的规律探索
4．（24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据：
2.024 20.24 202.4 2024 20240
1.422 4.499 14.22 44.99 142.2
则 ．
5．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算 ＝ ； ＝ ．
(2)用含正整数 的式子表示上述算式的规律： ．
(3)计算： ．
6．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．求59319的立方根，解答如下：
① ，又 ， ，∴能确定59319的立
方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而 ，则 ，可得 ，由
此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是
．
8．已知 ， ，依据立方根运算规律得： ．
题型三 算术平方根/立方根的应用
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学科网（北京）股份有限公司9．如图 是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为 ．
(1)求这个魔方的棱长；
(2)图 中阴影部分是一个正方形 ，求阴影部分的面积及其边长．
(3)把正方形 放到数轴上，如图 ，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若 ，则点E
在数轴上表示的数为______．
10．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式 来估计，其中h（单
位：米）是眼睛离海平面的高度．
(1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？
(2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是 米，他想看到距离岸边大约
10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？
11．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在五边形 中， ， ， ， ，
， ， ，连接 、 ．
(1)求 和 的长；
(2)求五边形 的面积．
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学科网（北京）股份有限公司12．【阅读理解】
素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如 ，是因为 ；
素材2：因为 介于2和3之间，所以 的整数部分是2，小数部分是 ．
素材3： 系列纸的长与宽的比例均符合 ，其中 纸的面积约为 ．
【问题解决】
(1)设 纸张的宽为 ，则长为 ，根据边长与面积的关系，得 ，即
，由边长的实际意义，得 ，那么 的整数部分是________，小数部分是
________；
(2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将
A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪
两个相邻的整数之间．（参考数据： ， ， ， ， ）
题型四 确定无理数的整数部分
13．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差
的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为 ； 的整数部分为1，小数部分为 ；
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学科网（北京）股份有限公司再如， 的整数部分为 ，小数部分为 ．由此得到：若 ，其中x是整数，且
，则 ， ．根据材料，回答下列问题：
(1)若 ，其中m是整数，且 ，则 ， ；
(2)若 ，其中a是整数，且 ，求 的值；
(3)若 ，其中p是整数，且 ，求 的值．
题型一 利用算术平方根的非负性对代数式变形
1．已知实数 、 、 满足 ，求 的值．
题型二 算术平方根的实际应用
2．综合实践
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学科网（北京）股份有限公司今年1月16日，距离地球最近的外行星火星冲日，冲日是说火星、地球和太阳排成近似一条直线（如图所
示）．冲日期间，火星距离地球最近、最亮和整夜可见．请根据下表相关的数据信息解答下列各题：
行星 质量m 绕太阳公转的轨道半径 绕太阳的公转周期T
地球 年
火星 年
(1)计算 的值；
(2)计算火星绕太阳的公转周期 ；（公式： ，结果保留一位小数．参考数据： ）
(3)估算相邻两次火星冲日的时间间隔t．（公式： ）
3．（1）如图1，分别把两个面积为 的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个面积为
的大正方形，则大正方形的边长为_____cm；
（2）如图2，若正方形的面积为 ，小丽同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为 的长方
形纸片，使它的长和宽之比为 ，但她不知道能否裁得出来．小明见了说：“一定能用一块面积大的纸
片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗?请说明理由．
（3）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是 ，设圆的周长为 ，正方形的周长为 ，请比较
与 的大小；
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学科网（北京）股份有限公司4．某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动．
【探究一】正方形纸张的对角线的长
如图1，该小组用了两个面积为 的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，
得到一个面积为 的大正方形．
（1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____；
【探究二】A型纸中的奥秘
根据国际标准， 系列纸为长方形，其中A4纸的宽为 ．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将
A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，
便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠．
根据上述操作过程，
（2）直接写出A4纸的长；
（3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号）
【探究三】拓展迁移
该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个
相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为 型纸．他们
用5个边长为 的正方形，通过剪拼得到宽为 的 型纸的长，截取该长度，画出一张 型纸．
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学科网（北京）股份有限公司（4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张 型纸．
（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤）
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