文档内容
第 04 讲 空间直线、平面的垂直 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线、平面垂直的判定与性质
题型二：平面与平面垂直的判定与性质
题型三：平行、垂直关系的综合应用
题型四：几何法求线面角
题型五：几何法求二面角
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与平面垂直
1、直线和平面垂直的定义
如果一条直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，那么直线 垂直于平面 ，记为 ．直
线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
符号语言：对于任意 ，都有 .
2、直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
简记：线线垂直 线面垂直
符号语言： ， ， ， ，
3、直线和平面垂直的性质定理
3.1定义转化性质：如果一条直线 与平面 垂直，那么直线 垂直于平面 内所有直线.
符合语言： ， .
3.2性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符合语言： ，
知识点二：直线与平面所成角1、直线与平面所成角定义
如图，一条直线 和一个平面 相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜
线，斜线和平面的交点 叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 ，过垂足
和斜足 的直线 叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射
影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
说明：① 为斜线
② 与 的交点 为斜足
③直线 为在平面 上的射影
④直线 与射影 所成角 (角 )为直线 与平面 上所成角
⑤当直线 与平面 垂直时： ；当直线 与平面 平行或在平面 内时：
⑥直线与平面所成角 取值范围： .
2、直线与平面所成角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
知识点三：二面角
1、二面角定义
（1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面
叫做二面角的面．
（2）符号语言：
①二面角 .
②在 , 内分别取两点 ， ( , ),可记作二面角 ;
③当棱记作 时，可记作二面角 或者二面角 .
2、二面角的平面角
（1）定义：在二面角 的棱 上任取一点 ,以点 为垂足,在半平面 和 内分别作垂直与直线
的射线 , ,则射线 和 构成的 叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面
角.（2）说明：
①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；
②二面角的大小与垂足 在 上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；
③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的
两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面
角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；
④二面角的平面角 的范围是 ，当两个半平面重合时， ；当两个半平面合成一个平面
时，
⑤当两个半平面垂直时， ，此时的二面角称为直二面角.
3、二面角的平面角 的取值范围：
4、二面角平面角求法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半
平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用
二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.
（2）三垂线定理及其逆定理
①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直.
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另
一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.
(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交
线所成的角，就是二面角的平面角.
(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.
(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法
知识点四：平面与平面垂直
1、平面与平面垂直的定义
（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
（2）符号语言:
（3）图形语言2、平面与平面垂直的判定
（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)
（2）符号（图形）语言: ，
3、平面与平面垂直的性质定理
（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)符号（图形）语言： ， ，a⊂α,a⊥l .
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）若平面 平面 ，任取直线 ，则必有 ．( )
（2）已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．( )
（3）已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．( )
【答案】 × √ √
（1）根据面面垂直的性质定理可知错误；
（2）根据面面垂直的性质定理可知正确；
（3）已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内
与交线垂直的直线，这样的直线有无数条，故正确.
2．（2022·全国·高一课时练习）空间中直线l和三角形的两边 ， 同时垂直，则这条直线和三角形的
第三边 的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定
【答案】B
由直线l和三角形的两边 AC ， BC 同时垂直，所以该直线垂直平面ABC,则该直线与AB垂直
故选：B
3．（2022·全国·高一课时练习）对于直线m，n和平面 ，能得出 的一个条件是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
对A， 可以平行或相交；对B， 相交但不一定垂直；
对C，根据 则 ，又 ，所以 ，故成立；
对D，由 ，可知 平行
故选：C
4．（2022·全国·高一课时练习）已知 ，则过l与 垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在
【答案】C
由题可知：经过直线l的平面有无数个，所以满足条件的平面有无数个
故选：C
5．（2022·全国·高一课时练习）若平面 平面 ，平面 平面 ，则( )
A． B． C． 与 相交但不垂直 D．以上都有可能
【答案】D
若平面 平面 ，平面 平面 ，则 可以平行，垂直，相交且不垂直
故选：D
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线、平面垂直的判定与性质
典型例题
例题1．（2022·山东省莱西市第一中学高一期中）如图， 和 都垂直于平面 ，且 ，
， 是 的中点．
(1)求证： 平面 ；(2)求证： 平面 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)证明：（1）取 的中点 ，连接 ， ，
∵ 是 的中点，∴ ， ，
∵ 和 都垂直于平面 ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，从而 ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
(2)证明∵ 垂直于平面 ， 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
由（1）可知： ，∴ 平面 ．
例题2．（2022·广西贵港·高二期末（文））如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 分别
是 ， 的中点，且 ．
(1)证明： 平面 ．
【答案】(1)证明见解析；
由 平面 ， 平面 ，
∴ ,
又 ， 为 的中点，
所以 ．
由 ， 为 的中点，得 ，所以 ，即 ．
又 ， ， 平面
所以 平面 ．
例题3．（2022·辽宁·沈阳二十中高一期末）已知四棱锥 中，平面 平面 ，底面
为矩形，点E在AD上，且 ， ， 为 的中点， ， ．
(1)证明： ；
【答案】(1)证明见解析
证明：如图所示，连接 ，
因为平面 平面 ，且 ， 为 AB的中点，
所以 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为四边形 为矩形， ，
所以 ， ，
且 ，
所以 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
例题4．（2022·北京·高一期末）如图，在四棱锥 中，平面 底面 ，底面 为平
行四边形， .(1)求证： ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点 为棱 的中点
(1)因为平面 底面 ，平面 底面 ，
平面 ，所以 平面 .
又因为 平面 ，所以 .
(2)解：存在，点 为棱 的中点.
连接 ，交 于点 ，连接 ，如图所示：
因为底面 为平行四边形，所以点 为 的中点.
在 中，因为点 分别为 的中点.
所以 ，且 .
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥 中， 为矩形， ，且
． 为 上一点，且 ．(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
(1) ，且 平面
又 平面 ，
矩形 中，
又 ，则 与 相似，则
． ；
又 ， 平面 ；
2．（2022·全国·高二单元测试）在四棱锥 中，已知 ， ， ，
， ， ， 是 上的点．
(1)求证： 底面 ；
【答案】(1)证明见解析
在 中： ， ，所以 .
在 中： ， ， ，
由余弦定理有：
，所以 ，所以 ①
又因为 ②，由①②， ，所以 面 ，所以 ③.
在 中： ， ， ，所以 ④，由③④， ，所以 面
.
3．（2022·河北唐山·高一期末）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形， 平面ABCD，M
为AD的中点且 .(1)证明： ；
【答案】(1)证明见解析
(1)证明：∵ 底面ABCD， 平面ABCD，
∴ ，
又∵ ， ， 平面PAC，
∴ 平面PAC，
∵ 平面PAC，
∴ ；
4．（2022·福建三明·高一期末）如图，在直三棱柱 中，E为 的中点，且 ．
(1)证明：AB⊥BC；
【答案】(1)见解析
因为 ，且 ，所以 ，
因为 是直三棱柱，所以 平面 ，
所以 ，又因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以AB⊥BC.题型二：平面与平面垂直的判定与性质
典型例题
例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，
， ， ， 为棱 的中点， 是线段 上一动点.
(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
证明：因为 ， ，则 ，
平面 ， 平面 ， ，
， 、 平面 ， 平面 ，
平面 ，因此，平面 平面 .
例题2．（2022·北京延庆·高一期末）如图，在四棱锥 中，已知底面 是一个菱形，
，且 ，平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求证： .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析
(1)因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ；(2)因为底面 是一个菱形， ，
所以 为 的中点，
又 ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ；
(3)因为底面 是一个菱形， ，
所以 为 的中点，且 ，
又 ，
所以 ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ；
例题3．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如图，在四棱柱 中， ， ，
底面 是菱形， ，平面 平面 ， ．
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
在四棱柱 中，取CD中点E，连接 ，如图，菱形 中， ，因 ， ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，即有 ，因 ，则 是正三角形， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则有 平面
，
而 平面 ，于是得 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 .
例题4．（2022·广东茂名·高二期末）在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 .
(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
(1)在四棱锥 中，底面 为矩形，有 ，因平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
题型归类练
1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）如图所示，已知菱形 和矩形 所在平面互相垂直，
， ， .(1)证明：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
证： 平面 平面
平面 面
因为四边形 为菱形 , 平面 ， 平面
平面 平面 面
2．（2022·河南南阳·高一期末）如图，已知 是正三角形， 、 都垂直于平面 ，且
， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)证明：取 的中点 ，连接 、 ，
因为 、 都垂直于平面 ，则 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，平面 ， 平面 ， 平面 .
(2)证明： 为等边三角形，且 为 的中点，所以， ，
平面 ， 平面 ， ，
， 、 平面 ， 平面 ，
， 平面 ， 平面 ，所以，平面 平面 .
3．（2022·重庆市实验中学高一期末）如图，四棱锥 中， 平面 ， ，
， ， 为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)证明：在底面 中， ， ， ，
，则 为等腰直角三角形，且 ， ，
，则 ，
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ， ，，
平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 .
(2)解：取 的中点 ，连接 、 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
由已知 且 ，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，故 且 ，
所以，异面直线 与 所成角为 或其补角，
平面 ， 、 、 平面 ，
所以， ， ， ，
则 ， ，同理 ，
为 的中点，则 ，
由余弦定理可得 .
因此，异面直线 与 所成角的余弦值为 .
4．（2022·全国·高一单元测试）如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD，四边形ABCD为
等腰梯形， ∥ ， ， ， ， ．
(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
如图所示，设AC与BD的交点为O．
因为四边形ABCD为等腰梯形， ∥ ， ， ，
所以 ．
在 中， ，即 ．又因为 ，所以 ， ．
同理可得 ， ．
因为 ，所以 ．
又因为平面 平面ABCD，且平面 平面 ， 平面ABCD．
所以 平面PBD，
又因为 平面PBD，
所以 ．
题型三：平行、垂直关系的综合应用
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末）如图，三棱锥 中，等边三角形 的重心为 ，
， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， 是线段
的中点.
(1)求证： 平面DEF；
(2)求证：平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)连接PE，
因为 为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且 ，
因为M为PA中点，D是线段AM的中点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 平面DEF， 平面DEF，
所以 平面DEF
(2)连接AE、BD，如图所示
因为 为等边三角形，E为BC中点，
所以 ，
因为 ， ，E为BC中点，
所以 ，
因为 平面PAE，
所以 平面PAE，
因为 平面PAE，
所以 ，在 中， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
在 中， ， ，
所以 ，
在 中， ， ，
所以 ，即 ，
因为 平面PBC，
所以 平面PBC，
因为 平面DEF，
所以平面 平面PBC
例题2．（2022·福建三明·高一期末）如图1，在平行四边形 中， ， ， ，
是边 上的点，且 ．连结 ，并以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，
得到四棱锥 ，如图2．
(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： ；
(2)在图2中，已知 ．
①证明：平面 平面 ；
②求以 ， ， ， 为顶点的四面体外接球的表面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①证明见解析；② .
(1)由题设， ，而 面 ， 面 ，
所以 面 ，又 面 ， 面 ，平面PEC与平面PAD的交线为l， 面
所以 且 ，
综上， .
(2)①若 为 中点，连接 ，
由题设 ， ， ，则 ， ，
所以 ，故 ，
又 ，平行四边形ABCD中 ，可得 ，
在△ 中 ， ， ，故 ，
在△ 中 ， ， ，即 ，
所以 ，又 为 中点，故 ，
在△ 中 ， ， ，则 ，
所以 ，
由 ， 面 ，故 面 ，
又 面 ，则面 面 .
②由①知：△ 为直角三角形，则外接圆圆心为 ，故外接圆半径为 ，
又 面 ，则以P，A，D，E为顶点的四面体外接球球心在直线 上，
若外接球半径为 ，则 ，可得 ，
所以外接球的表面积为 .
题型归类练
1．（2022·四川成都·高三期末（理））如图，已知正方体 的棱长为2，M，N分别为 ，
的中点．有下列结论：①三棱锥 在平面 上的正投影图为等腰三角形；
②直线 平面 ；
③在棱BC上存在一点E，使得平面 平面 ；
④若F为棱AB的中点，且三棱锥 的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为 ．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
对于①，设 的中点为 ，连接 ， ， ，
如图，
为 的中点， ，
又 平面 ， 平面 ，
点 ， 在平面 上的正投影分别为 ，
且点 在平面 上的正投影分别为其本身，
三棱锥 在平面 上的正投影图为 ，
又 ，
即 为等腰三角形，①正确；
对于②，以点 为原点，分别以 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图，则 ，
，
， ，即 ，
， ，即 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
即 是平面 的一个法向量，
而 ，
与 不垂直， 不与平面 平行，②错误；
对于③，如图
设 的中点为 ，连接 ，由②知， ，
， ，
， ，即 ，
， ，即 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ，③正确；
对于④，如图，若 为棱AB的中点，又 为棱 的中点， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
又 ， 和 有公共的斜边 ，
设 的中点为 ，则点 到 的距离相等，
为三棱锥 外接球的球心， 为该球的直径，
， ，
该球的体积为 ，④正确.
综上所述，正确的结论为①③④.
故选：D.
2．（2022·河南新乡·高二期末（文））如图，在棱长为2的正方体 中，点M在线段
（不包含端点）上运动，则下列4个命题中所有正确命题的序号为（ ）
①异面直线 与 所成角的取值范围是 ；
② ；
③三棱锥 的体积为定值 ；
④ 的最小值为 ．
A．②④ B．①④ C．②③④ D．①③【答案】C
因为 ，所以异面直线 与 所成的角即 （或其补角）．因为 为正三角形，
所以 ，故①错误；
因为 平面 ，所以 ，故②正确；
因为 平面 ，所以 ，
故③正确；
如图，将 与 展开在同一平面内， 的最小值为 ，
由余弦定理得 ，故④正确．
3．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习）在三棱锥 中，三条棱 、 、 两两垂直，且
，若点 、 、 、 均在球 的球面上， 为球面上的一个动点，以下说法，其中正
确的序号是（ ）
①球 的表面积为
② 到平面 的距离为
③三棱锥 体积的最大值为
④存在点 ，使 平面
A．②③④ B．②④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
对于①，将三棱锥 补成正方体 ，则该正方体的棱长为 ，所以，球 的半径为 ，故球 的表面积为 ，①错；
对于②，易知 是边长为 的等边三角形， 的外接圆半径为 ，
所以， 到平面 的距离为 ，②对；
对于③，球心 到平面 的距离为 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
所以， ，
故三棱锥 体积的最大值为 ，③对；
对于④，连接 ，因为四边形 为正方形，则 ，
平面 ， 平面 ，则 ，
， 平面 ， 平面 ， ，
同理可证 ， ， 平面 ，
因为球心 平面 ，所以，在球 上存在点 ，使得 ，则 平面 ，④对.
故选：A.
4．（2022·江苏·高一课时练习）如图，在直三棱柱 中， 是边长为 的正三角形，
为 的中点， 为线段 上的动点，则下列说法正确的是_______.（填写序号）① 平面 ；②三棱锥 的体积的最大值为 ；
③ 与 为异面直线；④存在点 ，使得 与 垂直.
【答案】②
对于①，因为 平面 ， 平面 ， ，
所以， ，同理可得 ，
因为 ，则 ，故 不与 垂直，
所以， 不与平面 垂直，①错；
对于②，取 的中点 ，连接 ，
因为 是边长为 的等边三角形，则 且 ，
平面 ， 平面 ， ，
， 、 平面 ， 平面 ，
当点 与点 重合时， 的面积取最大值 ，
所以， ，②对；
对于③，当点 与点 重合时， 与 共面，③错；
对于④，取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
若存在点 使得 ， ，则 平面 ，
因为 ，且 ，所以， 为等腰直角三角形，且 ，
同理可知 ，所以， ，则 ，
平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ，故 ，
事实上，直线 、 相交，假设不成立，④错.
故答案为：②.5．（2022·四川宜宾·高一期末）如图，正方体 的棱长为1，点P是线段 上的动点，给
出以下四个结论：
① ；
②三棱锥 体积为定值；
③当 时，过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线长度之和为3；
④若Q是对角线 上一点，则PQ＋QC长度的最小值为 ．
其中正确的序号是______．
【答案】①②④
由 平面 ， 平面 ，得 ，
又 ． ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，①正确；
正方体中，平面 平面 ， 平面 ，因此 到平面 的距离不变， 的面
积不变，所以三棱锥 的体积不变，即三棱锥 体积为定值，②正确；
由于正方体的对面平行，因此截面 与正方体的表面的交线相互平行，
连结 延长交 于 ，过 在 交 于 ，连结 ，
则 ，四边形 是过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线，正方体棱长为1， ， ，
因此四边形 周长为 ，③错误；
正方体中，易知 与 是两个全等的直角三角形， ， ， ，
把这两个三角形沿 摊平形成一个平面四边形 ，如下图，
当 ， 是 与 的交点时， 最小．
，
， ，
所以 ，④正确．
故答案为：①②④．
6．（2022·河南安阳·高二期末（理））如图，在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面
内的动点，且 平面 ，下面说法中正确的是______（将所有正确的序号都填上）①存在一点 ，使得 ；②存在一点 ，使得 ；
③点 的轨迹是一条直线；④三棱锥 的体积是定值．
【答案】①④
如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，
则平面 平面 ，
所以点 在线段GH上运动，即点 的轨迹是线段GH，故③错误.
当点F位于点 时， ，故①正确．
取AD的中点N，BC的中点 ，连接 ， ， ，
则 平面 ，设 ，则 ，
所以存在一点 使得 ，故②错误.
平面 平面 ，
所以点 到平面 的距离是定值，
所以三棱锥 的体积是定值，故④正确．
故答案为：①④
题型四：几何法求线面角典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知正四棱锥 底面边长为2，侧棱长为4，
为侧棱 中点，则直线 与底面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
作 底面 与于 ，连接 .因为正四棱锥 底面边长为2，故 ，又侧棱长为
4，故 .又 为侧棱 中点，故 到底面 的距离为 .又
,由余弦定理有 ,故直线 与底面
所成角的正弦值为
故选：D
例题2．（2022·湖南·高一阶段练习）在正四棱柱 中， 与平面 所成角的正弦值
为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
设AB＝BC＝2， ，则由于 平面A B C D , 平面A B C D ,故 ,
1 1 1 1 1 1 1 1
又 ,故 平面 ,
设 与平面 所成角为 ，则 即为 ，则 ， ，连接 ,
则 ，
,∴ 即为异面直线 与 所成角或其补角，
连接AC, ， ，
故选：D
例题3．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知点 为圆台 下底面圆 的圆周上一点， 为上
底面圆 的圆周上一点，且 ， ， ，记直线 与直线 所成角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意，设上､下底面半径分别为 ，其中 ，
如图，过 作 垂直下底面于 ，则 ，
所以直线 与直线 所成角即为直线 与直线 所成角，即 ，
而 ，由圆的性质， ，
所以 ，所以 ，故选：C.
题型归类练
1．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）等边 的边长为 ，过点 的直线 与过 的平面 交于
点 ．将平面 绕 转动（不与平面 重合），且三条直线 、 、 与平面 所成的角始终相等．
当三棱锥 体积最大时， 与平面 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
如下图所示：
设点 在平面 内的射影为点 ，连接 、 、 ，
由题意可知 平面 ，则 ，
又因为 ， ，
所以， ，
所以， ， ，则 为 的外心，
当 平面 时，三棱锥 的体积最大，
、 平面 ， ， ，
所以， ，
由余弦定理可得 ，则 ，
所以， ，易知直线 与平面 所成角为 ，且 ，
因此，当三棱锥 体积最大时， 与平面 所成角的余弦值为 .
故选：D.
2．（2022·吉林·抚松县第一中学高一阶段练习）已知如图，在三棱柱 中，底面 是等边三
角形， ， 在底面的射影为 的中点， 为 的中点，则直线 与平面 所成角
的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设 的中点为 ，连 ，则 平面 ，所以 ，
连 ，则 ， ，又 ， ，
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
因为 为等边三角形，且 为 的中点，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
过 作 ，则 平面 ，连 ，则 是直线 与平面 所成的角，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：C.
3．（2022·重庆长寿·高一期末）如图，直三棱柱 中， ， ， ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为__________．
【答案】
由条件可知平面 平面 ，且平面 平面 ，
， 平面 ， 是直线 与平面 所成角，故答案为：
4．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）如图，在正三棱柱 中，各棱长均为4，M，N分别
是BC， 的中点，则直线AB与平面 所成角的余弦值为_________.
【答案】
因为 ，且 为 的中点，所以 .
在正三棱柱 中,平面 平面 平面 且平面 平面 ,所
以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
因为M，N分别是BC， 的中点，所以
又因为 ，所以
所以
所以 所以
又因为 平面 , 平面 , ,
所以 平面 .
设 ,连接 .由 平面 .如图所示可知 平面 ，所以 为直线AB与平面 所成角.
连接AN，由题可知 ，
所以 为等腰三角形，作 于 ，则 为 的中点，
所以
所以 .
所以直线AB与平面 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
5．（2022·贵州·高一阶段练习）如图，在正四棱锥 中，所有棱长均相等，点 为 中点，则直
线 与平面 所成角的正弦值为_________.
【答案】
解：如图连接 交 于点 ，连接 ，由四棱锥各条棱相等，则 ， ，
根据线面垂直的判定定理，有 平面 .
设点 为 中点，连接 ，则 ，得到 平面 ，连接 ，则 是 在平面 内
的射影，
则 即为 与平面 所成角.
设四棱锥各棱长为2，则 ， ，在 中， ， ，
于是 .
故答案为：
题型五：几何法求二面角
典型例题
例题1．（2022·全国·高一）若一个正四棱锥的高和底面边长都为 ，则它的侧面与底面所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：如图所示，正四棱锥 ，取AB的中点为H，底面正方形的中心为O，连接OH，PH，
因为 ， ，所以 为侧面与底面所成的角，
又 ， ， ，
因为 为高，所以 平面 ，所以 ，
所以在直角三角形POH中 ，所以侧面与底面所成角的余弦值为
故选: B.
例题2．（2022·全国·高一）在三棱锥 中， ， ，则二面角
的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：如图，取 的中点 ，连接 ，
因为PA=PB=AC=CB=AB=2，
所以 ，且 ，
所以 即为二面角P-AB-C的平面角，
在 中，
，
又 ，
所以 ，
即二面角P-AB-C的大小为 .
故选：D.
例题3．（2022·江苏淮安·模拟预测）周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若
该组合体接于半径R的球O（即所有顶点都在球上），记正四棱锥侧面 与正方体底面A B C D 所成
1 1 1 1
二面角为 ，则 _________．【答案】 ##
由正方体的性质可知该组合体的外接球的球心为正方体的中心，
设正方体底面A B C D 的中心为 ， 的中点为 ，连接 ，
1 1 1 1
则 ，
则 ，设正方体的棱长为 ，则 ，
∴ .
故答案为： .
题型归类练
1．（2022·甘肃平凉·二模（理））在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ，且
， ，则二面角 的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
因为 底面 ， 平面 ，所以 ，又 ， ，所以 平面
，因为 平面 ，则 ，所以二面角 的平面角为 .在 中，
，则 .故二面角 的大小为30°.故选：A
2．（2022·重庆市第七中学校高一期末）正方体 中，二面角 的平面角的余弦值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
连接 ，取 中点O连接 .
由 ，则 且 ,则 ，故 即为二面角 的平面角.
不妨设正方体的边长为1，则在 中 ，在 中 ，则
.又 ，故可得： .
故选：D.
3．（2022·江苏省江浦高级中学高一期末）在四棱锥 中， ， ，平面 平
面 ， ， ，则二面角 的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A平面 平面 ，平面 平面 ， ，
取CD的中点O，连接PO，OA， , 平面 ，
则 平面ABCD， 平面ABCD可得 ,
由 ， ， ，可得四边形ABCO为正方形，
三角形ADO为等腰直角三角形，取AD的中点E，连接OE,PE，则 ， ,
可得 平面PEO， 平面PEO， ，
则 即为二面角 的平面角， ， ，
则 ,
故选：A
4．（2022·北京·高一期末）如图正方体 的棱长为 ，则二面角 的正弦值为
___________.
【答案】
解：连接 交 于点 ，连接 ，在正方体 中， 为 的中点，
所以 ， ，所以 即为二面角 的平面角，
又 ， ，所以 ，
所以 ，
即二面角 的正弦值为 .
故答案为：
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱 的底面是边长为 的正三角形， ，
， 为 的中点， ，则二面角 的正切值为______.
【答案】取 的中点 ，连接 ， .
因为 为 的中点， 是边长为 的正三角形，
所以 ， ， ， ，
所以 为二面角 的平面角.
在 中， ， ， ，
所以由余弦定理得 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））在长方体 中，已知 与平面 和平面 所
成的角均为 ，则（ ）
A． B．AB与平面 所成的角为
C． D． 与平面 所成的角为
【答案】D
如图所示：
不妨设 ，依题以及长方体的结构特征可知， 与平面 所成角为 ，
与平面 所成角为 ，所以 ，即 ， ，解得
．
对于A， ， ， ，A错误；
对于B，过 作 于 ，易知 平面 ，所以 与平面 所成角为 ，因为，所以 ，B错误；
对于C， ， ， ，C错误；
对于D， 与平面 所成角为 ， ，而 ，所以
．D正确．
故选：D．
2．（多选）（2022·全国·高考真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；
连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面A B C D ， 平面A B C D ，则 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故D正确.故选：ABD
3．（多选）（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为
正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
设正方体的棱长为 ，
对于A，如图（1）所示，连接 ，则 ，
故 （或其补角）为异面直线 所成的角，
在直角三角形 ， ， ，故 ，
故 不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取 的中点为 ，连接 ， ，则 ， ，
由正方体 可得 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 平面 ，
又 平面 ， ，而 ，所以 平面 ，而 平面 ，故 ，故B正确.
对于C，如图（3），连接 ，则 ，由B的判断可得 ，
故 ，故C正确.
对于D，如图（4），取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 或其补角为异面直线 所成的角，因为正方体的棱长为2，故 ， ，
， ，故 不是直角，
故 不垂直，故D错误.
故选：BC.
4．（2021·全国·高考真题（文））已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，
E，F分别为 和 的中点， .
（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
（1）由于 ， ，所以 ，又AB⊥BB， ，故 平面 ，
1
则 ， 为等腰直角三角形，
， .
（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ，如图所示，取棱
的中点 ，连结 ，
正方形 中， 为中点，则 ，
又 ，
故 平面 ，而 平面 ，
从而 .
5．（2022·全国·高考真题（文））如图，四面体 中， ，E为AC
的中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明详见解析(2)
(1)由于 ， 是 的中点，所以 .由于 ，所以 ，
所以 ，故 ，
由于 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 .
(2)依题意 ， ，三角形 是等边三角形，
所以 ，
由于 ，所以三角形 是等腰直角三角形，所以 .
，所以 ，
由于 ， 平面 ，所以 平面 .
由于 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
由于 ，所以当 最短时，三角形 的面积最小值.
过 作 ，垂足为 ，
在 中， ，解得 ，
所以 ，
所以 .
过 作 ，垂足为 ，则 ，所以 平面 ，且 ，
所以 ,
所以 .
