文档内容
第 04 讲 等式与不等式性质（含糖水不等式）
（6 类核心考点精讲精练）
【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系
3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围
4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题
知识讲解
1. 等式的性质
性质1 如果 ，那么________；
性质2 如果 ， ，那么________；
性质3 如果 ，那么________；
性质4 如果 ，那么________；
性质5 如果 ， ，那么________；
2. 比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：
；
；
另外，若 ，则有 ； ； .
3. 不等式的基本性质：
（1）对称性： ．
（2）传递性 ： ．
（3）可加性： ．
（4）可积性：① ；② ．
（5）同向可加性： ；异向可减性： ．
（6）同向正数可乘性 ；异向异号可乘性： ；异向正数可除性： ．
（7）乘方法则： （ ， ）．
（8）开方法则： （ ， ）．
（9）倒数法则： ； ．
4. 糖水不等式及其变形
若实数a，b，c，满足 ， ，则 _____ ，_____，(b－m＞0)；_____；_____，(b－m＞0)
（用不等号填空）．
5. 对数型糖水不等式及其变形
（1）设 , 且 , 则有
（2）设 , 则有
（3）上式的倒数形式：设 , 则有
考点一、 由不等式性质判断式子大小关系
1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京丰台·二模）若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
考点二、 由不等式关系，求解不等式范围
1．（2023高三·全国·专题练习）已知 ， ，求 的取值范围为 .
2．（2024·河北石家庄·二模）若实数 ，且 ，则 的取值
范围是 .
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的取值范围是 ， 的取值范
围是 .
2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知 ， ，则 的最小值 .
3．（2024·浙江·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的取值范围为
．
考点三、 作差法或作商法比较式子大小关系1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数 ， 满足 ，求证： .
2．（上海浦东新·阶段练习）设 ，比较 与 的大小
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 为正实数．求证： .
2．若 ，求证： ．
考点 四 、 由不等式性质证明不等式
1．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在 中 分别为角 所对的边长，则
”
1．（1）设 ， ，证明： ；
（2）设 ， ， ，证明： .
考点 五 、 糖水不等式及其应用
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知 克糖水中含有 克糖 ，再添加 克糖（假设全
部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川凉山·一模） 克糖水中含有 克糖，糖的质量与糖水的质量比为 ，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 ( ，
).若 ， ， ，则
A． B．
C． D．
1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三·福建龙岩·阶段练习）若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分
数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
（ ， ）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断 与 的大
小：例如 ，试比较 的大小（填”<”或”>”或”
=”）
考点 六 、 多选题综合
1．（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且 ，则下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．1．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
2．（2024·江西·模拟预测）已知 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽淮北·一模）已知 ， ， ，下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）“ ， 是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·吉林长春·一模）若 ， ， ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）设 ， ， 为实数，且 ，则下列不等式正确的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东·模拟预测）对于实数 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ， ，则
5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知 ， 为非零实数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东·二模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023·湖南张家界·二模）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
8．（2023高三·全国·课后作业）已知 ，则 的取值范围是 ．
9．（2023高三·全国·专题练习）若 , ,则 的取值范围是 .
10．（23-24高三上·海南海口·开学考试）已知 ， ，则 的取值范围是 .
一、单选题
1．（2024·山东聊城·三模）“ ，且 ”是“ ，且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．（2024·陕西铜川·三模）已知 为正实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·福建福州·模拟预测）设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·安徽淮北·二模）已知 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
6．（2024·北京·三模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知 ， 为实数，则使得“ ”成立的一个必要不充分条件为
（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高三下·全国·专题练习）记 表示 这3个数中最大的数．已知 ， ， 都是
正实数， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·辽宁·模拟预测）若 ，则使“ ”成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·安徽合肥·三模）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．一、单选题
1．（四川·高考真题）若 则一定有
A． B． C． D．
2．（浙江·高考真题）设 ， 是实数，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（广东·高考真题）设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（上海·高考真题）已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是
A． B． C． D．
5．（北京·高考真题）已知 ， ， ， 均为实数，有下列命题：
（1）若 ， ，则 ；
（2）若 ， ，则 ；
（3）若 ， ，则 ，
其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（北京·高考真题）设 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（全国·高考真题）若 ， ，则
A． B． C． D．
8．（重庆·高考真题）若 ，且 ，则 的最小值是.
A． B．3 C．2 D．
二、多选题
9．（上海·高考真题）如果 ，那么下列不等式不正确的是( )A． B．
C． D．
三、填空题
10．（辽宁·高考真题）已知 且 ，则 的取值范围是 （答案用
区间表示）
