文档内容
第 01 讲 集合(精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：集合的基本概念
高频考点二：集合的基本关系
高频考点三：集合的运算
高频考点四： 图的应用
高频考点五：集合新定义问题
第五部分：高考真题感悟
第六部分：集合(精练）
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为： 和 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ 图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一
个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合 ，可知 ,在该集合中，
,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现
的.
集合 应满足 .
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 和 是同
一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，
再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集
合 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集 ，记作
（或 ），读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称
集合 是集合 的真子集，记作 （或 ）.读作“ 真包含于 ”或“ 真
包含 ”.
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（ ），
此时，集合 与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ； 是任何集合的子集，
是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作 ，即 ．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的
并集，记作 ，即 ．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即
．
4、集合的运算性质
（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．
5、高频考点结论
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有
个，非空真子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
（4） , ．
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合 的子集共有8个 ( )
【答案】错误
集合 的子集共有 个，
故答案为：错误
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合 和 表示同一个集
合( )
【答案】√
由集合相等的定义可知，集合 和 表示同一集合.
故答案为：√.
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件 的集合 的个
数是2个.( )
【答案】正确因 ，则 或 ，
所以的集合 的个数是2个.
故答案为：正确
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合 ，则 .(
)
【答案】正确
因为
所以
5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件 的集合 的个
数是3 ( )
【答案】错误
因集合 满足 ，于是得 或 ，即符合条件的集合 有
2个，所以原命题是错误的.故答案为：错误
二、单选题
1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
由题意，集合 ， ，∴ .
故选：B.
2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合 ，
，若 ，则实数 的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
集合 ， ，
又 ∴ 或 ，解得 或 或 ，
当 时， ， ， ，符合题意
当 时， ， ， ，不符合题意
当 时， ， ，不满足集合元素的互异性，不符合题意.
，则实数 的取值的集合为 .故选：D.
3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
二次不等式求出集合B，进而求出 ， .
【详解】
由题意可得: ，则 或 ，故 ．
故选：C
4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
由图可知阴影部分属于A，不属于B，
故阴影部分为 ，
故选：A.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：集合的基本概念
1．（2020·重庆·一模（理））已知集合 ，则B中
元素个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
，
， 中元素个数为4个.
故选:A.本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.
2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合 ，若 ，则 ___________.
【答案】
， ，
则 或 ，
解得 或 ，
当 时，集合 中有两个相同元素，（舍去），
所以 .故答案为：
3．（2012·全国·一模（理））集合 中含有的元素个数为
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
共6 个．故选B
4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合 ，则
中元素的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
, ,所以集合 中的元素个数为4个，故选D.
考点：集合的表示
5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合 ，
，则集合 中所含元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
因为 ， ， ，
所以满足条件的有序实数对为 ， ， ， ．
故选:B.
【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.
6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算： ，设 ，
，则集合 的所有元素之和为（ ）A．16 B．18 C．14 D．8
【答案】A
由题设知： ，
∴所有元素之和 .故选：A.
研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是
其他集合，然后
再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义，再求解时注意把
握集合元素的三特性中的“互异性”.
高频考点二：集合的基本关系
1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意， ，
故 ，A错，B对
又 ， ，故C，D错
故选：B
2．（2020·山东·模拟预测）已知集合 ，若 ，则x=__.
【答案】0
若 ，则 ，不符合条件；
若 ，则 或 (舍去)，经验证 符合条件．
故答案为：0．
3．（2020·江苏省如皋中学二模）设 ， ，且 ，则实数m的
值是________.
【答案】0；
因为 ， ，且 ，所以 ，解得 ，
故答案为：0.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m的值是解题关键,属于基础题.
4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足 的集合M的个数为
________；
【答案】7
满足 的集合 有 ，共7个.
故答案为：7
5．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
∵集合 ，且 ，∴ .
故选：C．
6．（2020·广西·模拟预测）已知集合 ， ，
.
（1）求 ， ：
（2）若 ，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ； ；（2） .
（1） ；
（2）因为 ，所以 .
当 时， ，即 ；
当 时， ，即
综上，
7．（2020·广西·模拟预测）已知集合 ， 或 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求a的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 或 .
（1）当 时，易得 ，
或 ，
.（2）若 ，即 时， ，满足 ，
若 ，即 时，
要使 ，只需 或 ，
解得 或 ，
综上所述a的取值范围为 或 .
【点睛】本题考查根据集合的基本关系求参数，属于基础题.
重点考查结论：
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有
个，非空真子集有 个．
（2） ．
（3）若 注意要讨论① ②
高频考点三：集合的运算
1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
所以 ，
故选：A
2．（2022·北京丰台·一模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
∵集合 ， ，
∴ .
故选：D.
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由 ，即 ，解得 或 ，即
或 ，所以 ，又 ，所以
；
故选：C
4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集 ，集合 ，集合
，则 是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
，解得： ，故集合 ， ，解得： ，集合 ，
则 ，
故选：C．
5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合 ， .若
，则实数n的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
依据集合元素互异性可知， ，排除选项AB；
当 时， ， ，
满足 .选项C判断正确；
当 时， ， ，
.选项D判断错误.
故选：C
6．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：
看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感
召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26
人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开
国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看
了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
【答案】3
把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》
三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有
(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有 (人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有 (人)，
因此，至少看了一支短视频的有 (人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为 .
故答案为：3
7．（2021·上海·模拟预测）已知集合 ，
，则 __________.
【答案】
由题意， ，又
又
由于 ，又
故
故答案为：
集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
高频考点四： 图的应用
1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U和集合A，B的关系如图所示，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由图知：阴影部分属于A，不属于B，故为 .
故选：A
2．（2021·广东·模拟预测）已知全集 ，集合 ，
它们的关系如图（ 图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解：由题意得：
故选：C
3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图， 是全集， 是 的子集，则阴影部分
表示的集合是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
解：由图知，阴影部分在集合 中，在集合 中，但不在集合 中，
故阴影部分所表示的集合是 .
故选：C.
4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､
植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：
等级
优秀 合格 合计
项目
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为
（ ）A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
用集合 表示除草优秀的学生， 表示椿树优秀的学生，全班学生用全集 表示，则
表示除草合格的学生，则 表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，
设两个项目都优秀的人数为 ，两个项目都是合格的人数为 ，由图可得
， ，因为 ，所以 ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合 表示优秀学生，全体
学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之
间的关系，从而得出最大值．5．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、
生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物
的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三
门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那
么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
把学生50人看出一个集合 ，选择物理科的人数组成为集合 ，
选择化学科的人数组成集合 ，选择生物颗的人数组成集合 ，
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，
单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，
以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，
所以单选物理、化学的人数至多8人，
所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多 人.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的
关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.
高频考点五：集合新定义问题
1．定义集合 且 .己知集合 ， ，
，则 中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
因为 ， ，所以 ，又因为 ，所以 .
故选：B.
2．设A、B是非空集合，定义： 且 ．已知 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
集合 中， ，即 ，
解得 ，
即 ，
又 ，
所以 ， ，
则 .
故选：A．
3．已知集合 ， ，则集合 中的元素个数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：由题意，满足条件的平面内以 为坐标的点集合 ，所以集合
的元素个数为 .
故选：B.
4．已知非空集合 、 满足以下两个条件：（1） ， ；（2）
的元素个数不是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素.则有序集合对 的个数
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意可知，集合 不能是空集，也不可能为 .
若集合 只有一个元素，则集合 为 ；
若集合 有两个元素，则集合 为 、 、 ；
若集合 有三个元素，则集合 为 、 、 ；
若集合 有四个元素，则集合 为 .综上所述，有序集合对 的个数为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对集合 中的元素个数进行分类讨论，由此确定
集合 ，由此得解.
5．（多选）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即
， .则下列结论正确的是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D．整数 ， 属于同一“类”的充要条件是
“ ”.
【答案】ABD
A： 除以5，所得余数为 ，满足 的定义，故正确；
B：整数集 就是由除以 所得余数为 的整数构成的，故正确；
C： ，故 ，故错误；
D：设 ，
则 ；
若整数 ， 属于同一“类”，则 ，所以 ；
反之，若 ，则 ，即 ， 属于同一“类”.
故整数 ， 属于同一“类”的充要条件是“ ”，正确.
故选： .
第五部分：高 考 真 题 感 悟
1．（2021·山东·高考真题）假设集合 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
， ，
.
故选：B.
2．（2021·湖南·高考真题）已知集合 ， ，且 （ ）
A． B．C． D．
【答案】A
因为集合 ，
所以 ，
故选：A.
3．（2021·江苏·高考真题）已知集合 ， ，若 ，则 的
值是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
因为 ，若 ，经验证不满足题意；
若 ，经验证满足题意.
所以 .
故选：B.
4．（2021·天津·高考真题）设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
， .
故选：C.
5．（2021·全国·高考真题）设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题设可得 ，故 ，
故选：B.
6．（2021·浙江·高考真题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由交集的定义结合题意可得： .
故选：D.7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
任取 ，则 ，其中 ，所以， ，故 ，
因此， .
故选：C.
第六部分：第 01 讲 集合（精练）
一、单选题
1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与 非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校 学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【详解】
对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错
误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
2．（2022··模拟预测（理））已知集合 ， ，则
中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
由 得： ，所以 ，又 ，令
，解得： ， ，当 时， ，当 时， ，当 时，
，故 中元素的个数为3.
故选：B
3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合 ， ，若
，则 （ ）A． B．0 C．1 D．
【答案】A
∵集合 ， ， ，
∴ 或 ，即 ，
当 时， 不合题意，当 时， 成立，
∴ .
故选：A.
4．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则集合B
的子集的个数是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
依题意 ，所以集合B的子集的个数为 ，
故选：C.
5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由已知 ， ，又 表示整数， 表示
奇数，故 ，
故选：B
6．（2022·广东·高二期末）集合 ， ， ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
根据题意，可得：
，则有：
当 时， ，满足题意；当 时，则有：
则有： ，
解得： 或
综上，解得： 或 或
故答案选：
7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意得，
或 ，
，
故 ，
故选：B
8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合 ，
B={-2，-1，0，1}，则A∩B=（ ）
A．{-2，-1，0，1} B．{-1，0，1} C．{-1，0} D．{-2，-1，0}
【答案】B
因为 等价于 等价于 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故选：B
二、填空题
9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合 ，
则 的子集的个数为___________.
【答案】8，
，有 个元素，所以子集个数为 .
故答案为：
10．（2022·上海金山·高一期末）满足条件： 的集合M的个数为______.
【答案】7
由 可知，
M中的元素个数多于 中的元素个数，不多于 中的元素个数
因此M中的元素来自于b,c,d中，
即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，
故足条件： 的集合M的个数有7个，
故答案为：7.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，
若 ，求实数a的取值范围是___________.
【答案】
，
， 或
当 时， ，满足
当 时，要使得 ，则 或
解得 或
综上，实数a的取值范围是
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ， 或 ，
若 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
或 ，因为 或 ，所以 ，
若 ，则 ，解得 .
所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
三、解答题
13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合 ，
．
(1)当 时，求 以及 ；
(2)若 ，求实数m的取值范围．
14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合 ， .
(1)若 ， ，求实数 的值；
(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数 的取值范围.
条件：① ；② ；③ .（注：答题前先说明选择哪个条
件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)1(2)条件选择见解析，
(1)因为 ，所以 ，所以 ，解得： 或 .
当 时， ，不合题意；
当 时， ，满足题设.
∴实数 的值为1.
(2)集合 .
集合 .
若选择① ，即
若选择② ，
若选择③ ，则
15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合 ，
.
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求a的取值集合.
【答案】(1) (2) 或 .
(1)当 时， .
因为 ，
所以 .
(2)因为 ，所以 .
当 时，解得 ， ，符合题意；
当 ，即 时， ，符合题意；
当 ，即 时， ，则 解得 .
综上，a的取值集合是 或 .
16．（2022·江苏·高一）已知集合 为非空数集，定义： ，
.
(1)若集合 ，直接写出集合 、 ；
(2)若集合 ，且 ，写出一个满足条件的集合 ，并说明理由；
(3)若集合 ， ，记 为集合 中元素的个数，求 的
最大值.
【答案】(1) ， (2) ， ，理由见解析(3)1347
(1)根据题意，由 ，则 ， ；
(2)由于集合 ， ，且 ，
所以 中也只包含四个元素，
即 ，
剩下的 ，
所以 ；
(3)设 满足题意，其中 ，
则 ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ， ，
中最小的元素为0，最大的元素为 ，
∴|S∪T|≤2a +1，
k
∴ ，
，
实际上当 时满足题意，
证明如下：
设A={m,m+1,m+2,⋯,2020}， ，
则S={2m,2m+1,2m+2,⋯,4040}，T={0,1,2,⋯,2020−m}，依题意有 ，即 ，
故 的最小值为674，于是当 时， 中元素最多，
即 时满足题意，
综上所述，集合 中元素的个数的最大值是1347.
