文档内容
第 02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量基本定理的应用
高频考点二：平面向量的坐标表示
高频考点三：平面向量共线的坐标表示
角度1：由坐标判断是否共线
角度2：由向量平行求参数
角度3：由坐标解决三点共线问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平面向量的基本定理1.1定理：如果⃗e ,⃗e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量⃗a，有且只有一对实
1 2
数λ ，λ ，使⃗a=λ ⃗e +λ ⃗e .
1 2 1 1 2 2
1.2基底：
不共线的向量⃗e ,⃗e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
1 2
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即0⃗不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
{λ =μ
（3）⃗a用基底⃗e ,⃗e 两种表示，即⃗a=λ ⃗e +λ ⃗e =μ ⃗e +μ ⃗e ，则 1 1 ，进而求参数.
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 λ =μ
2 2
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量
作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个不共线的单位向量i⃗,⃗j作为基底，存在
唯一一组有序实数对(x,y)使⃗a=xi⃗+ y⃗j,则有序数对(x,y)，叫做⃗a的坐标，记作⃗a=(x,y).
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若⃗a=(x ,y ),⃗b=(x ,y )，则⃗a±⃗b=(x ±x ,y ± y )；
1 1 2 2 1 2 1 2
（2）数乘向量：若⃗a=(x,y)，则λ⃗a=(λx,λy)；
（3）向量数量积：若⃗a=(x ,y ),⃗b=(x ,y )，则⃗a⋅⃗b=x x + y y ；
1 1 2 2 1 2 1 2
（4）任一向量：设A=(x ,y ),B=(x ,y )，则⃗AB＝(x －x ，y －y ).
1 1 2 2 2 1 2 1
4、平面向量共线的坐标表示
若⃗a=(x ,y ),⃗b=(x ,y )，则⃗a∥⃗b的充要条件为x y −x y =0
1 1 2 2 1 2 2 1
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·河北保定·高一阶段练习）已知向量⃗a=(1,m)，⃗b=(2,−3)，且⃗a//⃗b，则m=（ ）
3 1 3
A．− B． C．− D．
2 2 2
2．（2022·吉林毓文中学高一期中）向量⃗a=(−1,3)，⃗b=(2,−1)，则⃗a−2⃗b等于（ ）
A．(−5,5) B．(5,−5) C．(−3,1) D．(1,−1)
3．（2022·辽宁实验中学高一期中）⃗m=(3,−2)，⃗n=(1,x)，若 ，则x= ( )
A．−8 B．−6 C．6 D．84．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）已知向量⃗a、⃗b满足⃗a=(0,4)，⃗b=(3,0)，则|⃗a−⃗b|=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2022·山西运城·高一期中）与向量⃗a=(3,−4)方向相同的单位向量为（ ）
(3 4) ( 3 4) (3 4)
A． , B． C． − ,− D． ,−
5 5 5 5 5 5
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量基本定理的应用
例题1．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）如图，在ΔABC中， ， ，设
⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，则⃗AE=（ ）
1 1 1 1
A． ⃗a+ ⃗b B． ⃗a+ ⃗b
3 2 4 2
1 1 1 1
C． ⃗a+ ⃗b D． ⃗a+ ⃗b
5 2 6 2
例题2．（2022·山西吕梁·二模（文））在△ABC中，⃗BD=2⃗DC，E是AD上一点．若
1
⃗CE= ⃗CA+λ⃗CB，则λ=（ ）
2
1 1 1
A． B． C． D．
6 2 4
例题3．（2022·江苏徐州·高一期中）如图所示，在△OAB中，C是AB中点，设⃗OA=⃗a,⃗OB=⃗b，则
________（请用⃗a,⃗b表示⃗OC）.例题4．（2022·全国·高一专题练习）如图，平行四边形ABCD中，⃗AB=⃗a,⃗AD=⃗b，M是DC的中点，
以⃗a,⃗b为基底表示向量⃗AM＝________.
例题5．（2022·江苏·高一专题练习）下列结论：①若向量⃗a，⃗b，⃗c共面，则存在实数x，y，使
⃗a=x⃗b+ y⃗c；②若向量⃗a，⃗b，⃗c不共面，则不存在实数x，y，使⃗a=x⃗b+ y⃗c；③若向量⃗a，⃗b，⃗c共面，⃗b，
⃗c不共线，则存在实数x，y，使⃗a=x⃗b+ y⃗c；④若⃗a=x⃗b+ y⃗c，则向量⃗a，⃗b，⃗c共面．其中，正确的个数
是______．
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知正方形ABCD中，M是BC的中点，⃑AC=λ⃑AM+μ⃑BD，则λ+μ=
________
1
2．（2022·重庆巴蜀中学高一期中）已知△ABC中，点D满足⃗DC=2⃗BD，若⃗AD= ⃗AC+λ⃗AB，则λ=
3
___________.
3．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且
⃗AB=⃗a， ，求⃗BE（用⃗a,⃗b表示）．
4．（2022·全国·高一单元测试）如图，矩形ABCD与矩形DEFG全等，且⃗CG=⃗GD.(1)用向量⃗AD与⃗AB表示⃗DF；
(2)用向量⃗BG与⃗DF表示⃗AC.
高频考点二：平面向量的坐标表示
例题1．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））已知向量⃗a=(0,2)，⃗b=(−1,3)，⃗c=(−2,5)，且
⃗c=x⃗a+2⃗b，则x的值为（ ）
1 1
A．− B． C．-2 D．2
2 2
例题2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知⃗AB与⃗a=(−1,2)的夹角为π，且|⃗AB|=2√5，A点的
坐标为(3,4)，则B点的坐标为（ ）
A．(−1,3) B．(3,4) C．(1,−8) D．(5,0)
例题3．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知向量⃗a=(−1,1)， ⃗b=(1,−2)， 若
m⃗a+n⃗b=(9,−8) (m,n∈R)， 则m−n的值为______．
例题4．（2022·上海市复旦中学高一期中）已知⃗P P=−2⃗PP ，若P (1,2)、P (3,−1)，则点P坐标为
1 2 1 2
______________.
例题5．（2022·河北武强中学高一期中）已知A(1,3)，B(2,−2)，C(4,1).
(1)若⃗AB=⃗CD，求D点的坐标；
(2)设向量⃗a=⃗AB，⃗b=⃗BC，若k⃗a−⃗b与⃗a+3⃗b平行，求实数k的值.
题型归类练
1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知点A(−1,4),B(2,6),C(3,0)，则满足⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗的G的坐标为______.
2．（2022·广东·仲元中学高一期中）已知M(−2,7)、N(6,1)，点P是线段MN上的点，且⃗PN=−⃗PM，
则P点的坐标为________．
3．（2022·河南·临颍县第一高级中学高一阶段练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(−1,1)，
B(2,0)，C(3,3)．
(1)求点D的坐标；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
1 2
4．（2022·山东潍坊·高一期中）如图所示，已知矩形ABCD中，AB=2,AD=1,⃗DM= ⃗DC,⃗BN= ⃗BC，
3 3
AC与MN相交于点E．
(1)若⃗MN=λ⃗AB+μ⃗AD，求λ和μ的值；
(2)用向量⃗AM,⃗AN表示⃗AE．
5．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=3BC，E
是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设⃗AB=⃗a， ，⃗AE=λ⃗AP(λ∈R)．
(1)若A(1,1)，D(7,4)，C(2,3)，E是线段CD的中点，求与⃗BE同向的单位向量的坐标；
(2)若DE=2EC，用⃗a，⃗b表示⃗AE，并求出实数λ的值．高频考点三：平面向量共线的坐标表示
角度1：由坐标判断是否共线
1．（多选）（2022·山东泰安·高一期中）在下列向量组中，可以作为基底的是（ ）
A．⃗e =(0,0)，⃗e =(1,2) B．⃗e =(−1,2)，⃗e =(5,−2)
1 2 1 2
C．⃗e =(3,5)，⃗e =(6,8) D．⃗e =(2,−3)，⃗e =(−2,3)
1 2 1 2
2．（2022·重庆八中高一期中）已知向量⃗a=(2,−1)，则与⃗a平行的单位向量的坐标为（ ）
( 2√5 √5) ( 2√5 √5) (2√5 √5)
A． − , B． − , 或 ,−
5 5 5 5 5 5
(√5 2√5) (√5 2√5) ( √5 2√5)
C． ,− D． ,− 或 − ,
5 5 5 5 5 5
3．（2022·湖南·高一课时练习）已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)，求证： .
角度2：由向量平行求参数
例题1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知向量⃗a=(1,2x)，⃗b=(x,x+1)，且⃗a，⃗b方向
相反，则x的值为（ ）
1 1
A．1 B． C．− D．
2 2
例题2．（2022·福建·厦门外国语学校高一期中）已知向量⃗a=(2,4)，⃗b=(1,m)，若⃗a与⃗a+⃗b共线，则实
数m=（ ）
1 1
A．− B．－2 C． D．2
2 2
例题3．（2022·河北沧州·二模）已知向量⃗a=(3,1),⃗b=(1,−2)，且(⃗a−⃗b)∥(⃗a+λ⃗b)，则实数λ=
__________.
例题4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2,−2)，⃗c=(1,λ)．若
⃗c//(2⃗a+⃗b)，则λ=________．
例题5．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知向量⃗a=(3,4)，⃗b=(1,2)，⃗c=(−2,−2)．
(1)求|⃗a|，|⃗b|的值；
(2)若(⃗a+⃗b)//(−⃗b+k⃗c)，求实数k的值．
角度3：由坐标解决三点共线问题例题1．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知平面直角坐标系中，点O为原点，A(1,3)，
B(2,−1)， ．若A，B，C三点共线，求实数m的值．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知A(−2,a),B(a+1,3),C(−1,2)三点共线，求实数a的值．
例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知平面内有两两不重合的三点A(1,−2a)，B(2,a)，
C(2+a,0).若A，B，C三点共线，求实数a的值.
题型归类练
1．（2022·四川眉山·三模（理））已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2,k)，⃗a∥⃗b，则k=___________.
2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知向量⃗a=(−1,2)，⃗b=(1,2022)，向量⃗m=⃗a+2⃗b，⃗n=2⃗a−k⃗b，若
，则实数k=______.
3．（2022·安徽·砀山中学高一期中）向量⃗a=(2,3)，⃗b=(x,5)，且⃗a∥⃗b，则x=______．
4．（2022·河北·沧县中学高一期中）已知⃗e ,⃗e 是两个不共线的非零向量，如果⃗AB=⃗e +⃗e ，
1 2 1 2
⃗BC=2⃗e +8⃗e ，⃗CD=3(⃗e −⃗e ).
1 2 1 2
(1)证明：A,B,D三点共线.
(2)若点A(sinθ,cosθ)(θ∈R),B(√3,3),C(−1,−√3)共线，求θ的值.
5．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知⃗a=(1,0),⃗b=(2,1)．
(1)当k为何值时，k⃗a−⃗b与⃗a+2⃗b共线．
(2)若⃗AB=2⃗a+3⃗b,⃗BC=⃗a+m⃗b，且A，B，C三点共线，求m的值．6．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高一期中）设A、B、C、D为平面直角坐标系中的四点，O
为原点坐标，且，⃗OA=(4,3),⃗OB=(−2,3) ⃗OC=(5，2)．
(1)若⃗AB=⃗CD，求点D的坐标;
(2)若k⃗AB−⃗BC与⃗AB+2⃗BC平行，求实数k的值．
第四部分：高考真题感悟
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD，点E，F分别是AB，BC的中点（如图所示），设
， ，则⃗EF等于（ ）
1 1 1 1
A．
(⃗a+⃗b)
B．
(⃗a−⃗b)
C．
(⃗b−⃗a)
D．
⃗a+⃗b
2 2 2 2
2．（2021·全国·高考真题（理））已知向量⃗a=(1,3),⃗b=(3,4)，若(⃗a−λ⃗b)⊥⃗b，则λ=__________．
3．（2019·江苏·高考真题）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于
AB
点O.若⃑AB⋅⃑AC=6⃑AO⋅⃑EC，则 的值是_____.
AC
