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专题16.18 二次根式（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校联考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·浙江·八年级校联考期中）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）下列二次根式能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019上·四川达州·八年级校考阶段练习）两个数 ，5的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．无法比较
6．（2023下·河北唐山·八年级统考阶段练习）如图，将长方形分成四个区域，其中 ， 两正方形区
域的面积分别是 和 ，则剩余区域的面积是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2011上·安徽芜湖·九年级统考期中）把 根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
8．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，某小区有块长为 ，宽为 的长方形空地，现要在中间修建一个长为 ，宽为 的花坛，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）下列推理过程中，对应符号表示正确的是（ ）
已知 ，用含a，b的式子表示 ．
解： ，
，
．
A．“ ”代表 B．“*”代表0.04，“★”代表0.02
C．“ ”代表50，“★”代表2 D．“*”代表2
10．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）关于“ ”，下列说法不正确的是（ ）
A．它可以表示面积为10的正方形的边长
B．若 ，则整数
C．
D．数轴上距离原点 个单位长度的点有且只有一个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（福建省泉州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在二次根式 中，x的取值范围
是 ．
12．（2023下·江苏扬州·八年级校考期末）已知 那么 ．13．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）计算 的结果是 ．
14．（2024上·上海闵行·八年级校考期末）分母有理化： ．
15．（2020下·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）若x＝ ＋1，y＝ ﹣1，则（x＋y）2＝ ．
16．（2023上·重庆江北·八年级重庆十八中校考阶段练习） ．
17．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）定义：我们将 与
称为一对“对偶式”，因为 ，可以有效的去掉根号，
若 ，则 ．
18．（2022上·河北石家庄·八年级统考期末）已知 、 是实数，下列四条命题：
①如果 ，那么 ；
②如果 ，那么 ；
③如果 ，那么 ；
④如果 ，那么 ．
其中真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·山西太原·八年级校考阶段练习）计算下列各题
（1） ； （2） .
20．（8分）（2023上·河南焦作·八年级统考期中）计算（1） （2）
21．（10分）（2022·江苏扬州·校考三模）先化简，再求值： ，其中 ，
．
22．（10分）（2022上·陕西西安·八年级校考期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇
到这样一道题：
已知 ，求 的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴ 即
∴
∴ ．
珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1） ______．（2）化简 ；
（3）若 ，求 的值．
23．（10分）（2022下·八年级课时练习）（1）计算：
（2）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，
而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间 （单位：s）和高度 （单位：
m）近似满足公式 （不考虑风速的影响， ）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼
顶自由落下，求落到地面所用时间．
24．（12分）（2023下·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）观察下列各式：
① ；
② ；
（1）根据你发现的规律填空： ______＝______；
（2）猜想 ______（ ， 为自然数），并通过计算证实你的猜想．参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次
根式的定义“形如 （ ）”可进行求解．
解：由题意可知 是二次根式；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了算术平方根、二次根式的加法及二次根式的乘除法，直接根据二次根式的加、乘、除法法则逐一计算即可．
解：A. ，此选项计算错误，不符合题意；
B. 和 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C. ，此选项计算错误，不符合题意；
D. ，此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的
因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.”是解题的关键．
解：A. 是最简二次根式，结论正确，故符合题意；
B. ，结论错误，故不符合题意；
C. ，结论错误，故不符合题意；
D. ，结论错误，故不符合题意；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同，这几个二次根
式叫同类二次根式，同类二次根式可以进行合并，将选项依次化简即可确定．
解：A， ，不能与 合并；
B， ，不能与 合并；
C， ，能与 合并；
D， 不能与 合并；
故选C．5．A
【分析】把两数都化为只有根式的形式，再根据根号里面的数比较大小.
解：∵ ,5=
则 ＜
∴ ＜5
故答案为A.
【点拨】本题考查了无理数的大小比较，解题关键在于通过比较被开方数的大小去比较无理数的大小.
6．D
【分析】根据两个正方形的面积分别求出边长，表示出长方形的长和宽求出总面积，再减去A、B两
个正方形的面积即可得出最后的结果．
解： ， 两正方形区域的面积分别是 和 ，
， 两正方形边长分别是 和 ，
剩余区域的面积是 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的应用，正确计算是解答本题的关键．
7．C
【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可．
解：由题意可知： ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键．
8．A
【分析】分别求出长方形空地的面积和花坛的面积，再相减即可．
解：根据题意得，长方形空地的面积为 ，
花坛的面积为 ，∴图中空白部分的面积为 ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了长方形的面积，属于基础题，要熟练掌握．
9．B
【分析】先分别把 用 的倍数表示，即可得出“*”和“ ”，继而得出“★”，即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴“*”代表0.04，“ ”代表50，“★”代表0.02，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握知识点，准确理解题意是解题的关键．
10．D
【分析】根据正方形的面积公式，即可判断A；用夹逼法估算 ，即可判断B；根据二次根式的加
法法则，即可判断C；根据数轴上的点与实数的关系，即可判断D．
解：A、设面积为10的正方形边长为 ，则 ，∴ ，故A正确，不符合题意；
B、∵ ，∴ ，∴整数 ，故B正确，不符合题意；
C、 ，故C正确，不符合题意；
D、数轴上距离原点 个单位长度的点有 和 ，故D不正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次根式，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法，二次根式的加法
法则．
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，建立不等式 ，解答即可．解：根据题意，得 ，
解得 ，
故答案为： ．
12．81
【分析】先求出x值，再求平方即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：81．
【点拨】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法．
13．4
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练运用计算法则是解题的关键．
解： ，
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查了分母有理化，根据 ，分子和分母同时乘上 ，化简即可作答．
解：依题意，
故答案为：
15．12．
【分析】直接代数，运用二次根式的法则计算即可．
解： ，
故答案为：12．
【点拨】本题考查代数式的求值，涉及二次根式的运算法则，熟练法则即可．
16．【分析】 ，据此即可求解．
解：原式
故答案为：
【点拨】本题考查了利用二次根式的性质化简．掌握相关法则即可．
17．7
【分析】易知 与 是一对“对偶式”，可根据
化简计算即可．
解：根据材料可知， 与 是一对“对偶式”，
∵ ，
∴
故答案为：7．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．
18． /
【分析②】④根④据②绝对值得性质以及二次根式的性质分别分析得出答案即可．
解：①如果|a|=|b|，那么a=±b，故此选项错误；
②如果 ，那么a=b；根据二次根式的性质，故此选项正确；
③如果|a|=|b|，那么 ，∵|a|=|b|中，a，b可以是负数，故此选项错误；
④如果 ，那么|a|=|b|，a，b为非负数，故此选项正确．
故答案为：②④．
【点拨】此题主要考查了实数的性质，熟练根据二次根式的性质得出是解题关键．19．（1） ；（2）
【分析】本题考查了二次根式的计算：
（1）利用平方差公式和二次根式化简计算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式化简计算即可；
结合完全平方公式和平方差公式计算是解题的关键．
（1）解：
=
=
= ；
（2）解：
=
=
= ．
20．（1） ；（2）
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键．
（1）先进行二次根式的乘法运算以及化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可．
（1）解：
；（2）
．
21． ，
【分析】根据分式的四则运算进行化简，然后代入求值即可．
解：
，
将 ， 代入得，原式 ．
【点拨】此题考查了分式的化简求值，涉及了分式的四则运算，完全平方公式，平方差公式，二次根
式的乘法，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
22．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用 得到 ，两边平方得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1） ，
故答案为： ；
（2）解：；
（3） ，
，
∴ ，即 ．
∴ ．
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根
式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式．
23．（1） ；（2）4s
【分析】（1）先计算乘方，再利用单项式乘多项式的法则进行运算即可．
（2）直接将 ， 代入公式计算即可．
解：（1）
；
（2）将 ， 代入公式 ，
得： ，答：落到地面所用时间为4s.
【点拨】本题考查了整式的混合运算，二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，正确代入即可．
24．（1） ； ；（2） ，证明见分析
【分析】（1）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解；
（2）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解．
（1）解： ，
故答案为： ； ．
（2）解： ，证明过程如下，
证明： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算及性质，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则
是解题的关键．
