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专题16.19 二次根式（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·广东·九年级统考学业考试）给定下列5个实数： ，3.1415926， ，0， ，
其中记有理数的个数为 ，无理数的个数为 ，计算： （ ）
A． B． C．3 D．
2．（2023下·天津·八年级校联考期中）将 化简得（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，某小区有块长为 ，宽为 的长方形空地，
现要在中间修建一个长为 ，宽为 的花坛，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023下·河北保定·八年级统考期中）已知 ， ，求 的值．
嘉琪同学的解题步骤如下：
………………………………………………①
……………………②…………………………………………………………③
…………………………………………………………………④
其中，首先出错的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）下列推理过程中，对应符号表示正确的是（ ）
已知 ，用含a，b的式子表示 ．
解： ，
，
．
A．“ ”代表 B．“*”代表0.04，“★”代表0.02
C．“ ”代表50，“★”代表2 D．“*”代表2
6．（2021·浙江丽水·三模）若方程组 ，设 ， ，则代数式 的值为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
8．（2020上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）下列化简正确的个数（ ）
① ；② ；③ ；④
A．0 B．1 C．2 D．39．（2022下·福建龙岩·八年级统考期中）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺
前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕
达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数．设 ， ，
记 ， ， ，…， ，则
的值为（ ）
A． B． C．100 D．5050
10．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）已知两个二次根式 ，
进行如下操作：令 ，将 加上 ，结果记为 ，令 ，
将 加上 ，结果记为 ；令 ，将 加上 ，结果记为
，以此类推，下列说法正确的个数是（ ）
① 的最小值为 ；
②当 时， ；
③ ；
④若 ，则有唯一解 ．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考阶段练习） ．
12．（2023下·湖北鄂州·八年级校考阶段练习）计算 的值是 ．13．（2023上·上海宝山·八年级校考期中）计算： ．
14．（2023上·辽宁铁岭·九年级校联考阶段练习）当a取值范围为 时， ．
15．（2021上·全国·八年级专题练习） 与 无法合并，这种说法是 的（填
“正确”或“错误”）．
16．（2022下·河北沧州·八年级统考期末）已知 ．
（1）将 化为最简二次根式是 ；
（2）若 ，则“■”表示的数是 ．
17．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实
数之积均相等，则图中 、 、 三个实数的积为 ．
1 b
3 a 2
6 c
18．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第六中学校考阶段练习）定义：我们将 与
称为一对“对偶式”，因为 ，可以有效的去掉根号，
若 ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·上海金山·八年级校联考期末）
（1）计算： （2）计算：20．（8分）（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ； （2） ．
21．（10分）（2023下·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的
大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当 都是正数时，①若 ，
则 ；②若 ，则 ；③ ，则 ．
我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．
（1）请用上述方法比较 与 的大小；
（2）写出 与 （ 为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
22．（10分）（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回
答下面的问题
化简： ．
解：隐含条件 ，解得： ， ．原式 ．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ．
【类比迁移】
（2）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： ．
（3）已知 ， ， 为 的三边长．化简： ．
23．（10分）（2023下·云南红河·八年级统考期末）阅读下列内容，解答问题：
如图，在 中， ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
……
（1）根据以上规律信息，请直接写出a与b以及a与c之间的数量关系．
（2）已知 ，求满足（1）中条件的 的值．
24．（12分）（2023上·四川成都·八年级校考期中）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
；
．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
① ＝______；
② ＝______．
（2）应用：求 的值．
（3）拓广：直接写出 的值．参考答案：
1．D
【分析】根据无理数，有理数的定义进行判断得出 ， ，然后代入求值即可．
解： ，3.1415926， ，0， 中有理数有3.1415926，0， 共3个，无理数有 ，
共2个，
∴ ， ，
∴ ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了无理数，有理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数和有理数的定义，得
出 ， ．
2．D
【分析】根据二次根式的性质把原式进行化简即可．
解：∵ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数具有非负性是解题的关键．
3．A
【分析】分别求出长方形空地的面积和花坛的面积，再相减即可．
解：根据题意得，长方形空地的面积为 ，
花坛的面积为 ，
∴图中空白部分的面积为 ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了长方形的面积，属于基础题，要熟练掌握．
4．B【分析】先用平方差公式分解，再代入数据求解即可．
解：
．
首先出错的步骤是②，
故选：B．
【点拨】本题考查了求代数式的值，涉及平方差公式，二次根式的运算，掌握平方差公式的结构特征
是解题的关键．
5．B
【分析】先分别把 用 的倍数表示，即可得出“*”和“ ”，继而得出“★”，即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴“*”代表0.04，“ ”代表50，“★”代表0.02，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握知识点，准确理解题意是解题的关键．
6．B
【分析】根据方程组的特点，将两个方程相减，即可以得到 的值；再将两个方程相加，即可得
到 的值，进而得到 、 的值．
解：
由 得：由 得：
，
，
故选B．
【点拨】本题考查了二元一次方程组和根式运算的知识点，能运用整体思想解决问题是本题解题的关
键．
7．A
【分析】本题考查了分母有理化，读懂题意，利用平方差公式进行分母有理化，是解答本题的关键．
根据题意，将 展开，然后利用平方差公式进行分母有理化，化简整理，最终得到答
案．
解：根据题意得：
，．
故选： ．
8．B
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解．
解：① ，故①错误，
② ，故②正确，
③ 同号时，等号成立，a，b异号时，等式不成立，故③错误，
④ ，故④错误，
综上，正确的只有②，
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．C
【分析】先计算 ， ， 的值，找出规律，然后求解即可．
解： ， ，
，，
，
，，
，
，
故选：C
【点拨】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运
算规律是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，分母有理化，完全平方公式等，
①利用二次根式的性质和非负数的性质可得
，即可判断①；
②由题意得：
，
即可判断②；
③运用分式的运算法则即可判断③；
④运用分母有理化和乘法公式即可判断④；
熟练掌握二次根式的性质、分母有理化、找到运算结果的变化规律是解题的关键．
解：①∵ ，∴结论①错误；
②当 时，
，，
，
，
……
，
，
∴
，
∴结论②正确；
③∵
，
∴结论③正确；
④∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论④正确．
故选：C．
11．
【分析】本题考查了二次根式性质化简及加减运算，先根据二次根式性质化简再算减法即可．
解： ．
故答案为： ．
12．
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
解：原式
．
【点拨】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
13．
【分析】本题考查了二次根式的化简；首先判断出 ，再利用二次根式的性质进行化简即可．
解：由二次根式 有意义可知 ，
∴ ，
故答案为： ．
14．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
解：当 且 时， 成立，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数非
负，分式有意义的条件是分母不为0．
15．错误
【分析】根据二次根式有意义的条件判断出 或 即a，b同号，然后根据二次根式的性质进
行化简，最后根据同类项的定义进行判断即可.
解：∵ 与 两个二次根式有意义
∴ ，
∴ 或 即a，b同号
当a=0时 ， ，两式能够合并；
当 ， 时 ， ，两式能够合并；
当 ， 时 ， ，两式能够合并；
∴综上所述，两式能够合并
∴这种说法错误.
故答案为：错误.
【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简和同类项的定义，解题的关键在于
能够判断出 或 即a，b同号.
16．
【分析】（1）根据 • （a≥0，b≥0）化简即可；（2）根据除数＝被除数÷商计算即可．
解：（1）
＝3 ；
故答案为：3 ；
（2）3
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了最简二次根式、二次根式的运算，熟练掌握计算法则是解题的关键．
17．18
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以
得到方 ，然后求解即可．
解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，
∴ ，
解得， ，
故答案为：18．
【点拨】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式．
18．7
【分析】易知 与 是一对“对偶式”，可根据化简计算即可．
解：根据材料可知， 与 是一对“对偶式”，
∵ ，
∴
故答案为：7．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，按照二次根式的性质，化简计算即可．
（1）按照二次根式的混合运算法则，依次化简计算即可，分母有理化时要特别小心．
（2）按照二次根式的混合运算法则，依次化简计算即可．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
20．（1） ；（2） ．
【分析】本题考查了求代数式的值；
（1）由已知条件可求 ， ，因式分解得 ，代入计算，即可求解；
（2）由已知条件可求 ，将原式化简为 ，代入计算，即可求解；
利用因式分解，用整体代换法进行运算是解题的关键．
（1）解： ， ，
， ，
；
（2）解： ， ，
，
．
21．（1） ；（2） ，见分析
【分析】（1）由 ，得到 ，即可得到答案；
（2）先计算得到 ，再根据 即可得到结论．（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
证明：
∵ ，
∴ ，
∴
【点拨】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
22．（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键：
（1）先根据题意得到 ，据此化简二次根式即可；
（2）先根据数轴得到 ，据此化简二次根式和绝对值即可；
（3）根据三角形三边的关系得到 ，据此化简二次根式即可．
解：（1）∵ 有意义，∴ ，即 ，
∴
；
（2）由题意得， ，
∴ ，
∴
；
（3）∵ ， ， 为 的三边长
∴ ，
∴
．
23．（1） ，
（2）4
【分析】（1）根据题干中的规律即可得；
（2）根据（1）中的数量关系，代入计算即可得．
（1）解：由题意可知， ， ．
（2）解：由（1）可知， ， ，，
．
【点拨】本题考查了数字类规律探索、二次根式的乘法，正确发现规律是解题关键．
24．（1）① ；② ；（2） ；（3）
【分析】（1）①根据（一 中的解法解答即可；
②根据（二 中的解法解答即可；
（2）根据平方差公式和分母有理化可以解答本题；
（3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题．
（1）解：① ，
故答案为： ；
② ，
故答案为： ；
（2）解：
；
（3）解：．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，熟练掌握分母有
理化的方法是解答本题的关键．
