文档内容
第 02 讲 平面向量基本定理及坐标表示
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：平面向量基本定理的应用
高频考点二：平面向量的坐标表示
高频考点三：平面向量共线的坐标表示
角度1：由坐标判断是否共线
角度2：由向量平行求参数
角度3：由坐标解决三点共线问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平面向量的基本定理1.1定理：如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 ，有且只有一对实
数 ，使 .
1.2基底：
不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即 不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3） 用基底 两种表示，即 ，则 ，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量
作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与 轴， 轴方向相同的两个不共线的单位向量 作为基底，存
在唯一一组有序实数对 使 ,则有序数对 ，叫做 的坐标，记作
.
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若 ，则 ；
（2）数乘向量：若 ，则 ；
（3）向量数量积：若 ，则 ；
（4）任一向量：设 ，则 .
4、平面向量共线的坐标表示
若 ，则 的充要条件为
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·河北保定·高一阶段练习）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
因为向量 ， ，且 ，则 ，所以 .
故选：A
2．（2022·吉林毓文中学高一期中）向量 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
.
故选：A.
3．（2022·辽宁实验中学高一期中） ， ，若 ，则 ( )
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【详解】
，
．
故选：D．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）已知向量 、 满足 ， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
依题意， ；
故选：C.
5．（2022·山西运城·高一期中）与向量 方向相同的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
与 同向的单位向量为 ，∵ ，故 = .
故选：D.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：平面向量基本定理的应用
例题1．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）如图，在 中， ， ，设
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：由题意得： ，
故选：D.
例题2．（2022·山西吕梁·二模（文））在△ 中， ， 是 上一点．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图所示，设 ，
则 ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
故选： ．例题3．（2022·江苏徐州·高一期中）如图所示，在 中， 是 中点，设 ，则
________（请用 表示 ）.
【答案】
【详解】
因为 是 中点
所以
又因为
所以
即
故答案为：
例题4．（2022·全国·高一专题练习）如图，平行四边形 中， ， 是 的中点，
以 为基底表示向量 ＝________.
【答案】
【详解】
故答案为：例题5．（2022·江苏·高一专题练习）下列结论：①若向量 ， ， 共面，则存在实数 ， ，使
；②若向量 ， ， 不共面，则不存在实数 ， ，使 ；③若向量 ， ， 共面，
， 不共线，则存在实数 ， ，使 ；④若 ，则向量 ， ， 共面．其中，正确
的个数是______．
【答案】3
【详解】
对于①，若 ， 共线，且 ， 不共线，
则不存在实数x，y，使 ，故①错误；
由共面向量定理可知②、③、④均正确，
故正确的个数是3．
故答案为：3
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）已知正方形 中， 是 的中点， ，则
________
【答案】
解：令 则 ，
有∵ ，∴ ，
∴ 解得：
∴
2．（2022·重庆巴蜀中学高一期中）已知 中，点D满足 ，若 ，则
___________.
【答案】
【详解】
解： ，
又 ，所以 .
故答案为： .
3．（2022·山西·运城市景胜中学高一阶段练习）如图，在平行四边形 中， 为 边的中点，且
， ，求 （用 表示）．
【答案】
【详解】
因为 ，
所以 ．
4．（2022·全国·高一单元测试）如图，矩形 与矩形 全等，且 .
(1)用向量 与 表示 ；(2)用向量 与 表示 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1) .
(2)以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系 ，
设 ，因为矩形 与矩形 全等，且 ，
所以 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，故 .
高频考点二：平面向量的坐标表示
例题1．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））已知向量 ， ， ，
且 ，则 的值为（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
故选：A
例题2．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）已知 与 的夹角为 ，且 ， 点的
坐标为 ，则 点的坐标为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】
∵ 与 的夹角为 ，则 与 方向相反
可设
，解得
即
设点 ，则
即 ，解得 ，即
故选：D．
例题3．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知向量 ， ， 若 (
)， 则 的值为______．
【答案】
解：因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ；
故答案为：
例题4．（2022·上海市复旦中学高一期中）已知 ，若 、 ，则点 坐标为
______________.
【答案】
【详解】
设 ，
，
即 ，解得
故答案为：
例题5．（2022·河北武强中学高一期中）已知 ， ， .
(1)若 ，求 点的坐标；
(2)设向量 ， ，若 与 平行，求实数 的值.【答案】(1) (2)
(1)设 ，又因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，得 ，
所以 .
(2)由题意得， ， ，
所以 ， ，
因为 与 平行，
所以 ，解得 .
所以实数 的值为 .
题型归类练
1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知点 ，则满足 的 的
坐标为______.
【答案】 .
【详解】
设 的坐标为 ，且 ，
因为 ，可得 ，
可得 ，所以 的坐标为 .
故答案为： .
2．（2022·广东·仲元中学高一期中）已知 、 ，点P是线段 上的点，且 ，则
P点的坐标为________．
【答案】
【详解】
设 的坐标为 ，
因为 、 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 ， ，
即P点的坐标为 ,
故答案为：
3．（2022·河南·临颍县第一高级中学高一阶段练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为 ，
， ．
(1)求点D的坐标；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1) (2)10
(1)设点D的坐标为 ．
由题意得 ， ．
因为 ，所以 得
所以点D的坐标为 ．
(2)因为 ，所以 ，
所以平行四边形ABCD为矩形．
因为 ， ，
所以平行四边形ABCD的面积为 ．
4．（2022·山东潍坊·高一期中）如图所示，已知矩形ABCD中， ，
AC与MN相交于点E．
(1)若 ，求 和 的值；
(2)用向量 表示 ．
【答案】(1) ， (2)
(1)以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则
，所以
所以 ，
所以
解得
(2)设 ，
因为 ，
所以 ．解得 ，
即 ，所以 ，
又因为M，E，N三点共线，所以 ，
所以 ﹒
5．（2022·湖北省通山县第一中学高一阶段练习）如图，在四边形ABCD中， ， ，E
是线段CD上的点，直线BD与直线AE相交于点P，设 ， ， ．
(1)若 ， ， ，E是线段CD的中点，求与 同向的单位向量的坐标；
(2)若 ，用 ， 表示 ，并求出实数 的值．
【答案】(1) (2) ，(1) ，易得 ，
又因为E是CD的中点，所以 ，
故 ，
则与 同向共线单位向量 ，坐标为
(2)因为 ，所以
又因为 ，所以
又因为 ，所以 ，又因为点B，P，D共线
，故
高频考点三：平面向量共线的坐标表示
角度1：由坐标判断是否共线
1．（多选）（2022·山东泰安·高一期中）在下列向量组中，可以作为基底的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】BC
【详解】
对A，因为 ，所以 共线，不能作为基底，故A错误；
对B，因为 ，所以 不共线，可以作为基底，故B正确；
对C，因为 ，所以 不共线，可以作为基底，故C正确；
对D，因为 ，所以 共线，不能作为基底，故D错误.
故选：BC.
2．（2022·重庆八中高一期中）已知向量 ，则与 平行的单位向量的坐标为（ ）
A． B． 或C． D． 或
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 ，
所以与 平行的单位向量为 或 ，
即 或 ，即 或 .
故选：B.
3．（2022·湖南·高一课时练习）已知点 ，求证： .
【答案】见解析
【详解】
. .
又 ，又A，B，C，D不共线， .
角度2：由向量平行求参数
例题1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期中）已知向量 ， ，且 ， 方向
相反，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为向量 ， ，且 ， 平行，则 ，解得： 或 .因为 ，
方向相反，所以 .
故选：C.
例题2．（2022·福建·厦门外国语学校高一期中）已知向量 ， ，若 与 共线，则
实数 （ ）
A． B．－2 C． D．2
【答案】D
【详解】
解：因为向量 ， ，所以向量 ，
因为 与 共线，
所以 ，
解得 ，
故选：D
例题3．（2022·河北沧州·二模）已知向量 ，且 ，则实数
__________.
【答案】
【详解】
由题意得 ，因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
例题4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量 ， ， ．若 ，
则 ________．
【答案】 ## .
【详解】
由题可得 ，即 ．
故答案为： .
例题5．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知向量 ， ， ．
(1)求 ， 的值；
(2)若 ，求实数 的值．
【答案】(1) ， ；(2) .
(1)因向量 ， ，所以 ， .
(2)依题意， ， ，
，则有 ，解得 ，
所以实数k的值是 .
角度3：由坐标解决三点共线问题
例题1．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知平面直角坐标系中，点 为原点， ，， ．若 ， ， 三点共线，求实数 的值．
【答案】∵A，B，C三点共线，∴ ，
由 ， .
∴ ，
∴
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知 三点共线，求实数 的值．
【答案】
由题意， 三点共线
故
即
解得：
例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知平面内有两两不重合的三点 ， ， .
若 ， ， 三点共线，求实数 的值.
【答案】
【详解】
，
由于 三点共线，所以 ，
所以 ，
解得 或 .
当 时， 两点重合，不符合题意.
经验证可知 符合题意.
所以 .
题型归类练
1．（2022·四川眉山·三模（理））已知向量 ， ， ，则k=___________.
【答案】4
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
故答案为：4.
2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知向量 ， ，向量 ， ，若
，则实数 ______.
【答案】
【详解】
根据题意可知 ， 不共线
若 ，则 ，使得 ，即
则可得 ，解得
故答案为： ．
3．（2022·安徽·砀山中学高一期中）向量 ， ，且 ，则 ______．
【答案】
因为向量 ， ，且 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为： .
4．（2022·河北·沧县中学高一期中）已知 是两个不共线的非零向量，如果 ， ，
.
(1)证明： 三点共线.
(2)若点 共线，求 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1) ，
所以 ，又因为 为公共点，
所以 三点共线.
(2)（2）因为 ，
由于 三点共线，得 ，
所以
化简得 ，即 .
5．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知 ．
(1)当k为何值时， 与 共线．
(2)若 ，且A，B，C三点共线，求m的值．
【答案】(1) (2)
(1)由 ，可得 ，
，
因为 与 共线，所以 ，
即 ，解得
(2)因为A，B，C三点共线，所以 ，
即 ，所以 ，解得 .
6．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高一期中）设 为平面直角坐标系中的四点， 为原
点坐标，且 ， ．
(1)若 ，求点 的坐标;
(2)若 与 平行，求实数 的值．
【答案】(1) (2)
(1)解：设 ，则 ．
∵ ， ，∴当 时， ，解得 ，∴ ．
(2)解：∵
，
∴ ．
与 平行，
，解得 ．
第四部分：高考真题感悟
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
连结 ，则 为 的中位线，
，
故选：A
2．（2021·全国·高考真题（理））已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
【详解】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
3．（2019·江苏·高考真题）如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于
点 .若 ，则 的值是_____.
【答案】 .
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得 即 故 .
