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专题 16.1 二次根式的化简求值
◆ 思想方法
整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的
联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未
知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解
决。
◆ 知识点总
结
一、二次根式的定义
形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式，❑√❑叫做二次根号，a叫做被开方数.
二、二次根式有意义的条件
1.二次根式中的被开方数是非负数；
2.二次根式具有非负性：❑√a≥0.
三、判断二次根式有意义的条件
1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数；
2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
四、二次根式的性质
性质1： = （ ），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
(❑√a) 2 a a≥0
{ a（a≥0）
性质2：❑√a2=|a|= ，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
−a（a<0）
五、同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相
同．六、二次根式的加减法则
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合
并方法为系数相加减，根式不变．
七、二次根式的乘除法则
①二次根式的乘法法则：❑√a∙❑√b=❑√a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：❑√a∙b=❑√a∙❑√b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：❑√a √a ；
=❑ (a≥0,b>0)
❑√b b
④商的算术平方根：√a ❑√a .
❑ = (a≥0,b>0)
b ❑√b
八、最简二次根式
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式．
九、分母有理化
1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
◆ 典例分析
【典例1】阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
❑√3+1
简： 2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 以上这种化简的步骤叫做分母有理
= = = = ❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2
化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令xab ， y ab ，则 ．这样，我们不用求出a，b，就可以得
a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10
到最后的结果．
1 1 1 1
（1）计算： + + + ...+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）m 是正整数， a ，b 且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
（3）已知 ，求 的值．
❑√15+x2−❑√26−x2=1 ❑√15+x2+❑√26−x2
【思路点拨】
（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出a+b=2(2m+1),ab=1再由2a2+1823ab+2b2=2019进行变形再求值即可；
（ 3 ） 先 得 到 ， 然 后 可 得
❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20
(❑√15+x2+❑√26−x2
)
2 =(❑√15+x2−❑√26−x2
)
2 +4❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=81 ， 最 后 由
，求出结果．
❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0
【解题过程】
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2019−❑√2017
解：（1）原式= + + +⋯+
2 2 2 2
❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2019−❑√2017
=
2
❑√2019−1
= ，
2
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）∵a ，b ，
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
∴ (❑√m+1−❑√m) 2+(❑√m+1+❑√m) 2 ，
a+b= =2(2m+1),ab=1
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
∵2a2+1823ab+2b2=2019，∴ ，
2(a2+b2 )+1823=2019
∴a2+b2=98，
∴ ，
4(2m+1) 2=100
∴2m=±5−1，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由 ❑√15+x2−❑√26−x2=1 得出 (❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 =1 ，
∴ ，
❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20
∵ (❑√15+x2+❑√26−x2
)
2 =(❑√15+x2−❑√26−x2
)
2 +4❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=81 ，
又∵ ，
❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0
∴ ．
❑√15+x2+❑√26−x2=9
◆ 学霸必刷
1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知 ，则代数式
x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3 ❑√x2+2xy+ y2+x−y−4
的值为（ ）
❑√3 3 ❑√5−1
A． B． C．❑√3−1 D．
2 4 2
1 1
2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知x+ =7(0<x<1)，则❑√x− 的值为（ ）
x ❑√x
A．−❑√7 B．−❑√5 C．❑√7 D．❑√5
3．（2023·浙江宁波·校考一模）若 ，则 的值为（ ）
x2+ y2=1 ❑√x2−4x+4+❑√xy−3x+ y−3
A．0 B．1 C．2 D．3
1
4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知x＝ ，则x6﹣2❑√2019x5﹣x4＋x3﹣2❑√2020
❑√2020−❑√2019
x2＋2x﹣❑√2020的值为（ ）A．0 B．1 C．❑√2019 D．❑√2020
5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为❑√3+❑√5−❑√3−❑√5的小数部分，b为❑√6+3❑√3−❑√6−3❑√3的小
2 1
数部分，则 − 的值为（ ）
b a
A．❑√6+❑√2−1 B．❑√6−❑√2+1 C．❑√6−❑√2−1 D．❑√6+❑√2+1
1 1 1 1 1 1
6．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）设a =1+ + ，a =1+ + ，a =1+ + ，……，
1 12 22 2 22 32 3 32 42
1 1
a =1+ + ．其中n为正整数，则❑√a +❑√a +❑√a +⋅⋅⋅+❑√a 的值是（ ）
n n2 (n+1) 2 1 2 3 2021
2019 2020 2020 2021
A．2020 B．2020 C．2021 D．2021
2020 2021 2021 2022
7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果 ，则1 √ 1 ．
a=❑√5−2 +❑ +a2−2=
a a2
5−❑√17 ❑√17−3
8．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知x= ，y= ，则4x2−3xy+4 y2=
❑√17−3 5−❑√17
．
9．（2022下·浙江杭州·八年级校考期中）已知 1 ，那么√ x √ x 的值等于
❑√x+ =2 ❑ −❑
❑√x x2+3x+1 x2+9x+1
．
10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，
x❑√y+ y❑√x−❑√7x−❑√7 y+❑√7xy=7，求x+ y= ．
11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设x=❑√3−2，则x6+3x5+11x3+2x+1= ．
3+❑√5
12．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知x= ，则代数式2x3−3x2−7x+2022的值为
2
．
13．（2022上·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：
x−y x+ y+2❑√xy 1
+ ，其中x=3,y= .
❑√x−❑√y ❑√x+❑√y 3❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 x y
14．（2023·北京·九年级专题练习）已知x= ，y= ，求 + 的值．
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 y2 x2
√b √a
15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知a+b=−8，ab=12，求b❑ +a❑ 的值．
a b
a+❑√ab+2b
16．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知a−2❑√ab−15b=0，求 的值．
a−2❑√ab+b
1 1
17．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知x= ，y= ．
❑√10−3 ❑√10+3
（1）求x2+2xy+ y2的值．
（2）求❑√(x2−4x+4) ❑√(y2+2y+1)值．
−
x(x−2) y(y+1)
18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知x=2−❑√3，y=2+❑√3．
（1）求x+ y和xy的值；
（2）求x2+ y2−3xy的值；
（3）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将❑√a±2❑√b化简，如果你能找到两个数m、
n，使 且 ， 将变成 ，即变成 ，从而使 得以化
m2+n2=a mn=❑√b a±2❑√b m2+n2±2mn (m±n) 2 ❑√a±2❑√b
简．
（1）例如，∵ ，
5+2❑√6=3+2+2❑√6=(❑√3) 2+(❑√2) 2+2❑√2×❑√3=(❑√3+❑√2) 2
∴ ______，请完成填空．
❑√5+2❑√6=❑√ (❑√3+❑√2) 2=
（2）仿照上面的例子，请化简❑√4−2❑√3；
（3）利用上面的方法，设A=❑√6+4❑√2，B=❑√3−❑√5，求A＋B的值．
20．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将 、 称为一对“对偶式”，因为
(❑√a+❑√b) (❑√a−❑√b)
，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2 −(❑√b) 2=a−b (❑√a+❑√b)
1 ❑√3 ❑√3
(❑√a−❑√b)中的“❑√❑”去掉于是二次根式除法可以这样解：如 = = ，
❑√3 ❑√3×❑√3 32+❑√2 (2+❑√2) 2 像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或
= =3+2❑√2.
2−❑√2 (2−❑√2)×(2+❑√2)
把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
1 1
（1）比较大小 _____ 用“>”、“<”或“=”填空)；
❑√7−2 ❑√6−❑√3
❑√5+2 ❑√5−2 x−y
（2）已知x= ，y= ，求 的值；
❑√5−2 ❑√5+2 x2y+x y2
2 2 2 2
（3）计算： + + +…+
3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99
