专题16.1二次根式的化简求值（压轴题专项讲练）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_压轴题专项-V5_2024版

专题 16.1 二次根式的化简求值 ◆ 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的 联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未 知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解 决。 ◆ 知识点总 结 一、二次根式的定义 形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式，❑√❑叫做二次根号，a叫做被开方数. 二、二次根式有意义的条件 1.二次根式中的被开方数是非负数； 2.二次根式具有非负性：❑√a≥0. 三、判断二次根式有意义的条件 1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是 非负数； 2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 四、二次根式的性质 性质1： = （ ），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； (❑√a) 2 a a≥0 { a（a≥0） 性质2：❑√a2=|a|= ，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. −a（a<0） 五、同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． ①同类二次根式类似于整式中的同类项； ②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同； ③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相 同．六、二次根式的加减法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合 并方法为系数相加减，根式不变． 七、二次根式的乘除法则 ①二次根式的乘法法则：❑√a∙❑√b=❑√a∙b(a≥0,b≥0)； ②积的算术平方根：❑√a∙b=❑√a∙❑√b(a≥0,b≥0)； ③二次根式的除法法则：❑√a √a ； =❑ (a≥0,b>0) ❑√b b ④商的算术平方根：√a ❑√a . ❑ = (a≥0,b>0) b ❑√b 八、最简二次根式 我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式． 九、分母有理化 1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母 组成平方差公式； 2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． ◆ 典例分析 【典例1】阅读下列材料，然后回答问题． 2 ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化 ❑√3+1 简： 2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 以上这种化简的步骤叫做分母有理 = = = = ❑√3−1 ❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2 化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比 如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令xab ， y  ab ，则 ．这样，我们不用求出a，b，就可以得 a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10 到最后的结果． 1 1 1 1 （1）计算： + + + ...+ ； ❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017 ❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m （2）m 是正整数， a  ，b  且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m． ❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m （3）已知 ，求 的值． ❑√15+x2−❑√26−x2=1 ❑√15+x2+❑√26−x2 【思路点拨】 （1）由题目所给出的规律进行计算即可； （2）先求出a+b=2(2m+1),ab=1再由2a2+1823ab+2b2=2019进行变形再求值即可； （ 3 ） 先 得 到 ， 然 后 可 得 ❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20 (❑√15+x2+❑√26−x2 ) 2 =(❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 +4❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=81 ， 最 后 由 ，求出结果． ❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0 【解题过程】 ❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2019−❑√2017 解：（1）原式= + + +⋯+ 2 2 2 2 ❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2019−❑√2017 = 2 ❑√2019−1 = ， 2 ❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m （2）∵a  ，b  ， ❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m ∴ (❑√m+1−❑√m) 2+(❑√m+1+❑√m) 2 ， a+b= =2(2m+1),ab=1 (❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m) ∵2a2+1823ab+2b2=2019，∴ ， 2(a2+b2 )+1823=2019 ∴a2+b2=98， ∴ ， 4(2m+1) 2=100 ∴2m=±5−1， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由 ❑√15+x2−❑√26−x2=1 得出 (❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 =1 ， ∴ ， ❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20 ∵ (❑√15+x2+❑√26−x2 ) 2 =(❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 +4❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=81 ， 又∵ ， ❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0 ∴ ． ❑√15+x2+❑√26−x2=9 ◆ 学霸必刷 1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知 ，则代数式 x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3 ❑√x2+2xy+ y2+x−y−4 的值为（ ） ❑√3 3 ❑√5−1 A． B． C．❑√3−1 D． 2 4 2 1 1 2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知x+ =7(0”、“<”或“=”填空)； ❑√7−2 ❑√6−❑√3 ❑√5+2 ❑√5−2 x−y （2）已知x= ，y= ，求 的值； ❑√5−2 ❑√5+2 x2y+x y2 2 2 2 2 （3）计算： + + +…+ 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99