专题16.17二次根式（全章知识梳理与考点分类讲解）（人教版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_专题突破练习-V4

专题16.17 二次根式（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 1 3, , 0.02, 0 a(a0) 2 形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式. a a0 a0 a 特别提醒：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二 a 次根式， 才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2） ； （3） . a a ( a)2 特别提醒：（1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （ 1 1 2( 2)2; ( )2;x( x)2 a0 3 3 x0 ），如 （ ）. a2 a a a2 （2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值， 一定有意义. a2 a （3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. a2 ( a)2 （4） 与 的异同 a2 a ( a)2 a 不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数； a2 a ( a)2 a a0 = ， = （ ）. a a2 ( a)2 相同点：被开方数都是非负数，当 取非负数时， = . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式.2, ab,3 x, a2 b2 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简 二次根式. 特别提醒：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因 式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别提醒：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相 2 8 8 2 2 2 8 同，再判断.如 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式. 【知识点二】二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) 商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法 = (a0,b0) a a  (a0,b0) b b b b 特别提醒： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . (4)(9)  4 9 （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变， 即合并同类二次根式. 特别提醒： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后 23 25 2 (135) 2  2 合并同类二次根式.如 . 【考点目录】 【考点1】二次根式及相关概念； 【考点2】二次根式的性质； 【考点 3】二次根式的大小比较； 【考点 4】二次根式运算与求 值； 【考点5】二次根式的应用.【考点一】二次根式及相关概念； （1）二次根式有意义的条件 【例1】（2023上·山东济南·八年级统考阶段练习）（1）若 有意义，则 满足条件____． （2）若 ，求 的值． 【答案】（1） （2）6 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列式求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得 ，解得 ，进而确定 的值，然后代入求值即可． 解：（1）若 有意义， 则有 ， ∴ ． 故答案为： ； （2）∵ ， ， ∴ ，解得 ， ∴可有 ，解得 ， ∴ ． 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识，理解并掌握二次根式有意义的 条件是解题关键． 【变式1】（2024上·河南周口·九年级校联考期末）若 有意义，则x、y的取值范围不可能是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由题意知， 异号或其中至少一个为0，由此即可作 出判断． 解：由题意知， ， 则 ，即 异号或其中至少一个为0，故 是不可能的； 故选：C． 【变式2】（2023·广东潮州·统考三模）函数 中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数， 分式的分母不等于0即可得出答案． 解：由题意得， ， 解得 ． 故答案为： ． （2）最简二次根式与同类二次根式 【例2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）已知二次根式 ． （1）求使得该二次根式有意义的 的取值范围； （2）已知 是最简二次根式，且与 可以合并， 求 的值； 求 与 的乘积． 【答案】（1） ；（2） ； ． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 进行求解即可； （2） 根据最简根式和同类二次根式的定义可得 ，解方程即可得到答案； 根据 所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可． 解：（1）∵二次根式 有意义， ∴ ， 解得： ， （2） ，∵ 与 可以合并， ∴ ， 解得： ； 由 得： ， ， ． 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的 乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【变式1】（2023下·广东东莞·八年级校联考期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念逐项一一判断即可． 解： 、 是最简二次根式，符合题意； 、 ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 、 ，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 、 ，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选： ． 【点拨】此题考查了最简二次根式的概念，解题的关键是熟记被开方数不含分母、被开方数中不含能 开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 【变式2】（2023上·福建泉州·八年级泉州七中校考阶段练习）已知 与最简二次根式 是同 类二次根式，则 ．【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟记“二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式为 同类二次根式”是解题关键． 解： 与最简二次根式 是同类二次根式， ， 解得： ． 故答案为： ． 【考点二】二次根式的性质 【例3】（2023上·江西南昌·八年级校联考期中）课本再现 思考：对于任意数 ， 一定等于 吗？ 得出结论（1） ________， ________，由以上两个例题可以得出结论： ________． 知识应用 （2）已知实数 ， ， 所对应的点在数轴上的位置如图所示． 请化简： ． 【答案】（1）5，5， ；（2） 【分析】本题考查数轴，二次根式的化简，化简绝对值，掌握 是解题的关键． （1）根据二次根式的性质求解； （2）根据数轴确定a，c和 的正负，进而利用 化简． 解：（1） ， ，可以得出结论： ，故答案为：5，5， ； （2）由数轴可知， ， ， ， ． 【变式1】（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式 ，得（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据 ，再由二次根式的性质即可得出结论，熟 知二次根式具有非负性是解题的关键． 解： ， 故选： ． 【变式2】（2021·北京·九年级专题练习）化简 的结果为 ． 【答案】 【分析】先把 化为平方的形式，再根据 化简即可求解． 解：原式． 故答案为： ． 【点拨】本题考查了双重二次根式的化简，把 化为平方的形式是解题关键． 【考点三】二次根式的大小比较 【例4】（2023下·湖北武汉·七年级武汉市粮道街中学校联考期中）“比差法”是数学中常用的比 较两个数大小的方法， 即： ； 例如：比较 与2的大小． ∵ 又∵ 则 ∴ ，∴ ． 请根据上述方法解答以下问题： （1） 的整数部分是________， 的小数部分是_______； （2）比较 与 的大小． （3）已知 ，试用“比差法”比较 与 的大小． 【答案】（1）5； ；（2） ；（3） ． 【分析】（1）首先估算出 ，得到 的整数部分是5；推出 ，得到 ，据此即可求解；（2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得 再得到 ，根据 ，化简比较即可求解． （1）解：∵ ， ∴ 的整数部分是5； ∴ ， ∴ ， ∴ 的整数部分是1，则 的小数部分是 ， 故答案为：5； ； （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点拨】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．【变式1】（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习） 的结果应在（ ） A． 和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可． 解：原式= ∵ ∴ 故选B． 【点拨】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范 围是解决本题的关键． 【变式2】（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）比较下列各数大小： ① ；② ；③ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键． （1）首先比较 与 的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解； （2）通过比较 与1的大小即可求解； （3） ， ，比较被开方数的大小即可； 解：① ， ； 故答案为： ； ② ；； 故答案为： ； ③ ， ，且 ； ； 故答案为： ； 【考点四】二次根式运算与求值 【例5】（2024上·河北保定·八年级统考期末）计算： （1） ； （2） ． 【答案】（1） ；（2）1 【分析】本题主要考查二次根式性质，二次根式的混合运算，乘法公式的运用的综合，掌握以上知识 是解题的关键． （1）先化简各二次根式，再合并即可； （2）先进行二次根式的乘法运算，再合并即可． （1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式1】（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）．A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理化；根据二次根式加减乘除运算进行即可判断． 解：A、 ，故选项A计算错误； B、 ，故选项B计算错误； C、 ，故选项C计算错误； D、 ，故选项D计算正确； 故选：D． 【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）把 进行化简，得到的最简结果是 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可． 解： ， 故答案为： ．【例6】（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到 这样一道题： 已知 ，求 的值．他们是这样解答的： 即 ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1） ___________． （2）化简 ． （3）若 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3）8 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值： （1）直接分子分母同时乘以 进行分母有理化即可； （2）先求出 ，据此把所求式子裂项计算即可； （3）先求出∴ ，进而得到 ，则 ，再把所求式子变形为 ，进而得到 ，据此可得答案．（1）解： ， 故答案为： ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ． 【变式1】（2024下·全国·八年级假期作业）若 ，则代数式 的值是 （ ） A． B． C． D．2【答案】B 【解析】略 【变式2】（2024上·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校考期末）如果 ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式把所求式子变形为 ，再代 值计算即可． 解：∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 【考点五】二次根式的应用 【例7】（2023上·广东深圳·八年级统考期末）秦九韶（1208年-1268年），字道古，南宋著名数学 家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他 于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦 九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是 ，记 为三角形的面积， 那么 ．（1）在 中， ，请用上面的公式计算 的面积； （2）如图，在 中， ，垂足为 ，求 的长； （3）一个三角形的三边长分别为 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦－秦九韶公式求三角 形的面积． （1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计 算三角形的面积即可； （2）由海伦-秦九韶公式求得 的面积．再根据 ，即可求 ； （3）根据 得以得到 ，再根据面积可以得到 ，代入计算即可． （1）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的面积为 ， （2）解： ∴ ， ∴ 的面积为 ， 又∵ ， ∴ ；（3）解：∵ ， ∴ ，即 ， 又∵ ∴ ， 即 ， ∴ ． 【变式1】（2023上·河南新乡·九年级统考期中）在长方形 中无重叠地放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形 的边长即可得出结果． 解：∵两张正方形纸片面积分别为 和 ， ∴它们的边长分别为 ， ， ∴ ， ， ∴空白部分的面积故选：A． 【变式2】（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别 为9和25，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，利用面积公式先算出两个正方形的面积，再利用“阴影面 积 长方形的面积 两个正方形的面积”得结论．利用二次根式的性质计算出两个正方形的边长是解决本 题的关键． 解： 图中两个正方形的面积分别为9和25， 图中两个正方形的边长分别为： 和 ． 图中长方形的长为 ，宽为5． 图中阴影部分面积为： ． 故答案为：6．