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第六章 平行四边形
6.2 平行四边形的判定
第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合
【素养目标】
1.通过实例认识“平行线之间的距离”，探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相
等”这一性质，培养抽象能力和空间观念．
2.通过推理证明掌握“夹在两条平行线间的线段处处相等”的性质，发展类比推理能
力．
3.能综合运用平行四边形的性质与判定解决问题，锻炼数学表达能力．
重点：掌握平行线间的距离的概念，探索并证明“夹在两条平行线间的线段处处相
等”这一性质．
难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．
【复习导入】
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同
伴交流.
【合作探究】
探究点1：平行线之间的距离
[典例精析]
例1 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足
分别为 C，D.
求证：AC = BD.
[知识要点]
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等 (如
图，AC = BD).
这个距离称为平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线间的距离处处相等).
第 1 页思考：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区
别？
[练一练]
1. 如图，已知l ∥l ，AB∥CD，HE⊥l ，FG⊥l ，垂足分别为 E，G，则下列说法错
1 2 2 2
误的是( )
A．AB 的长就是 l 与 l 之间的距离
1 2
B．AB＝CD
C．HE 的长就是 l 与 l 之间的距离
1 2
D．HE＝FG
[典例精析]
例2 如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，若 AE = 5，BD = 8，
△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 .
[练一练]
2. 如图，设点 P 是 □ ABCD 的边 AB 上任意一点，设△APD 的面积为 S ，
1
△BPC 的面积为 S ，△CDP 的面积为 S ，则 ( )
2 3
A．S ＝S ＋S B．S ＞S ＋S
3 1 2 3 1 2
1
C．S ＜S ＋S D．S ＝ (S ＋S )
3 1 2 3 1 2
2
问题：如图 a∥b，c∥d ，我们能得出 AD = BC ？
[交流·尝试]
每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论
各自画图的正确性。
提示：根据平行四边形的定义和平行四边形的判定定理作图.
第 2 页探究点2：平行四边形性质与判定的综合运用
例3 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在 AD 和 BC 上，点
E，F 在 BD 上，且 DM = BN，DF = BE . 求证：四边形 MENF 是平行四边形.
A M D
E F
B
N C
例4 如图，将 □ ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点
D′ 处，折痕 l 交 CD 边于点 E，连接 BE．求证：四边形 BCED′ 是平行四边形.
l
D E C
A D′ B
归纳 此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE =∠EAD′=∠DEA
=∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.
[练一练]
3.如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问 BF 与 CE 相等
吗？为什么？
A
F D
B E C
4.如图，点 E ，F 分别在□ ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，且 BE = DF ，连
接 AC ，EF ，AF，CE，AC 与 EF 交于点 O .求证：AC，EF 互相平分.
当堂反馈
1.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，则下列结论不一定成立的是( )
第 3 页A.AB＝CB B.∠B＝∠D
C.AD∥BC D.∠A＋∠B＝180°
2.如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，则图中共有平行四边形(
)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
第2题图
3.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BO＝DO.若AD＝6，则BC＝ .
第3题图
4.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝5 cm，S ＝10 cm2，则△ABD中AB边上的高
△ABC
为 .
第4题图
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，D在BC边上，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA
交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是 .
第5题图
6.如图，已知E，F分别为 ▱ABCD的边AD，BC上的点，且DE＝BF，EM⊥AC于
M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：
(1)EM＝FN；
(2)EF与MN互相平分.
参考答案
【合作探究】
第 4 页探究点1：平行线之间的距离
[典例精析]
例1证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1 =∠2 = 90°.
∴ AC∥BD.
∵ AB∥CD，
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形(平行四边形的定义).
∴ AC = BD(平行四边形对边相等).
思考：
点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间的距离的基础，它们
本质都是点与点之间的距离.
总结：任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最
短的线段长度.
[练一练]
1. A
例2 10
[练一练]2. A
[交流·尝试]
例图展示：
探究点2：平行四边形性质与判定的综合运用
例3 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC(平行四边形的定义)，
∴∠MDF =∠NBE.
∵ DM = BN，DF = BE，
∴△MDF≌△NBE .
∴ MF = NE，∠MFD =∠NEB.
∴∠MFE =∠NEF. ∴ FM∥EN.
∴ 四边形 MENF 是平行四边形.
例4 证明：由题意得∠DAE = ∠D′AE，
∠DEA = ∠D′EA，∠D = ∠AD′E，
∵ DE∥AD′，
∴ ∠DEA =∠EAD′，
∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′EA，
∴ ∠DAD′ = ∠DED′. ∴ 四边形 DAD′E 是平行四边形.
∴ DE = AD′.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥DC，AB = DC，
∴ CE∥D′B，CE = D′B，
第 5 页∴ 四边形 BCED′ 是平行四边形.
[练一练]
3.解：BF＝CE．理由如下：
∵ DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形 FECD 是平行四边形，∠FDB = ∠DBE.
∴ FD = CE.
∵ BD 平分∠ABC，∴∠FBD = ∠EBD.
∴ ∠FBD = ∠FDB.
∴ BF = FD. ∴ BF＝CE.
4.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = DC，AB∥DC. 又 ∵BE = DF，
∴ AB+BE=DC+DF，即 AE = CF.
∵ AE = CF，AE∥CF，
∴四边形 AECF 是平行四边形.
∴ AC，EF 互相平分.
当堂反馈
1.A
2. B
3. 6
4. 4 cm
5. 30 .
6.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAM＝∠FCN.
∵DE＝BF，
∴AE＝CF.
∵EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，
{
∠EAM＝∠FCN，
∴∠AME＝∠CNF＝90°.在△AEM和△CFN中， ∠AME＝∠CNF，
AE＝CF，
∴△AEM≌△CFN(AAS).
∴EM＝FN.
(2)如图，连接EN，FM.
∵EM⊥AC，FN⊥AC，
∴∠EMN＝∠FNM＝90°.
∴EM∥FN.又
∵由(1)得EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形.
∴EF与MN互相平分.
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