第02讲平面向量基本定理及坐标表示(精练）（教师版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023新高考数学一轮复习（新教材新高考）

第 02 讲 平面向量基本定理及坐标表示 (精练） 一、单选题 1．在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解：依题意 ，所以 ，即 ， 所以 ； 故选：A 2．在梯形ABCD中， 且 ，点P在边BC上，若 ，则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：延长 、 交于点 ，则 、 、 三点共线，于是可得 ， 因为 且 ，所以 ， 所以 ，故 ；故选：A 3．如图所示， 中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点， 所以 , 故选：A 4．已知向量 ，若 ，则实数 的值为（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 因为 ， 所以 ， . 因为 ， 所以 ，解得： .故选：A 5．如图，在 ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ＝m ，△ ＝n ，则m＋n等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 如图，连接AO，由O为BC的中点可得， ∵M，O，N三点共线，则 即 故选： C 6．直角三角形 中， 是斜边 上一点，且满足 ，点 、 在过点 的直线上，若 ， ， ，则下列结论错误的是（ ） A． 为常数 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 、 的值可以为 ， 【答案】B 如下图所示：由 ，可得 ， ， 若 ， ， ， 则 ， ， ， 、 、 三点共线， ， ， 故A正确； 所以 ， 时，也满足 ，则D选项正确； ，当且仅当 时，等号成立，C选项成 立； ，当且仅当 时，即 ， 时等号成立，故B选项错误. 故选：B 二、多选题 7．如图，在 中， 分别是边 上的中线，它们交于点G，则下列各等式中正 确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】解：由三角形重心性质得 ， 所以 ，A正确； 因为 ，B正确； 由重心性质得， ，C错误； 因为 ， 所以 ， 即 ，D正确． 故选：ABD． 8．如图，在四边形 中， ， 为线段 的中点， 为线段 上一动点（包括端点），且 ，则下列说法正确的是（ ） A． B．若 为线段 的中点，则 C． 的最小值为 D． 的最大值比最小值大 【答案】ABD 【详解】 解：如图1，补全图形，则在直角 中， ，则 ， ， ，又 ，所以 ，A正确； 故以点 为坐标原点， 方向为 轴建立平面直角坐标系，如图2. 所以， ， 所以，当 为线段 的中点时， ，此时 ，故由得 ，解得 ，故 ，B正确； ，所以当 时， 取得最小值 ，故C错误； ，故由 得 ， 故当 时， 取得最小值 ， 时， 取得最大值 ，故 ，D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．若 ，则与 同方向的单位向量是______． 【答案】 由已知 ， ， 所以与 同方向的单位向量是 ． 故答案为：10．若 是直线 外一点， 为线段 的中点， ， ，则 ______． 【答案】 因为 为线段 的中点，所以 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ，所以 ． 故答案为： . 11．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7 ＝5 ， ＝4 ，EF交AC于点K， ，则实数λ的值为________. 【答案】－ 因为 ，所以 . 又E，F，K三 点共线，所以 ，解得：λ＝－ . 故答案为：－ 12．已知向量 ， ， ，若 ，则 的最小值___________． 【答案】 ， ， ∴ ， 当且仅当 时取等号. 故答案为： . 四、解答题13．如图所示，已知矩形ABCD中， ，AC与MN相交于点E． (1)若 ，求 和 的值； (2)用向量 表示 ． 【答案】(1) ， (2) (1)以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则 ， 所以 所以 ， 所以 解得 (2)设 ， 因为 ， 所以 ．解得 ， 即 ，所以 ， 又因为M，E，N三点共线，所以 ， 所以 ﹒14．如图所示，在△ABO中， ， ，AD与BC交于点M．设 ， ． (1)试用向量 ， 表示 ； (2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设 ， ，其中 ， ． 证明： 为定值，并求出该定值． 【答案】(1) ；(2)证明见解析，定值为5. (1)设 ， 由A，M，D三点共线，可知存在 （ ，且 ），使得 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 由平面向量基本定理得 ，即 ，① 同理，由B，M，C三点共线，可知存在 （ ，且 ），使得 ， 则 ， 又 ，所以 ，由平面向量基本定理得 即 ，② 由①②得 ， ， 故 ； (2)由于E，M，F三点共线，则存在实数 （ ，且 ）使得 ，即 ， 于是 ， 又 ， ， 所以 ， 由平面向量基本定理得 ，消去 ， 得 ， 故 为定值，该定值为5.