文档内容
第六章 平行四边形
6.2 平行四边形的判定
第1课时 利用四边形边的关系判定平行四边形
【素养目标】
1.通过理解平行四边形的判定定理，让学生感悟判定定理与性质的互逆关系，发展类比
归纳和创新能力．
2.通过学习综合运用平行四边形的性质与判定解决问题，培养数学应用意识，一题多
解，发散思维．
重点：掌握平行四边形的判定定理．
难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．
【情境导入】
学习了平行四边形之后，小明回家想用细木棒钉制一个平行四边形，以下面
的两根细木棍作为边长，应该如何钉制呢 ?
【合作探究】
探究点1: 平行四边形的判定定理 1
活动：用两根长 30 cm 的木条和两根长 20 cm 的木条作为四边形的四条边，能否拼
成一个平行四边形？
猜想： .
已知：四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = CB.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
第 1 页[知识要点]
平行四边形判定定理1:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：∵ AB = CD，AD = BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
[典例精析]
例1 如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且 AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
[练一练]
1. 如图，在△ABC 中，分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边 △ABD、
等边△ACE、等边△BCF. 试说明四边形 DAEF 是平行四边形.
[议一议]
(1) 取两根长度相等的细木条，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根细木条的四个
端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗?
(2) 如果四边形有一组对边相等，那么还需要添加什么条件，才能使它成为平行四边
形?
第 2 页探究点2：平行四边形的判定定理 2
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，且AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
[知识要点]
平行四边形判定定理 2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
∵ AB = CD，AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
[典例精析]
例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 E、F 分别是 AD、CB 的中点. 求证：
四边形 BFDE 是平行四边形．
[练一练]
2.已知四边形 ABCD 中有四个条件：AB∥CD，AB = CD，BC∥AD，BC = AD，从
中任选两个，不能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法是 （ ）
A．AB∥CD，AB = CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC = AD
D．AB = CD，BC = AD
3. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD 的两侧，
第 3 页AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC. 求证：四边形 BFCE 是平行四边形．
E
C
A B D
F
[联系实际]
卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知
道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框？为什
么？
当堂反馈
1.下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB∥CD，AD∥BC
B.AB＝CD，AD＝BC
C.AB∥CD，AD＝BC
D.AB∥CD，AB＝CD
2.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠D＝120°，则∠C的度数为(
)
A.60° B.70°
C.80° D.90°
3.如图，△ABC≌△A′B′C′，点B，C′，C，B′在同一直线上，且B与B′不重
合，则以点A，B，A′，B′为顶点的四边形一定是 .
第3题图
第 4 页4.如图，在直角坐标系中，四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(5，
0)，(2，3).当点B的坐标为 时，四边形OABC是平行四边形.
第4题图
5.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，连接AF，
BD.求证：
(1)△ABC≌△DFE；
书写通关
证明：∵BE＝FC，
∴BE＋EC＝ ＋EC.
∴ .
在△ABC和 中，
{
AB＝DF，
，
AC＝DE，
∴ .
(2)四边形ABDF是平行四边形.
6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB＝DC＝5，AC＝4，BC＝3.求证：四边
形ABCD是平行四边形.
参考答案
第 5 页【合作探究】
探究点1: 平行四边形的判定定理 1
证明：连接 BD.
在△ABD 和△CDB 中，
∵AB = CD，AD = CB， BD = DB，
∴△ABD≌△CDB (SSS).
∴∠1 =∠3，∠2 =∠4.
∴ AB∥CD，AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.(平行四边形的定义)
[典例精析]
例1 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，
AC = CA，AB = CD，
∴ Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
∴ BC = DA.
又∵ AB = CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
[练一练]1. 解：∵ △ABD 和△FBC 都是等边三角形，
∴ ∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴ ∠DBF＝∠ABC.
又∵ BD＝BA，BF＝BC，
∴ △ABC≌△DBF(SAS).
∴ AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，
∴ AB＝EF＝AD，
∴ 四边形 DAEF 是平行四边形.
探究点2：平行四边形的判定定理 2
[典例精析]
例2 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = CB(平行四边形对边相等)，
AD∥CB(平行四边形定义).
∵E、F 分别是 AD、CB 的中点
1 1
∴ ED = AD， FB = CB. ∴ ED = FB ，ED∥FB .
2 2
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
[练一练]
2.C
3. 证明：∵ AB = CD，
∴ AB + BC = CD + BC，即 AC = BD.
在△ACE 和△DBF 中，
AC＝BD ，∠A＝∠D， AE＝DF，
第 6 页∴ △ACE≌△DBF(SAS).
∴ CE＝BF，∠ACE＝∠DBF.
∴ CE∥BF.
∴ 四边形 BFCE 是平行四边形．
当堂反馈
1.C
2. A
3. 平行四边形
4. ( 7 ， 3 )
5.(1)
FC BC ＝ FE .
△ DFE BC＝FE
△ ABC ≌△ DFE ( SSS ) .
(2)证明：由(1)得△ABC≌△DFE，
∴∠ABC＝∠DFE.
∴AB∥DF.
又∵AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形.
6.证明：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2.
∴∠BCA＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA＝90°.
∵DC＝5，AC＝4，
∴AD2＝DC2－AC2＝9.
∴AD＝BC＝3.又
∵AB＝DC，
∴四边形ABCD为平行四边形.
第 7 页
